精品解析：安徽省马鞍山市第八高级中学2024-2025学年高一下学期分班考试数学试题

数学试卷 注意事项： 1．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 2．考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合间的关系，以及交并补运算的定义，结合选项即可逐一求解. 【详解】集合 ，，故选项A错误； 显然且，故选项B错误； ，故选项C正确； ，选项D错误. 故选：C 2. 下列命题错误的是（ ） A. 是第三象限角 B. 角为第二或第三象限角的充要条件是 C. 经过30分钟，钟表的分针转过弧度 D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 【答案】C 【解析】 【分析】根据终边相同的角即可判定A，根据象限角三角函数的符号即可判定B，根据顺时针即可判定C，根据扇形弧长以及面积的计算公式即可求解D. 【详解】对于选项A：因为，且为第三象限的角， 所以为第三象限的角，故A正确； 对于选项B：因为， 等价于，等价于角为第二或第三象限角 所以角为第二或第三象限角的充要条件是，故B正确； 对于选项C：经过分钟，钟表的分针是顺时针转动，故转过弧度，故C错误， 对于选项D：由于圆心角为的扇形的弧长为，可知扇形的半径为， 所以该扇形面积为，故D正确， 故选：C. 3. 已知点在幂函数的图象上，则是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 在上单调递减 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知求出，从而函数，根据奇偶性定义以及反比例函数得到答案． 【详解】∵点在幂函数的图象上，设， ∴，解得， ∴函数，定义域为，关于原点对称， ∴， ∴函数是奇函数，根据反比例图象在上单调递减． 故选：A． 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，结合临界值0、1，即可得解. 【详解】因为在上单调递减， 所以， 因在上单调递减，且恒成立， 所以， 因为在上单调递减，所以， 综上：. 故选：A. 5. 设，则值为（ ） A. B. C. -1 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合诱导公式可得，再利用诱导公式和同角三角函数的基本关系化简，即可得解. 【详解】∵， ∴， ∴． 故选：A. 6. 已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】变换得到，计算得到答案. 【详解】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 7. “古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角的范围为时，其所对的“古典正弦”为（为的中点）．根据以上信息，当圆心角对应弧长时，的“古典正弦”值为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的定义，结合圆的性质求出的“古典正弦”值. 【详解】由圆心角对应弧长，得圆心角弧度数绝对值为2，则， 所以. 故选：D. 8. 根据国际标准，室内二氧化碳浓度应不超过1000ppm，在这个范围内，室内空气质量良好，人体健康不受到影响.已知某室内二氧化碳浓度与开窗通风的时长（分钟）之间的关系式为.经测定，该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2000ppm，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则需要开窗通风的时长至少约为（ ） （参考数据：，） A. 6分钟 B. 8分钟 C. 10分钟 D. 12分钟 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的信息求出函数关系式，再建立不等式求解即得. 【详解】依题意，时，，则，解得， 因此，由，得，解得， 则，， 所以需要开窗通风的时长至少约为10分钟. 故选：C 二、多选题（每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 命题：任意两个等边三角形都相似；该命题的否定是：存在两个等边三角形，它们不相似 C. 表示炮弹飞行高度与时间关系的函数和二次函数是同一个函数 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的定义域后可判断A的正误，根据全称命题否定的结构形式可判断B的正误，根据函数的定义可判断C的正误，根据不等式的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，因为，故， 故，故的定义域为，故A正确； 对于B，“任意两个等边三角形都相似”的否定为：存在两个等边三角形，它们不相似， 故B正确； 对于C，函数中，， 而二次函数中，，它们定义域相异，故不是同一函数，故C错误； 对于D，因为，故，故，故D正确； 故选：ABD. 10. 函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的有（ ） A. 的一个对称中心为 B. 在上单调递增 C. 是的一条对称轴 D. 是偶函数 【答案】BD 【解析】 【分析】先由图象得出 ，再由三角函数性质逐一判定即可得出结论． 【详解】由图知，则， ，所以，则， 即 因为，所以，，即，， 因为，得，所以， 所以 对于选项A：当时，，故A错； 对于选项B： 的单调递增区间为，， 解得，， 当时，故在上单调递增，故B对； 对于选项C：，故C错； 对于选项D：， 因为所以是偶函数，故D对， 故选：BD． 11. 已知函数，若函数有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】将问题转化为与的图象交点问题，再利用对数函数与二次函数的性质作出的大致图象，数形结合逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】令，可得， 若有4个不同的零点，且， 可知与的图象有4个不同的交点，其横坐标从左到右依次为， 又， 利用对数函数与二次函数的性质作出的大致图象，如图， 结合图象可知，，且， 故B错误，C正确； 对于选项AD：因为，且， 即，则， 可得， 即，故A正确； 所以，故D正确； 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知角的终边经过点P(12，5)，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求得角的正切值，再利用两角和的正切公式求得答案. 【详解】角的终边经过点P(12，5)， 故 ， 所以， 故答案为： 13. 已知函数在上单调且图像关于点对称，若正数，满足，则的最小值为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得是定义在上的奇函数，即可得到，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数的图像关于点对称， 即是定义在上的奇函数， 由可得， 且函数在上单调，所以，即， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 14. 已知函数的最大值为，最小值为．函数取最大值时对应x的集合为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的范围求出，的值，再根据得出取最大值时，进而求出的取值集合. 