精品解析：江苏省南通市如东县2024-2025学年上学期八年级数学期末考试试卷

2024-2025学年度第一学期期末调研测试卷 八年级数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1.本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟。 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置。3.答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰班级有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成姓名的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，的两条直角边的长分别为2、3，则它的斜边的长为（ ） A. B. 4 C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 5. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 6. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 2 7. 如图，等边三角形中，是它的角平分线，，，垂足分别为，．若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 若m，n是正整数，且满足，则与的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点E，F分别是底边，的中点，．下列推断：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 定义：若正整数a，b，c满足，则称为梦想数.例如，，，则15，40都是梦想数.下列各数中，不是梦想数的是（ ） A. 98 B. 87 C. 76 D. 65 二、填空题（本大题共8小题，第11~12小题每小题3分，第131̃8小题每小题4分，共30分.不需要写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 计算__________． 12 分解因式__________． 13. “墙角数枝梅，凌寒独自开”是我们耳熟能详的诗句．已知某种梅花的花粉直径约为，将数据0.000029用科学记数法表示为__________． 14. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是_____． 15. 如图，是上一点，交于点， ，要使，只需添加一个条件，则这个条件可以是__________． 16. 若关于的分式方程的解是负数，则的取值范围是__________． 17. 如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点.若，，则的长为_____． 18. 如图，凸四边形中，，．若，，则对角线最大值为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2） 20. 先化简，再求值： ，其中 21. 如图，，，．求证． 22. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量校园内旗杆的高度 测量工具 皮尺等 模型抽象 注：线段表示旗杆，垂直地面于点 测绘过程 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点处用皮尺量出的长度． 数据信息 图①中的长度为；图②中的长度为． 请根据表格中提供的信息，求学校旗杆的高度． 23. 【追本溯源】题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，，平分．求证． 【方法应用】 （2）如图2，，，平分，交边于点，过点作交的延长线于点．若，，求的长． 24 已知，其中． （1）__________（用含的式子表示）； （2）求的值； （3）若是整数，是正整数，求的最小值． 25. 两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的攀登速度是第二组的倍，他们比第二组早到达顶峰． （1）求第二组的攀登速度； （2）第二组下山时为了缩短时间，准备加快速度，现有两种方案： ①前一半路程速度为，后一半路程速度为； ②返回速度始终保持为． 其中，且p，q均正数，两种方案哪种平均速度更快? 26. 如图，是等边三角形内一点，，以为边在的左侧作等边三角形，连接． （1）根据题意补全图形； （2）求的度数； （3）延长交于点，判断是否为线段的中点，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期末调研测试卷 八年级数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1.本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟。 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置。3.答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰班级有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴的取值范围是． 故选：B． 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成姓名的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，解题关键是熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 已知，的两条直角边的长分别为2、3，则它的斜边的长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，已知两条直角边，运用勾股定理可求出斜边的长． 【详解】解：∵的两条直角边的长分别为2、3， ∴， 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方运算，熟记相关法则并根据法则准确计算是解题关键． 根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方运算法则进行计算，可得答案． 【详解】解：A、，故原式错误，不符合题意； B、，故原式正确，符合题意； C、，故原式错误，不符合题意； D、，故原式错误，不符合题意． 故选：B． 5. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形对应角相等是解题的关键． 先根据三角形内角和定理求出，再由全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵这两个三角形是全等三角形，均是的夹角， ∴， 故选：C． 6. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式的加减运算，．先分子相加，再将分子提公因式后约分，即可得到答案． 【详解】 ． 故选：D． 7. 如图，等边三角形中，是它的角平分线，，，垂足分别为，．若，则等于（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，首先根据题意得到，，，求出，得到，，求出，，进而求解即可． 【详解】解：∵等边三角形中，是它的角平分线， ∴，，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：B． 8. 若m，n是正整数，且满足，则与的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．根据已知等式可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图，与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点E，F分别是底边，的中点，．下列推断：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等知识点，掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据题意得到，然后由全等三角形的性质即可判断①；由，得到，然后等量代换得到即可判断②；根据题意无法证明，即可判断③；根据代入求解即可判断④． 【详解】∵与都是等腰三角形，且它们关于直线对称， ∴ ∵点E，F分别是底边，的中点 ∴，故①正确； ∴ ∴ ∴， ∴，故②正确； 根据题意无法证明，故③错误； ∵ ，故④正确． 综上所述，正确的个数是3． 故选：C． 10. 定义：若正整数a，b，c满足，则称为梦想数.例如，，，则15，40都是梦想数.下列各数中，不是梦想数的是（ ） A. 98 B. 87 C. 76 D. 65 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，根据新定义，逐一判断即可．熟练掌握有理数的乘方是解题的关键． 