第四单元 比例-2024-2025学年苏教版数学六年级下学期易错笔记优选题培优讲练（学生版+教师版）

2024-2025学年苏教版数学六年级下学期易错笔记优选题培优讲练 第四单元 比例 (新知回顾梳理+易错考点点拨+易错真题培优卷） 知识点梳理01：比例的意义和基本性质 1. 比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。例如，在1:2=3:6中，1、2、3和6都叫做该比例的项，其中1和6是比例的外项，2和3是比例的内项。组成比例的四个数，叫做比例的项；两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 2. 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这可以用字母表示为：如果a∶b=c∶d，那么ad=bc。 知识点梳理02：比和比例的区别与联系 1. 比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。其中，“:”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。另外，比的后项不能是零。 2. 比与比例的联系：比是表示两个量相除的关系，它有两项（即前、后项）；比例则表示两个比相等的式子，它有四项（即两个内项和两个外项）。同时，比有基本性质，它是化简比的依据；比例也有基本性质，它是解比例的依据。 知识点梳理03：正比例和反比例 1. 正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可用式子表示为：y/x=k。 2. 反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可用式子表示为：xy=k。 知识点梳理04：比例尺 1. 比例尺的定义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。图上距离与实际距离的比值，即为比例尺。用公式表示为“图上距离∶实际距离=比例尺”或“图上距离/实际距离=比例尺”。 2. 比例尺的种类：按照表现形式分，比例尺有数值比例尺和线段比例尺两种，两种比例尺可以互相转化。把线段比例尺改写成数值比例尺时，一定要统一单位。按将实际距离缩小还是放大分，可以分为缩小比例尺和放大比例尺。 3. 比例尺的应用： 已知图上距离和实际距离，可以求出比例尺。此时需要先统一单位，然后根据“图上距离∶实际距离=比例尺”列式，并化简为比的前项或后项是“1”的形式。 已知图上距离和比例尺，可以求出实际距离。此时可以根据“图上距离:实际距离=比例尺”，用解比例的方法求出；也可以把比例尺看作一个比值，用“图上距离÷比例尺=实际距离”直接计算。 已知实际距离和比例尺，可以求出图上距离。此时可以用解比例的方法计算，也可以根据“图上距离=实际距离×比例尺”直接计算。 知识点梳理05：解比例 1. 解比例的意义：求比例中的未知项，叫做解比例。 2. 解比例的依据：比例的基本性质，即两个外项的积等于两个内项的积。 3. 解比例的方法：根据比例的基本性质解比例时，先把比例转化为“外项之积=内项之积”的形式，再通过解方程求出未知项的值。 易错知识点01：比例的基本性质 易错点1：混淆比例的外项和内项 问题描述：学生在应用比例的基本性质（两个外项的积等于两个内项的积）时，容易混淆比例的外项和内项，导致计算错误。 解析：比例的外项是比例式两端的数，内项是比例式中间的数。在应用比例的基本性质时，必须确保外项和内项对应正确。 易错点2：忽视比例的基本性质在解题中的应用 问题描述：学生在解题时，可能忽视比例的基本性质，导致无法正确求解。 解析：比例的基本性质是解决比例问题的关键，必须熟练掌握并灵活应用。 易错知识点02：正比例和反比例 易错点1：混淆正比例和反比例的概念 问题描述：学生可能无法准确区分正比例和反比例，导致在判断两个量之间的关系时出现错误。 解析：正比例是指两个量之间的比值恒定，而反比例是指两个量之间的乘积恒定。必须明确这两个概念的区别。 易错点2：忽视正比例和反比例的应用条件 问题描述：学生在应用正比例和反比例时，可能忽视其应用条件，导致解题错误。 解析：正比例和反比例的应用条件是两个量之间存在确定的数学关系，且这种关系在特定条件下保持不变。必须明确这些条件并灵活应用。 易错知识点03：比例尺 易错点1：忽视比例尺的单位 问题描述：学生在使用比例尺时，可能忽视单位换算，导致计算结果不准确。 解析：比例尺通常用于表示地图上的距离与实际距离的比例关系。