【详解】因为，， ，， ，，， 的最大值为2，此时，则， ，故取最大值时对应x的集合为 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解指数不等式求得集合，由此求得； （2）由题意可知集合B是集合A的真子集，对集合是否为空集进行分类讨论，结合包含关系列不等式，从而求得的取值范围. 【小问1详解】 因为，解得，所以， 当，，所以. 【小问2详解】 由（1）可知： 若“”是“”的必要不充分条件，可知集合B是集合A的真子集， 且， 若，则，解得； 若，则，等号不同时成立，解得； 综上所述：的取值范围为. 16. 已知函数为奇函数，且 （1）求的解析式 （2）求证：在区间上单调递增； 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据求出参数的值，再根据，求出参数的值，最后检验即可. （2）根据单调性的定义求出即可. 【小问1详解】 由函数为奇函数，且定义域为， 可得，即，解得， 又，解得，所以， 对任意的，， 满足为奇函数，综上可得， 【小问2详解】 任意的，，且， 有， 由，可得，， 则，即， 所以在区间上单调递增. 17. （1）已知，求和的值 （2）已知，，求值 （3）已知，，求的值 【答案】（1）答案见详解；（2）3；（3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知角为第一或第四象限角，分类讨论，结合同角三角关系分析求解； （2）先将指数化为对数，结合对数运算求解； （3）根据同角三角关系列式求，即可得结果. 【详解】（1）因为，可知角为第一或第四象限角， 若角为第一象限角，则； 若角为第四象限角，则； （2）因为，，则， 所以； （3）由题意可得，解得或， 又因为，则，可得， 所以. 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期 （2）若，求函数值域； （3）若且，求的值． 【答案】（1）最小正周期为 （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据二倍角公式和辅助角公式，把函数整理为正弦型函数，利用周期公式，求周期； (2)根据题中所给，求得的取值范围，利用正弦函数的图像，求出函数值域； (3)根据题中所给范围，求得的取值范围，转化为解方程，结合，代入求解. 【小问1详解】 由题意可得： ， 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 因为，则， 可得，即， 所以函数的值域为. 【小问3详解】 因为，则， 且，即， 可得， 所以 ， 所以. 19. 已知函数的定义域为，若，，，使得对都成立，则称为型函数． （1）证明：每一个指数函数（且）都是型函数； （2）若函数是型函数，求实数，的值： （3）已知函数在定义域上的函数值恒大于0，且为型函数：当时，的解析式为 ①求当时，求的解析式； ②若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据型函数定义可证明指数函数（且）都是型函数； （2）根据型函数结合对数运算可得恒等式，故可求参数的值； （3）①根据恒等关系式可求时的解析式；②由题设条件可得时，恒成立，利用换元法结合参变分离可求参数的范围. 【小问1详解】 对于指数函数，有， 故每一个指数函数（且）都是型函数. 【小问2详解】 因为函数是型函数， 所以，所以，其中 即，整理得到：在上恒成立， 故，故. 【小问3详解】 ①因为为型函数，故，故， 而，故. 故，则，故， 故， 故当时，. ②因为在上恒成立，而， 故时，，且当时，，故， 故时，恒成立， 故在上恒成立，设， 故在上恒成立，故在上恒成立， 设，则在上为增函数，故， 设，由双勾函数的性质可得在上为增函数， 故，故. 综上. 【点睛】思路点睛：对于函数新定义问题，应挖掘新定义蕴含的不同范围上函数值的关系，从而把不同范围的不等式的恒成立问题转化为一个范围上的不等式恒成立问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试卷 注意事项： 1．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 2．考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题错误的是（ ） A. 是第三象限角 B. 角为第二或第三象限角的充要条件是 C. 经过30分钟，钟表的分针转过弧度 D. 若圆心角为扇形的弧长为，则该扇形面积为 3. 已知点在幂函数的图象上，则是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 在上单调递减 4. 设，则大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则值为（ ） A. B. C. -1 D. 1 6. 已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. “古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角的范围为时，其所对的“古典正弦”为（为的中点）．根据以上信息，当圆心角对应弧长时，的“古典正弦”值为（ ） A. B. C. D. 8. 根据国际标准，室内二氧化碳浓度应不超过1000ppm，在这个范围内，室内空气质量良好，人体健康不受到影响.已知某室内二氧化碳浓度与开窗通风的时长（分钟）之间的关系式为.经测定，该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2000ppm，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则需要开窗通风的时长至少约为（ ） （参考数据：，） A. 6分钟 B. 8分钟 C. 10分钟 D. 12分钟 二、多选题（每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 命题：任意两个等边三角形都相似；该命题的否定是：存在两个等边三角形，它们不相似 C. 表示炮弹飞行高度与时间关系的函数和二次函数是同一个函数 D. 若，，则 10. 函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的有（ ） A. 的一个对称中心为 B. 在上单调递增 C. 是的一条对称轴 D. 是偶函数 11. 已知函数，若函数有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知角的终边经过点P(12，5)，则的值是______． 13. 已知函数在上单调且图像关于点对称，若正数，满足，则最小值为_____． 14. 已知函数的最大值为，最小值为．函数取最大值时对应x的集合为_____ 四、解答题（本大题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 16. 已知函数为奇函数，且 （1）求的解析式 （2）求证：在区间上单调递增； 17. （1）已知，求和的值 （2）已知，，求的值 （3）已知，，求的值 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期 （2）若，求函数的值域； （3）若且，求的值． 19. 已知函数的定义域为，若，，，使得对都成立，则称为型函数． （1）证明：每一个指数函数（且）都是型函数； （2）若函数是型函数，求实数，的值： （3）已知函数在定义域上的函数值恒大于0，且为型函数：当时，的解析式为 ①求当时，求的解析式； ②若在上恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$