【专项练】勾股定理中的动点问题-人教版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 勾股定理中的动点问题 1．C 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、垂线段最短 【分析】根据勾股定理得出 5AC  ，当PB AC 时，PB的值最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：在Rt ABC△ 中， 90BÐ = °， 3AB  ， 4BC  ， ∴ 2 2 5AC AB BC   ， ∵当PB AC 时，BP的值最小， 此时： ABC 的面积为： 1 1· · · · 2 2 AB BC AC BP ， ∴5 3 4PB   ， ∴ 2.4PB  ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高． 2．C 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】根据题意，当 AO BC 时， AOBV 是直角三角形，勾股定理求得 BC，进而等面积 法求出 AO的长，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵在Rt ABC△ 中， 90A  ， 8cmAB  ， 6cmAC  ， ∴ 2 2 10BC AB AC   ， 当 AO BC 时， AOBV 是直角三角形， 此时 6 8 24 10 5 AC ABAO BC      ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 在Rt AOB 中， 2 2 2 2 24 328 5 5 BO AB AO          ， ∵点O沿BC以2cm / s的速度从点 B开始向点C运动， ∴运动的时间为 32 2 3.2 5   s， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．B 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、三线合一 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三 角形的性质，勾股定理的计算． 首先过 A作 AE BC ，当 D与 E重合时，AD最短，首先利 用等腰三角形的性质可得BE EC ，进而可得 BE的长，利用勾股定理计算出 AE长，然后可 得 AD的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：如图：过 A作 AE BC 于 E， ∵在 ABC 中， 5 8AB AC BC  ， ， ∴当 4AE BC EB EC  ， ， ∴ AE  2 2 2 25 4 3AB BE    ， ∵D是线段 BC上的动点（不含端点 B，C）．若线段 AD的长为正整数， ∴3 5AD  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ∴ 3AD  或 4AD ， 当 4AD 时，在靠近点 B和点 C端各一个， 故符合条件的点 D有 3点． 故选：B． 4．D 【难度】0.85 【知识点】二次根式的乘法、角平分线的性质定理、含 30度角的直角三角形、用勾股定理解 三角形 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，含 30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质， 垂线段最短的含义，二次根式的乘法运算，理解DP最短即DH 的长度是解题关键，先证明 30ABD CBD    ，求解 2DC  ，再结合角平分线的性质与垂线段最短的含义可得答案． 【详解】解：∵ 90C  ， 30A  ， 2 3BC  ， ∴ 60ABC  ， 结合作图可得： 30ABD CBD    ， ∴ 2BD CD ， ∴    22 22 2 3CD CD  ， 解得： 2CD  ， 如图，过点D作DH AB 于H ． DC BC ，DH AB ，BD平分 ABC ， ∴ 2DH DC  ， 当 ,P H 重合时，DP取最小值2， 故选 D 5．B 【难度】0.85 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 【知识点】用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理 【分析】过点 D作DE BC 于点 E，则 PD的最小值是DE的长，根据角平分线的性质定理 可得 AD DE ，再由勾股定理求出 AD的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点 D作DE BC 于点 E，则 PD的最小值是DE的长， ∵ 90A  ， BD平分 ABC ， ∴ AD DE ， ∵ 12, 13AB BD  ， ∴ 2 2 5AD BD AB   ， ∴ 5DE  ， 即 PD的最小值是 5． 