在使用时，必须注意单位换算，确保计算结果的准确性。 易错点2：混淆比例尺的数值和线段表示 问题描述：学生可能无法准确区分比例尺的数值表示和线段表示，导致在解题时出现错误。 解析：比例尺可以用数值表示，也可以用线段表示。必须明确这两种表示方式的区别，并灵活应用。 易错知识点04：解比例 易错点1：忽视解比例的基本步骤 问题描述：学生在解比例时，可能忽视基本步骤，如设未知数、列方程、解方程等，导致解题错误。 解析：解比例的基本步骤包括设未知数、根据比例关系列方程、解方程等。必须熟练掌握这些步骤并灵活应用。 易错点2：混淆比例和方程的概念 问题描述：学生可能将比例和方程混淆，导致在解题时出现错误。 解析：比例和方程是两个不同的数学概念。比例表示两个数之间的比值关系，而方程表示未知数之间的数学关系。必须明确这两个概念的区别，并灵活应用。 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.48（较难） 一．精挑细选，慎重选择.（括号里填入正确答案的序号）（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2024•岳阳）北京市轨道交通6号线全长，现需要将其画在长、宽的长方形纸上，你认为选哪个比例尺最合适　　 A． B． C． D． 2．（2分）（2024春•洋县期中）一个机器零件长10毫米，在的图纸上应画　　 A．10厘米 B．10毫米 C．1毫米 3．（2分）（2023•西双版纳）小美和小颖分别将校园内的一棵大树画了下来，如图，如果小美是按的比例尺画的，那么小颖是按　　的比例尺画的。 A． B． C． D． 4．（2分）（2024•昌邑市）能与组成比例的是　　 A． B． C． D． 5．（2分）（2022•南开区）一个比例式，两个外项的和是16，一个外项是另一个外项的3倍，两个比的比值是。这个比例式是　　 A． B． C． D． 二．细心读题，准确填空（共8小题，满分13分） 6．（1分）（2024•惠东县）在一幅比例尺是的图纸上，一个零件的图上长度是12厘米，它的实际长度是　 　． 7．（2分）（2024•迁安市）一幅地图的比例尺是，把它改成线段比例尺是　　，已知甲乙两地的实际距离是240千米，画在这幅地图上长是　　厘米． 8．（2分）（2024•瑞安市）2023年8月26日，温州轨道交通线正式开通运营，极大方便了市民的出行。在比例尺为的地图上，量得上望站与鲍田站之间的图上距离为4厘米，则上望站与鲍田站的实际距离是 　　千米，需行驶9分钟。照这样的速度，行完线的全程64千米需要 　　分钟。 9．（1分）（2024春•迁安市期中）若和均不为，则　　　　。 10．（1分）（2018春•延平区期末）一个长5厘米、宽3厘米的长方形按放大后得到的图形面积是　　． 11．（2分）（2021•金乡县）把一个半径是2厘米的圆，按放大画在纸上，直径应画　 　厘米，这时它的周长是　 　． 12．（3分）（2022•青川县）如图，中，，沿图中虚线剪去。那么　　，　　；将按放大后，　　。 13．（1分）（2024春•蕉岭县期中）两个完全一样的水桶要装满水，淘气、笑笑分别用大杯和小杯舀水，每次都将水杯盛满．第一桶用12大杯和25小杯正好装满，第二桶用20大杯和15小杯也正好装满．大杯和小杯的容积之比是　 　． 三．用心看题，精准判断（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（2分）（2024•沁阳市）如果、均不为，那么。 　　（判断对错） 15．（2分）（2024•蒲城县）5、6、8和12可以组成比例。 　　（判断对错） 16．（2分）（2023•清苑区）若，那么．　 　． 17．（2分）（2024春•惠阳区期中）把一个正方形按缩小后，周长和面积都缩小到原来的。 　　（判断对错） 18．（2分）（2024•任城区）把一个长方形按放大，放大后的图形面积是原来的16倍。 　　（判断对错） 四．看清数字，准确计算（共1小题，满分8分，每小题8分） 19．（8分）（2024春•惠民县期中）解比例。 （1） （2） （3） （4） 五．联系生活，实际应用（共11小题，满分59分） 20．（5分）（2023春•揭东区期中）把一个长方形按的比缩小，缩小后与缩小前的图形的面积相差64平方厘米。原来长方形的面积是多少平方厘米？ 21．（5分）（2021春•北票市期中）一块正方形草坪，边长30米，把边长缩小到原来的后画在图纸上，图纸上正方形的面积是多少平方厘米？ 22．（5分）（2024秋•正定县期末）张师傅开车从石家庄到北京，路上行驶了3小时。