精品解析：山东省青岛市莱西市2024-2025学年高二上学期强基班阶段性检测（二）数学试题

高二强基班阶段性检测（二） 数学试题 本试卷共19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. ， C. D. 2. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 5 4. 函数的单调递减区间为（ ） A B. C. D. 5. 已知二次函数，且不等式的解集为.若不等式在上有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 某罐中装有大小和质地相同4个红球和3个绿球，每次不放回地随机摸出1个球，连续摸两次.记“第一次摸球时摸到红球”，“第一次摸球时摸到绿球”，“第二次摸球时摸到红球”，“第二次摸球时摸到绿球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是（ ） A. 与R2为互斥事件 B. C. D. 7. 为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对，进行线性回归分析.若在此图中加上点后，再次对，进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. ，不具有线性相关性 B. 决定系数变大 C. 相关系数变小 D. 残差平方和变小 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则在上单调递减 D. 若，则在上单调递增 10. 若，， 且，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为 11. 有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5，转动圆盘等其静止时，指针均指向扇形的内部，记录下对应的数字．持续这个过程，记前次所得的数字之和是偶数的概率为，则（ ） A. B. C. 是等比数列 D. 是递减数列 三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象关于直线对称，则______________. 13. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为中学生追星与性别有关，则男生至少有_________人. 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 ， 14. 若曲线与曲线存在公切线，则a的最大值_______． 四､解答题：本题共5小题，共7分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.某直播间开展地标优品带货直播活动，其主播直播周期次数x（其中10场为一个周期）与产品销售额y（千元）的数据统计如下： 直播周期数x 1 2 3 4 5 产品销售额y（千元） 3 7 15 30 40 根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表： 3.7 55 382 65 978 101 其中 （1）请根据表中数据，建立y关于x回归方程； （2）乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？（精确到0.01） 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，相关指数：. 16. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）对，不等式恒成立，求的最小值. 17. 甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为. （1）求P； （2）当时，求甲得分X的分布列及数学期望； （3）若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设函数有两个不同的零点， （i）求实数的取值范围： （ⅱ）若满足，求实数的最大值. 19. 列奥纳多达芬奇（Leonardo da Vinci，1452-1519）是意大利文艺复兴三杰之一．他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为． （1）证明：； （2）求不等式：的解集； （3）函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二强基班阶段性检测（二） 数学试题 本试卷共19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. ， C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别确定集合和集合中的元素，再求它们的交集. 【详解】集合，其中表示整数集,则集合. 集合，其中表示自然数集（包括）,则集合. 所以. 故选：C 2. “”是“”（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】先化简条件“”为“”，再利用包含关系判断必要不充分条件即可. 【详解】解：因为，所以， 设，，则 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】本题考查求解一元二次不等式、判断两个集合之间的包含关系、利用集合的包含关系判断必要不充分条件，是基础题. 3. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，再根据基本不等式求解即可． 【详解】由，得， 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值是5． 故选：D 4. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出定义域，再利用复合函数同增异减求出函数的单调递减区间. 【详解】令得， 故的定义域为， 在上单调递增， 由复合函数单调性满足同增异减可得， 只需求出在上的单调递减区间， 在上单调递减， 故数的单调递减区间为. 故选：C 5. 已知二次函数，且不等式的解集为.若不等式在上有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式解集端点为对应方程的根求出，由原不等式分离参数后换元，再由均值不等式求最值即可得解. 【详解】的解集为， 方程的两根为1和3， ，解得， 所以由可得， ， ， 设，则有解， ，当且仅当，即时取得最大值. ，即实数的取值范围为. 故选：B 6. 某罐中装有大小和质地相同的4个红球和3个绿球，每次不放回地随机摸出1个球，连续摸两次.记“第一次摸球时摸到红球”，“第一次摸球时摸到绿球”，“第二次摸球时摸到红球”，“第二次摸球时摸到绿球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是（ ） A. 