故选：B 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理，勾 股定理是解题的关键． 6．B 【难度】0.85 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查折叠的性质，勾股定理．利用勾股定理列出方程求解是解题关键．由勾 股定理可求出 8BC  ．由折叠可知当 DEB 是直角时，点 E和 F重合，且DF CD ， 6AF AC  ，从而可求出 4BF AB AF   ．设DF CD x  ，则 8BD BC CD x    ．再根据勾股定理可列出关于 x的方程，求解即可． 【详解】解：由折叠可知当 DEB 是直角时，点 E和 F重合，如图， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∵ 90 10 6ACB AB AC    ， ， ， ∴ 2 2 8ABBC AC  ． 由折叠可知DF CD ， 6AF AC  ， ∴ 4BF AB AF   ． 设DF CD x  ，则 8BD BC CD x    ． ∵ DEB 是直角， ∴ 2 2 2BD DF BF  ，即  2 2 28 4x x   ， 解得： 3x  ， ∴ 3DF  ． 故选 B． 7．D 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，过点A作 AH BM ，利用勾股定理先求出 4cmBH  ， 再分当 90APB  时，当 90BAP  时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：过点A作 AH BM ， 点A到 BM 的距离为3cm， 3cmAH  ， 5cmAB  ， 根据勾股定理，得 2 2 4cmBH AB AH   ， 当 90APB  时，如图所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 此时点 P与点H 重合，则 4cmBP BH  根据题意，得 2 4t  ， 解得 2t  ； 当 90BAP  时，如图所示： 5cmAB  ， 2 cmBP t ， 3cmAH  ， 4cmBH  ，  2 4 cmHP t   ， 根据勾股定理，得 2 2 2 24 25AP BP AB t    ，  22 2 2 9 2 4AP AH HP t     ，  224 25 9 2 4t t     ， 解得 25 8 t  ； 综上所述，当 ABP 为直角三角形时，t的值为2或 25 8 ， 故选：D． 8． 12 2 【难度】0.65 【知识点】含 30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、直角三角形的性质、勾股定理．解决本题的关 键是利用等边三角形的三线合一定理找边之间的关系．作点M 关于 AD的对称点M ，连接 NM 交 AD于点 P，根据对称的性质可知PM PN PM PN PM   ，利用等三角形的性 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 质可以求出 ABC 的边长为18， CNM  是边长为12的等边三角形，所以PM PN 的最小值 为12；根据等边三角形的三线合一定理可知： 18AB  、 6BD  ，利用勾股定理可以求出 9 3AD  ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求出 2 6NP ND  ，再利用 勾股定理求出 PD的长为3 3，从而可以求出 AP PD 的值． 【详解】解：如下图所示，作点M 关于 AD的对称点M ，连接NM 交 AD于点 P， 此时PM PN 的值最小，  6AM BN  ， 3DN  ， 6 3 9BD BN DN      ， ABC 为等边三角形， AD为 BC边的中线， 2 18BC BD   ， 60C  ， 18AB BC AC    ， 又 6BN  ， 6AM AM   ， 18 6 12CN CM     ， CNM  为等边三角形， 12NM CN   ， PM PN  的最小值是12， ABC 为等边三角形， AD为 BC边的中线， 1 9 2 BD BC   ， 30BAD   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 2 2 9 3AD AB BD    ， 又 CNM  为等边三角形， 60CNM  ， NM AB   ， 30NPD BAD   ， 2 6NP ND   ， 2 2 2 26 3 3 3PD PN DN      ， 9 3 3 3 6 3AP AD PD      ， 6 3 2 3 3 AP PD    ． 故答案为：12， 2． 9． 