已知在比例尺的地图上，两地之间路程长是11厘米，张师傅平均每小时行驶了多少千米？ 23．（5分）（2024秋•渝北区期末）在一幅比例尺是的地图上，量得甲、乙两个城市之间的公路长是6厘米。如果一辆汽车以每小时100千米的速度从甲城市开到乙城市，需要多少小时？ 24．（5分）（2024•源城区）河源是“山水一色、人文秀美”旅游的好胜地。2024年春节，淘气一家到河源旅行，在比例尺为的地图上量了家到河源的图上距离是8厘米，淘气爸爸以每小时80千米行驶，多少小时能到河源？ 25．（5分）（2024•汶上县）在比例尺是的地图上，量得甲乙两城市之间的距离是，如果一辆汽车的速度是90千米时，那么从甲城到乙城用几小时？ 26．（5分）（2024春•单县期中）在一幅比例尺是的地图上，量得北京到井冈山的距离大约是21厘米。北京到井冈山的实际距离大约是多少千米？ 27． （6分）（2021春•牡丹区期中）一个零件的实际长度是8毫米，在设计图上用4厘米表示，这幅图的比例尺是多少？ 28．（6分）（2024•温岭市）按要求完成题目。（图中每个小正方形的边长是1厘米） （1）在平行四边形中，如果点的位置用数对表示为，那么： 　　，　　， 　　，　　， 　　，　　。 （2）画出平行四边形绕点顺时针旋转后的图形。 （3）圆心位置不变，将图中的圆按放大，画出放大后的图形。面积增加了 　　平方厘米。 29．（6分）（2024春•福清市期中）在一幅比例尺是的地图上，量得甲乙两地距离是9.6厘米，一架飞机以平均每小时800千米的速度从甲地飞往乙地，上午10时出发，下午几时可以达到乙地？ 30．（6分）（2023•龙里县）在比例尺是的地图上，量得两地间的距离是7.6厘米．甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，4小时相遇．已知甲、乙两车的速度比是，求甲车每小时比乙车少行多少千米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏教版数学六年级下学期易错笔记优选题培优讲练 第四单元 比例 (新知回顾梳理+易错考点点拨+易错真题培优卷） 知识点梳理01：比例的意义和基本性质 1. 比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。例如，在1:2=3:6中，1、2、3和6都叫做该比例的项，其中1和6是比例的外项，2和3是比例的内项。组成比例的四个数，叫做比例的项；两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 2. 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这可以用字母表示为：如果a∶b=c∶d，那么ad=bc。 知识点梳理02：比和比例的区别与联系 1. 比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。其中，“:”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。另外，比的后项不能是零。 2. 比与比例的联系：比是表示两个量相除的关系，它有两项（即前、后项）；比例则表示两个比相等的式子，它有四项（即两个内项和两个外项）。同时，比有基本性质，它是化简比的依据；比例也有基本性质，它是解比例的依据。 知识点梳理03：正比例和反比例 1. 正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可用式子表示为：y/x=k。 2. 反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可用式子表示为：xy=k。 知识点梳理04：比例尺 1. 比例尺的定义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。图上距离与实际距离的比值，即为比例尺。用公式表示为“图上距离∶实际距离=比例尺”或“图上距离/实际距离=比例尺”。 2. 比例尺的种类：按照表现形式分，比例尺有数值比例尺和线段比例尺两种，两种比例尺可以互相转化。把线段比例尺改写成数值比例尺时，一定要统一单位。按将实际距离缩小还是放大分，可以分为缩小比例尺和放大比例尺。 3. 比例尺的应用： 已知图上距离和实际距离，可以求出比例尺。此时需要先统一单位，然后根据“图上距离∶实际距离=比例尺”列式，并化简为比的前项或后项是“1”的形式。 已知图上距离和比例尺，可以求出实际距离。