与R2为互斥事件 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用事件互斥，古典概型，条件概率，全概率的计算公式，以及相互独立事件的概念和计算，逐项求解，即可求解. 【详解】对于A，“第一次摸球时摸到红球”，“第二次摸球时摸到红球”， 每次不放回地随机摸出1个球，存事件“两次都摸到红球”，故A错误； 对于B，根据题意计算得 ，故B错误； 对于C，根据题意计算得，故C错误； 对于D，由条件概率的公式，故D正确； 故选：D. 7. 为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对，进行线性回归分析.若在此图中加上点后，再次对，进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. ，不具有线性相关性 B. 决定系数变大 C. 相关系数变小 D. 残差平方和变小 【答案】C 【解析】 【分析】从图中分析得到加入点后，回归效果会变差，再由决定系数，相关系数，残差平方和及相关性的概念和性质作出判断即可. 【详解】对于A，加入点后，变量与预报变量相关性变弱， 但不能说，不具有线性相关性，所以A不正确 对于B，决定系数越接近于1，拟合效果越好，所以加上点后，决定系数变小，故B不正确； 对于C，从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，所以加上点后，回归效果变差. 所以相关系数的绝对值越趋于0，故C正确； 对于D，残差平方和变大，拟合效果越差，所以加上点后，残差平方和变大，故D不正确； 故选：C. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，转化为，令，利用导数求得函数的单调性，得到，求得，再设，利用导数求得函数单调性，得到，得到，即可求解. 【详解】由，可得， 因为，所以，令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，所以，所以， 又因为，所以，设，可得， 当时，，所以在上单调递减， 因为，且，所以，所以. 故选：D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则在上单调递减 D. 若，则在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，可得是的极小值点，即可判断AB；求导，再根据导函数的符号即可判断CD. 【详解】对于AB，， 因为，所以是的极小值点， 则，解得， 此时， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故A正确，B错误； 对于C，若，则， 当时，，所以在上单调递减，故C正确； 对于D，若，则， 当时，，所以在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 10. 若，， 且，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，消去选项中的b，构造关于a的函数，分析函数的性质，判断正误. 【详解】对于A，因为在单调递减，在单调递增，所以，选项A正确； 对于B，因为，所以有，于是，当且仅当时，等号成立，选项B正确； 对于C，，设，所以在单调递减，在单调递增， 所以，选项C错误； 对于D，设，所以，所以，选项D正确. 【点睛】因为，，，所以注意构造的函数中. 11. 有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5，转动圆盘等其静止时，指针均指向扇形的内部，记录下对应的数字．持续这个过程，记前次所得的数字之和是偶数的概率为，则（ ） A. B. C. 是等比数列 D. 是递减数列 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，由全概率公式分析可得，由此分析A，进而对该式变形可得，由数列与概率的关系分析B、C、D，综合可得答案. 【详解】根据题意，有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5， 则每次旋转中，指针指向数字为偶数的概率为，指向数字为奇数的概率为， 则，又由， 则，故A正确； 对于，变形可得，，则， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 故，变形可得， 对于B，，，则，故B错误； 对于C，， 此时，而， 所以数列不是等比数列，故C错误； 对于D，， 由于，故是递减数列，故D正确. 故选：AD. 三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象关于直线对称，则______________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据函数定义域确定对称轴得出，再由轴对称的关系式化简确定得解. 【详解】由知，即， 所以函数的定义域为 由函数的图象关于直线对称， 所以，且恒成立， 即， 所以，整理得， 所以，故 故答案为：3 13. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为中学生追星与性别有关，则男生至少有_________人. 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 ，. 【答案】30 【解析】 【分析】设男生人数为，依题意可得列联表；根据表格中的数据，代入求观测值的公式，求出观测值同临界值进行比较，列不等式即可得出结论. 【详解】设男生人数为，依题意可得列联表如下： 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 女生 总计 在犯错误概率不超过5%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关， 则， 由，解得， 由题知应为6的整数倍， 若在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢追星和性别有关， 则男生至少有30人， 故答案为：30. 14. 若曲线与曲线存在公切线，则a的最大值_______． 【答案】 【解析】 【分析】设公切线与曲线切与点，与曲线切与点，由题意可得，化简可得，则，构造函数，利用导数求出其最大值即可. 【详解】设公切线与曲线切与点，与曲线切与点， 由，得；由得. 则， 所以，所以，即. 设，则. 由；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 所以函数. 即的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查导数几何意义，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是设出两切点的坐标，由切线为两曲线的公切线列方程组求解，考查数学转化思想和计算能力. 