【详解】解：A、不能写成两数的平方差，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，第11~12小题每小题3分，第131̃8小题每小题4分，共30分.不需要写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 计算__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了零次幂，熟知任何非零数的0次幂等于1是解题的关键． 根据零次幂进行计算即可求解． 【详解】． 故答案为：1． 12. 分解因式__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．利用完全平方公式分解因式即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. “墙角数枝梅，凌寒独自开”是我们耳熟能详的诗句．已知某种梅花的花粉直径约为，将数据0.000029用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据0.000029用科学记数法表示为． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求关于坐标轴对称的点的坐标．根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是. 故答案为：． 15. 如图，是上一点，交于点， ，要使，只需添加一个条件，则这个条件可以是__________． 【答案】或或（写出一个即可） 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 由平行得到，而，即可添加一组边对应相等即可． 【详解】解：∵， ∴，而， ∴当时，； 当时，； 当时，， 故答案为：或或（写出一个即可）． 16. 若关于的分式方程的解是负数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，首先根据解分式方程的步骤，求出关于的分式方程解是多少，然后根据分式方程的解为负数，求出的取值范围即可，掌握相应的运算法则是关键． 【详解】解：化简分式方程可得，， 解得：， 且， 且 故答案为：且． 17. 如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点.若，，则的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】先得到是的垂直平分线，则，结合等腰三角形的性质求出，再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 由题意得，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 设， 则由勾股定理得：， ∴， ∴， 在，由勾股定理得：， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 18. 如图，凸四边形中，，．若，，则对角线的最大值为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】在上方作，使，连接，，根据题意证明出，得到，勾股定理求出，然后根据三角形三边关系求解即可． 【详解】如图所示，在上方作，使，连接， ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴当点C，D，E三点共线时，有最大值10 ∴对角线的最大值为10． 故答案为：10． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，二次根式的混合运算． （1）先化成最简二次根式，根据二次根式的乘法法则计算，再合并即可； （2）利用完全平方公式以及单项式乘多项式展开，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值： ，其中 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则是解题关键． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： = = =， 当时，原式=． 21. 如图，，，．求证． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，由，得，而，，即可根据“”证明，则，推导出，进而证明是解题的关键． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ， ． 22. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量校园内旗杆的高度 测量工具 皮尺等 模型抽象 注：线段表示旗杆，垂直地面于点 测绘过程 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点处用皮尺量出的长度． 数据信息 图①中的长度为；图②中的长度为． 请根据表格中提供的信息，求学校旗杆的高度． 【答案】学校旗杆的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设学校旗杆的高度为，则图②中，，，，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设学校旗杆的高度为，则图②中，，，． 在中，由勾股定理得，． ． 解得． 答：学校旗杆的高度为． 23. 【追本溯源】题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，，平分．求证． 【方法应用】 （2）如图2，，，平分，交边于点，过点作交的延长线于点．若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等角对等边． （1）根据平行线的性质和角平分线定义求出，根据等腰三角形的判定得出； （2）根据解析（1）的方法得出，根据等腰三角形的性质得出平分，同理得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：平分， ， ∵， ， ， ． （2）解：平分， ， ∵， ， ， ， ， 平分， ∵， 同理， ． 24. 已知，其中． （1）__________（用含的式子表示）； （2）求的值； （3）若是整数，是正整数，求的最小值． 【答案】（1） （2）4 （3）6 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法，乘法公式，二次根式的性质． （1）根据多项式乘多项式法则展开，再根据整式性质计算即可求解； （2）根据完全平方公式变形，计算即可求解； （3）利用平方差公式求得，根据是整数，是正整数，即可求得的最小值． 【小问1详解】 解：由题意得， ∵， ∴，； 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：，， ， ， 是整数，是正整数， 的最小值为6． 25. 两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的攀登速度是第二组的倍，他们比第二组早到达顶峰． （1）求第二组的攀登速度； （2）第二组下山时为了缩短时间，准备加快速度，现有两种方案： ①前一半路程速度为，后一半路程速度为； ②返回速度始终保持为． 其中，且p，q均为正数，两种方案哪种平均速度更快? 【答案】（1）第二组的攀登速度为 （2）方案②的平均速度更快，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式的混合运算，分式的值的大小比较； （1）设第二组的攀登速度为，则第一组的攀登速度为，根据他们比第二组早到达顶峰，再建立方程求解即可； （2）先求解方案①的平均速度为，由，进一步分析即可得到答案. 【小问1详解】 解：设第二组攀登速度为，则第一组的攀登速度为， 由题意，得， 整理，得 解得 检验：当时，，且符合题意. 所以，原分式方程的解为 答：第二组的攀登速度为 【小问2详解】 解：方案①的平均速度为， ∴， ，且p，q均为正数， ， 方案②的平均速度更快 26. 如图，是等边三角形内一点，，以为边在的左侧作等边三角形，连接． （1）根据题意补全图形； （2）求的度数； （3）延长交于点，判断是否为线段的中点，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）点是线段的中点，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质． （1）根据题意作图即可； （2）运用“”证明，根据全等三角形的对应边性质即可得证； （3）过点作平行线，交的延长线于点，则．证明，进而得到，因此，从而，从而可证得，根据全等三角形的性质即可得到点D是线段的中点． 【小问1详解】 解：补全图形如图所示： 【小问2详解】 解：是等边三角形， ，． 是等边三角形， ，， ， 即． 在和中， ． ． 【小问3详解】 解：点是线段的中点．理由如下： 过点作的平行线，交的延长线于点． 则． ，， ． ，， ． ． ， ． ， ， ． ， ． ， ∴点D是线段的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$