12 5 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和 SAS综合（SAS） 【分析】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理，连接CE，作 CF DE 于点F ，可证明 BAD CAE  ，得 3CE BD  ， 45ACE B   ，则 90DCE  ，求得 2 2 5DE CE CD   ，由 1 15 3 4 2 2 CDE CF S     △ ，得 12 5 CF  ，由 12 5 CM  ，求得线段CM 的最小值为 12 5 ，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接CE，作CF DE 于点F ， 90BAC DAE     ， AB AC ， AD AE ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 90BAD CAE CAD    ， 45B ACB   ， 在 BAD 和 CAE 中， AB AC BAD CAE AD AE       ， (SAS)BAD CAE ≌ ， 3CE BD   ， 45ACE B   ， 90DCE ACB ACE    ， 4CD  ， 2 2 2 23 4 5DE CE CD      ，  1 15 3 4 2 2 CDE CF S     ， 12 5 CF  ， CM CF ， 12 5 CM  ， 线段CM 的最小值为 12 5 ， 故答案为： 12 5 ． 10． 4 654 5  【难度】0.65 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等 的性质和 SAS综合（SAS） 【分析】取 AC的中点 F，连接DF，证明出  SASECB DCF ≌ ，得到EB DF ，作点 C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 关于 AB的对称点 G，连接GF 与 AB的交点为 D，此时 BCE 的周长最小，过点 G作 GK AC 交于点 K，连接 AG，然后利用等面积法和勾股定理求解即可． 【详解】解：取 AC的中点 F，连接DF， ∵ 8AC  ， ∴ 4CF  ， ∵ 4BC  ， ∴CF BC ， ∵ 90BCA ECD   ， ∴ ECB DCF  ， ∵ CDE 是等腰直角三角形， ∴CE CD ， ∴  SASECB DCF ≌ ， ∴EB DF ， ∴ BCE 的周长 4EC CB BE CD BC DF CD DF         ， ∴当CD DF 最小时， BCE 周长最小， 作点 C关于 AB的对称点 G，连接GF 与 AB的交点为 D， 由对称性可得，CD DG ， ∵两点之间线段最短， ∴CD DF GD DF GF    ，此时 BCE 的周长最小， 过点 G作GK AC 交于点 K，连接 AG， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 ∵BA是CG的垂直平分线， ∴ 8AG AC  ， 在Rt ABC△ 中， 2 24 8 4 5AB    ， ∴ 1 1 2 2ABC S AB CH AC BC   △ ， ∴ 4 5 8 4CH   ， ∴ 16 5 5 CH = ， ∴ 8 5 5 CG  ， 在Rt ACH 中， 2 2 8 5 5 AH AC CH   ， 在 ACG 中， 1 1 2 2ACG S AC GK AH CG    ， ∴ 16 5 16 58 5 5 GK   ， ∴ 32 5 GK  ， ∴在Rt CGK△ 中， 2 2 16 5 CK CG GK   ， ∴ 16 44 5 5 KF    ， 在Rt KFG 中， 2 2 4 65 5 GF GK KF   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 ∴ BCE 的周长的最小值为 4 654 5  ． 故答案为： 4 654 5  ． 【点睛】此题考查了轴对称求最短距离，勾股定理，等腰直角三角形的性质，垂直平分线的性 质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 11．2 3 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、含 30度角的直角三角形、直角三角形 的两个锐角互余 【分析】本题考查含30角的直角三角形的性质，勾股定理，当点F 与C重合时， EFP△ 的 边长最长，根据30角所对的直角边是斜边的一半可得 4AC  ， 2AP  ，再由勾股定理可得 答案．利用勾股定理求出 BC的长是解题的关键． 【详解】解：如图所示，当点C F、 重合且点 P在 AB上时，等边 EFP△ 的边长最长， ∵ EFP△ 是等边三角形， 90ACB  ， ∴ 60PFE  ， ∴ 90 60 30PCA ACB PFE       ， ∵ 30B  ， 8AB  ∴ 60 30 90APC PFE B       ， 在 ABC 中， 1 1 8 4 2 2 AC AB    ， 在 ACP△ 中， 1 1 4 2 2 2 AP AC    ， ∴在Rt PAC△ 中， 2 2 2 24 2 2 3PC AC AP     ， ∴等边 EFP△ 的边长的最大值为2 3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 12． 