四､解答题：本题共5小题，共7分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.某直播间开展地标优品带货直播活动，其主播直播周期次数x（其中10场为一个周期）与产品销售额y（千元）的数据统计如下： 直播周期数x 1 2 3 4 5 产品销售额y（千元） 3 7 15 30 40 根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表： 3.7 55 382 65 978 101 其中 （1）请根据表中数据，建立y关于x的回归方程； （2）乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？（精确到0.01） 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，相关指数：. 【答案】（1）； （2）乙建立的回归模型拟合效果更好. 【解析】 【分析】（1）对两边取对数得，令，利用最小二乘法可求得，由此可得回归方程； （2）根据公式计算可得相关指数，由此可得结论； 【小问1详解】 将两边取对数得：， 令，则， 因为， 所以根据最小二乘估计可知：， 所以， 所以回归方程为，即. 【小问2详解】 甲建立的回归模型的. 所以乙建立的回归模型拟合效果更好. 16. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）对，不等式恒成立，求的最小值. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用分解因式解不等式，结合分类讨论可求不等式的解集； （2）先证明，再说明时满足条件，可求得的最小值. 【小问1详解】 因为， 由，得， 整理得， 所以，不等式对应方程的两根为或， 当时，， 所以不等式的解集为， 当时，， 所以不等式的解集为， 当时，， 所以不等式的解集为， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； 【小问2详解】 由，不等式恒成立，可得， 所以，解得， 又当时，对，有，满足条件， 所以的最小值为. 17. 甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为. （1）求P； （2）当时，求甲得分X的分布列及数学期望； （3）若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：. 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，则，，利用条件概率可得，求解即可； （2）X可能的取值为0，1，2，计算可求得分布列，进而计算可求数学期望； （3）设甲的积分为，乙的积分为，由已知可得甲晋级时n必为偶数，令，当n为奇数时，，计算可得，可得结论. 【小问1详解】 记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”， 则，，，，， ， 则，解得； 【小问2详解】 由题意可知当n=2时，X可能取值为0，1，2，则由（1）可知 ， ， ， X的分布列为： X 0 1 2 P 随机变量X的数学期望为. 【小问3详解】 由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为，乙的积分为， 则，且，所以甲晋级时n必为偶数，令 当n为奇数时，， 则 又∵时，随着m的增大而增大， ∴. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设函数有两个不同的零点， （i）求实数的取值范围： （ⅱ）若满足，求实数的最大值. 【答案】（1）答案见解析； （2）（i）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）求导，分类讨论参数和时，函数的单调性即可. （2）（ⅰ）利用参数分离可得，令，利用导数研究函数的单调性，极值，数形结合即可； （ⅱ）由已知，设，可得，设，利用导数研究函数的单调性，可求额，再利用的单调性可求得，进而求得结果. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的递增区间是，无递减区间； 当时，的递增区间是，递减区间是. 【小问2详解】 （ⅰ）由，得，令，求导得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，， 而当时，恒成立，且， 由有两个零点，即方程有两个不等的正根，亦即直线与的图象有两个公共点， 因此，即， 所以实数的取值范围是. （ⅱ）由，得，且， 不妨设，将代入， 得，即， 令，求导得，令， 求导得，则函数在上单调递减， 有，即，函数在上单调递减， 由，得，则， 因此函数在上单调递减，即， 于是，有，则， 又，令，， 由（ⅰ）知，在上递增，而，因此在上递增， 则，即，解得， 所以a的最大值是. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； ②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； ③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 19. 列奥纳多达芬奇（Leonardo da Vinci，1452-1519）是意大利文艺复兴三杰之一．他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为． （1）证明：； （2）求不等式：的解集； （3）函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）（ （3） 【解析】 【分析】（1）结合双曲余弦函数和双曲正弦函数代入计算即可； （2）求出的单调性和奇偶性，得到，，求出解集； （3）参变分离得到在有2个实数根，换元得到，由对勾函数单调性得到的值域，与有两个交点，故需满足，即. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 因为恒成立，故是奇函数． 又因为在上严格递增，在上严格递减， 故是上的严格增函数， 所以，即， 所以，解得， 即所求不等式的解集为； 【小问3详解】 因为的图象在区间上与轴有2个交点， 所以， 即在有2个实数根， 所以在有2个实数根， 令，易知在上单调递增， 所以， 则， 令，， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又，作函数草图如图， 当时，函数与有两个交点， 即函数的图象在区间上与轴有2个交点， 所以，即. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$