此时可以根据“图上距离:实际距离=比例尺”，用解比例的方法求出；也可以把比例尺看作一个比值，用“图上距离÷比例尺=实际距离”直接计算。 已知实际距离和比例尺，可以求出图上距离。此时可以用解比例的方法计算，也可以根据“图上距离=实际距离×比例尺”直接计算。 知识点梳理05：解比例 1. 解比例的意义：求比例中的未知项，叫做解比例。 2. 解比例的依据：比例的基本性质，即两个外项的积等于两个内项的积。 3. 解比例的方法：根据比例的基本性质解比例时，先把比例转化为“外项之积=内项之积”的形式，再通过解方程求出未知项的值。 易错知识点01：比例的基本性质 易错点1：混淆比例的外项和内项 问题描述：学生在应用比例的基本性质（两个外项的积等于两个内项的积）时，容易混淆比例的外项和内项，导致计算错误。 解析：比例的外项是比例式两端的数，内项是比例式中间的数。在应用比例的基本性质时，必须确保外项和内项对应正确。 易错点2：忽视比例的基本性质在解题中的应用 问题描述：学生在解题时，可能忽视比例的基本性质，导致无法正确求解。 解析：比例的基本性质是解决比例问题的关键，必须熟练掌握并灵活应用。 易错知识点02：正比例和反比例 易错点1：混淆正比例和反比例的概念 问题描述：学生可能无法准确区分正比例和反比例，导致在判断两个量之间的关系时出现错误。 解析：正比例是指两个量之间的比值恒定，而反比例是指两个量之间的乘积恒定。必须明确这两个概念的区别。 易错点2：忽视正比例和反比例的应用条件 问题描述：学生在应用正比例和反比例时，可能忽视其应用条件，导致解题错误。 解析：正比例和反比例的应用条件是两个量之间存在确定的数学关系，且这种关系在特定条件下保持不变。必须明确这些条件并灵活应用。 易错知识点03：比例尺 易错点1：忽视比例尺的单位 问题描述：学生在使用比例尺时，可能忽视单位换算，导致计算结果不准确。 解析：比例尺通常用于表示地图上的距离与实际距离的比例关系。在使用时，必须注意单位换算，确保计算结果的准确性。 易错点2：混淆比例尺的数值和线段表示 问题描述：学生可能无法准确区分比例尺的数值表示和线段表示，导致在解题时出现错误。 解析：比例尺可以用数值表示，也可以用线段表示。必须明确这两种表示方式的区别，并灵活应用。 易错知识点04：解比例 易错点1：忽视解比例的基本步骤 问题描述：学生在解比例时，可能忽视基本步骤，如设未知数、列方程、解方程等，导致解题错误。 解析：解比例的基本步骤包括设未知数、根据比例关系列方程、解方程等。必须熟练掌握这些步骤并灵活应用。 易错点2：混淆比例和方程的概念 问题描述：学生可能将比例和方程混淆，导致在解题时出现错误。 解析：比例和方程是两个不同的数学概念。比例表示两个数之间的比值关系，而方程表示未知数之间的数学关系。必须明确这两个概念的区别，并灵活应用。 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.48（较难） 一．精挑细选，慎重选择.（括号里填入正确答案的序号）（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2024•岳阳）北京市轨道交通6号线全长，现需要将其画在长、宽的长方形纸上，你认为选哪个比例尺最合适　　 A． B． C． D． 【思路点拨】依据题意可知，把看作，利用比例尺图上距离实际距离，计算比例尺的大小，由此解答本题。 【规范解答】解：把看作，，比例尺为：。 答：比例尺是。 故选：。 【考点评析】本题考查的是比例尺的应用。 2．（2分）（2024春•洋县期中）一个机器零件长10毫米，在的图纸上应画　　 A．10厘米 B．10毫米 C．1毫米 【思路点拨】要求零件的图上距离长多少厘米，根据“实际距离比例尺图上距离”，代入数值，计算即可． 【规范解答】解：（毫米）， 100毫米厘米； 答：在的图纸上应画10厘米． 故选：． 【考点评析】解答此题应根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论． 3．（2分）（2023•西双版纳）小美和小颖分别将校园内的一棵大树画了下来，如图，如果小美是按的比例尺画的，那么小颖是按　　的比例尺画的。 A． B． C． D． 【思路点拨】依据比例尺图上距离实际距离，计算出小美画的大树的实际高度，然后计算小颖的比例尺。 【规范解答】解：小美画的大树实际高度为：（厘米），小颖的比例尺为：。 故选：。 【考点评析】本题考查的是比例尺的应用。 4．（2分）（2024•昌邑市）能与组成比例的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】表示两个比相等的式子叫比例，分别求出题干和各选项比的比值，找到与题干比的比值相等的即可。 