43 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和 ASA（AAS）综合（ASA或者 AAS）、等边对等角、用勾股定理解 三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】延长 AC，取 3CD AC  ，连接BD，在BD上取DH AE ，连接CH ，过点 D 作DG AD ，取DG AB ，连接CG，证明 ACE DCH△ ≌△ ，得出CE CH ，证明 ABF GDH≌  ，得出GH AF ，说明CE AF CH GH   ，得出当CH GH 最小时， CE AF 最小，根据当 C、H、G三点共线时，CH GH 最小，且最小值为CG，求出最小 值即可． 【详解】解：延长 AC，取 3CD AC  ，连接BD，在BD上取DH AE ，连接CH ，过 点 D作DG AD ，取DG AB ，连接CG，如图所示： ∵ 90ACB  ， 3, 5AC BC  ， ∴ 2 2 34AB AC BC   ， BC垂直平分 AD， ∴ AB DB ， ∴ BAC BDA   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 ∵ AC DC ， AE DH ， ∴ ACE DCH△ ≌△ ， ∴CE CH ， ∵ AB DB ， BC AD ， ∴ ABC DBC  ， ∵BC AC ，DG AD ， ∴BC GD∥ ， ∴ DBC GDH  ， ∴ ABD GDH  ， ∵ AE BF ， AE DH ， ∴BF DH ， ∵ 34DG AB  ， ∴ ABF GDH≌  ， ∴GH AF ， ∴CE AF CH GH   ， ∴当CH GH 最小时，CE AF 最小， ∴当 C、H、G三点共线时，CH GH 最小，且最小值为CG， ∴CE AF 的最小值为：  22 2 23 34 43CG CD GD     ． 故答案为： 43． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线的 判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 13．②④ 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形、已知两点坐标求两点距离、判断三边能否构成直角三角形、求最短路 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 径(勾股定理的应用) 【分析】①利用两点距离公式可以计算 AB的长； ②根据两点距离公式表示三边，再根据勾股定理逆定理进行计算即可； ③如图作辅助线，利用面积差可得 APB△ 的面积； ④如图，先作垂线段BD，由勾股定理可知： 29 x 就是 PA的长， 2(4 ) 1x  就是 PB的 长，所以 2 29 (4 ) 1x x    的最小值就是PA PB 的最小值，根据轴对称的最短路径问 题可得结论． 【详解】解：①∵点 (0,3)A ，点 (4,1)B ， ∴    2 20 4 3 1 2 5AB      ， 故①结论不正确； ②    2 22 0 3 3 0 18AP      ，    2 22 4 3 1 0 2BP      ，由上知 2 20AB  ， ∴ 2 2 2AP BP AB  ， ∴ 90APB  ， ∴ APB△ 是直角三角形， 故②正确； ③如图，在Rt APO 中， 3AO  ， 13AP  ， 2 2( 13) 3 2OP    ， 过 B作 BD x 轴于 D， 1BD  ， 4 2 2PD    ， APB AOP PDBAODBS S S S     梯形 ，  1 1 1 2 2 2 OD BD AO AO OP PD BD        ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16  1 1 14 1 3 3 2 2 1 2 2 2           ， 8 3 1   ， 4 ， 故③错误； ④如图，过 B作 BD x 轴于 D，  ,0P x ， OP x  ， 4PD x  ， 由勾股定理得： 2 2 23 9AP x x    ， 2(4 ) 1PB x   ， 作 A关于 x轴的对称点 A，连接 A B 交 x轴于 P，则PA PA ， ∴ AP PB A P PB A B     ， 此时 AP PB 的值最小， 过 B作BC OA 于 C， 则 3 3 2 4AC     ， 4BC  ， 由勾股定理得： 2 24 4 4 2AB   ， AP PB  的最小值是4 2 ， 即设点 P的坐标为  ,0x ，则 2 29 (4 ) 1x x    的最小值为4 2 ． 故④正确， 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题、图形与坐标特点、勾股定理，勾股定理逆定理， 熟练掌握并能灵活运用轴对称的最短路径问题是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 14．(1) ACP 的面积为 3 2 (2) 3 2 (3)3或 27 5 或6 【难度】0.4 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、 用勾股定理解三角形 【分析】（1）把 1t  代入得出CP，利用三角形的面积进行解答即可； （2）过 P作 PE AB ，设CP t ，根据角平分线的性质和勾股定理进行解答即可； （3）根据 AC CP ，利用等腰直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：当 1t  时，则 1cmCP  ， 所以 ACP 的面积 1 31 3 2 2     2cm ； （2）过 P作 PE AB ，如图 1： 90C  ， 3cmAC  ， 5cmAB  ，  2 2 2 25 3 4 cmBC AB AC      ，CP t ，  4 cmBP t  ， ∵ AP为 CAB 的平分线， ∴ 3cmAE AC  ， PE CP tcm  ，  5 3 2 cmBE    ， 在Rt PBE△ 中， 2 2 2PE EB PB  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18  2 2 2(4 ) 2t t   解得： 3 2 t  ； （3）如图： 因为 ACP 是以 AC为腰的等腰三角形， 当点 P在BC上时， 3AC CP  时， 1 3 1 3st    ； 当点 P在 AB上时， 3AC CP  时，过C作CF AB 于F ， 1 1 2 2ABC S AC BC AB CF    ， 即 1 13 4 5 2 2 CF     ， 解得： 12 5 CF  ， AC CP ，CF AP ，  2 2 2 2 12 182 2 2 3 5 5 AP AF AC CF           ， 18 75 5 5 PB    ，  2 7 274 s 5 5 t    ； 当 3AC AP  时， 5 3 2PB    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19  3 4 2 6st    故答案为：3或 27 5 或6． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，勾股定理，角平分线的性质，分类讨 论是解题的关键． 15．(1) 2 225 (15 ) 9x x    ； (2)①当 AC CE 时，最小值为0； ②当A、C、E三点共线时 AC CE 取最小值， 17AC CE  ； ③代数式最小值为15． 【难度】0.4 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、用勾股定理解三角形、两点之间线段最短 【分析】（1）由于 ABCV 和 CDE 都是直角三角形，故 AC，CE可由勾股定理求得； （2）①当 AE CE 时，最小值为0； ②若点C不在 AE的连线上，根据三角形中任意两边之和第三边知，AC CE AE  ，故当A、 C、E三点共线时， AC CE 的值最小； ③由②的结果利用勾股定理求得 AE的值． 【详解】（1）由勾股定理知 225 (15 )AC x   ， 2 +9CE x ， ∴ 2 225 (15 ) 9(0 15)AC CE x x x        ， 故答案为： 2 225 (15 ) 9(0 15)x x x      ； （2）①当 AE CE 时，最小值为0， 故答案为0； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 ②当A、C、E三点共线时 AC CE 取最小值，如下图， ∴    2 2 64 225 17AC CE AE AB DE BC CD         ； ③根据②中规律可以构造出如图所示， 同理可得：        2 2 2 22 2 2 2 2 236 12 9 6 12 3 12 6 3 12 9 15x x x x x x                . 【点睛】此题考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结 合的思想，求形如 2 4x  的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 勾股定理中的动点问题 1．如图，Rt ABC△ 中， 90B ， 3AB  ， 4BC  ，点 P是 AC边上一动点，则线段BP长 度的最小值为（ ） A．3 B．2.5 C．2.4 D．2 2．如图，在Rt ABC△ 中， 90A  ， 8cmAB  ， 6cmAC  ，点O是BC边上的一个动 点（不与点 B、C重合），点O沿BC以2cm / s的速度从点 B开始向点C运动，当 ABO 是 直角三角形时，运动的时间为（ ） A．3s B．2.5s C．3.2s D． 5s 3．如图，在 ABC 中， 5 8AB AC BC＝ ＝ ， ＝ ，D是线段 BC上（不含端点 B，C）的动点．若 线段 AD长为正整数，则点 D的个数共有（ ） A．5个 B．3个 C．2个 D．1个 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 4．如图，在Rt ACB△ 中， 90C  ， 30A  ， 2 3BC  ．以点 B为圆心，适当的长 为半径作弧交 BC、 AB于点 E、F；分别以点 E、F为圆心，以大于 1 2 EF为半径作弧，两弧 交于点 Q；作射线 BQ，交 AC于点 D．P为 AB上一动点，连结 PD，则 PD的最小值是 （ ） A．1 B． 2 C． 3 D．2 5．如图，在Rt ABC△ 中， 90A  ，BD平分 ABC 交 AC于 D点， 12, 13AB BD  ， 点 P是线段 BC上的一动点，则 PD的最小值是（ ） A．6 B．5 C．13 D．12 6．如图，在Rt ABC△ 中， 90 10 6ACB AB AC    ， ， ，点 D是 BC上一动点，连接 AD， 将 ACD 沿 AD折叠，点 C落在点 E处，连接DE交 AB于点 F，当 DEB 是直角时，DF的 长为（ ） A．5 B．3 C． 3 2 D． 3 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 7．如图，点 A是射线 BM 外一点，连接 AB，若 5cmAB  ，点 A到 BM 的距离为3cm，动 点 P从点 B出发沿射线 BM 以2cm/s的速度运动．设运动的时间为 t秒，当 ABP 为直角三角 形时，t的值为（ ） A． 25 4 B．2 C．2或 25 4 D．2或 25 8 8．如图，在等边三角形 ABC中， AD为 BC边的中线，在 AB，CB上分别取点M ，N ， 且 6AM BN  ， 3DN  ，在 AD上有一动点 P，则PM PN 的最小值为 ，此时， AP PD 的值是 ． 9．如图，在 ABC 中， 90BAC  ，AB AC ，点D在 BC上， 3BD  ， 4CD  ，以 AD 为一边作 ADE ，使 =90DAE ， AD AE ．若M 是DE上一个动点，则线段CM 长的最 小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 10．在 ABC 中， 90BCA  ， 4BC  ， 8AC  ，点 D是线段 AB上的动点，连接CD， 以线段CD为直角边如图所示作等腰直角三角形CDE， 90DCE  ，则 BCE 周长的最小 值为 ． 11．如图，在Rt ABC△ 中， 90C  ， 30B  ， 8AB  ．若E F、 是 BC边上的两个动 点，以EF为边的等边 EFP△ 的顶点 P在 ABC 内部或边上，则等边 EFP△ 的边长的最大值 为 ． 12．如图，在Rt ABC△ 中， 90 , 3, 5ACB AC BC     ，点E F、 分别是 AB BC、 上的动 点，且 AE BF ，则 AF CE 的最小值为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，点 (0,3)A ，点 (4,1)B ，点 P是 x轴正半轴上一动点给出下 列结论： ①线段 AB的长为 5； ②当点 P坐标为 (3,0)时， APB△ 是直角三角形； ③在 APB△ 中，若 13AP  ，则 APB△ 的面积是3 2； ④设点 P的坐标为  ,0x ，则 2 29 (4 ) 1x x    的最小值为4 2 ． 反其中正确的有 （填序号） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 14．已知：如图，在 ABC 中， 90C  ， 3cmAC  ， 5cmAB  ，动点 P从点C出发， 按C B A  的路径，以1cm / s的速度运动，设运动的时间为 t秒． (1)当 1t  时，求 ACP 的面积； (2) t为何值时，线段 AP是 CAB 的平分线？ (3)请利用备用图 2继续探索，当 t为______时， ACP 是以 AC为腰的等腰三角形．(直接写 出结果) 15．阅读并回答下列问题． 几何模型：如图①，A、B是直线 l同侧的两个定点．问题：在直线 l上找一点 P，使PA PB 值最小． 方法：如图②，作 B点关于 l的对称点 B ，连接 AB交 l于 P点，则 P为所求作的点．（不 必说明） 模型应用：如图③，若A、E两点在直线 l同侧，分别过点A、E作 AB BD ，ED BD ， C为线段BD上一动点，连接 AC、 EC．已知 5AB  ， 3DE  ， 15BD  ，设CD x ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 (1)用含 x的代数式表示 AC CE 的长为 ； (2)拓展运用： ①请问点C满足什么条件时， AC CE 的值最小，最小值为 ； ②请问点C满足什么条件时， AC CE 的值最小，并求出最小值； ③根据②中的规律和结论，直接写出代数式 2 236 (12 ) 9x x    的最小值．