【规范解答】解： 能与组成比例的是，。 故选：。 【考点评析】本题考查了比例的意义。 5．（2分）（2022•南开区）一个比例式，两个外项的和是16，一个外项是另一个外项的3倍，两个比的比值是。这个比例式是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设一个外项是，则另一个外项是，根据两个外项的和是16，列方程求出两个外项；再分两种情况：①当第一个外项是4，第二个外项是12时，②当第一个外项是12，第二个外项是4时，分别求出两内项，写出比例式即可。 【规范解答】解：设一个外项是，则另一个外项是，根据题意列方程 另一个外项是： ①当第一个外项是4，第二个外项是12时， 因为两个比的比值是， 所以第一个内项是： 第二个内项是： 所以这个比例式是： ②当第一个外项是12，第二个外项是4时， 因为两个比的比值是， 所以第一个内项是： 第二个内项是： 所以这个比例式是： 故选：。 【考点评析】本题主要考查了比的意义和基本性质，解题的关键是求出比例式的外项。 二．细心读题，准确填空（共8小题，满分13分） 6．（1分）（2024•惠东县）在一幅比例尺是的图纸上，一个零件的图上长度是12厘米，它的实际长度是　0.4厘米　． 【思路点拨】要求它的实际长度是多少，根据“图上距离比例尺实际距离”，代入数值，计算即可． 【规范解答】解：（厘米）； 答：它的实际长度是0.4厘米． 故答案为：0.4厘米． 【考点评析】此题有计算公式可用，根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论． 7．（2分）（2024•迁安市）一幅地图的比例尺是，把它改成线段比例尺是　　，已知甲乙两地的实际距离是240千米，画在这幅地图上长是　　厘米． 【思路点拨】（1）4000000厘米千米，由题意可知图上的1厘米表示实际距离是40千米，然后画出线段比例尺； （2）用求出图上距离即可． 【规范解答】解：（1）4000000厘米千米， 由题意可知图上的1厘米表示实际的40千米得出线段比例尺： （2）（厘米）， 答：在这幅地图上长是6厘米． 故答案为：，6． 【考点评析】此题主要考查线段比例尺与数字比例尺的改写以及图上距离、实际距离和比例尺的关系． 8．（2分）（2024•瑞安市）2023年8月26日，温州轨道交通线正式开通运营，极大方便了市民的出行。在比例尺为的地图上，量得上望站与鲍田站之间的图上距离为4厘米，则上望站与鲍田站的实际距离是 　8　千米，需行驶9分钟。照这样的速度，行完线的全程64千米需要 　　分钟。 【思路点拨】依据题意可知，图上1厘米代表实际距离200000厘米，即2千米，由此计算上望站与鲍田站的实际距离，利用速度距离时间计算轨道交通线行驶速度，利用时间距离速度，结合题中数据计算行完线的全程需要时间。 【规范解答】解：由分析可知，（千米） （千米分） （分钟） 答：上望站与鲍田站的实际距离是8千米，行完线的全程需要72分钟。 故答案为：8，72。 【考点评析】本题考查的是比例尺以及简单行程问题的应用。 9．（1分）（2024春•迁安市期中）若和均不为，则　4　　　。 【思路点拨】在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫作比例的基本性质，依据题意去解答。 【规范解答】解：由分析可知：。 故答案为：4，5。 【考点评析】本题考查的是比例的基本性质的应用。 10．（1分）（2018春•延平区期末）一个长5厘米、宽3厘米的长方形按放大后得到的图形面积是　240平方厘米　． 【思路点拨】此题只要求出放大后的长和宽，根据“图上距离实际距离比例尺”可求出；然后根据“长方形的面积长宽”即可得出结论． 【规范解答】解：（厘米）， （厘米）， （平方厘米）， 答：得到的图形的面积是240平方厘米． 故答案为：240平方厘米． 【考点评析】此题考查的是对比例尺知识的应用，要明确比例尺、图上距离和实际距离的关系． 11．（2分）（2021•金乡县）把一个半径是2厘米的圆，按放大画在纸上，直径应画　12　厘米，这时它的周长是　 　． 【思路点拨】把一个图形放大或缩小若干倍是指对应边放大或缩小若干倍，这个圆的半径是2厘米，把放大后的圆的半径是（厘米），在同圆或等圆中，直径是半径的2倍，因此，直径应画12厘米；由放大后圆的直径，根据圆的周长公式即可求出放大后的圆的周长． 【规范解答】解：（厘米）， （厘米）； （厘米）； 故答案为：12，37.68厘米． 【考点评析】注意，一个图形放大或缩小的倍数，是指对应线段放大或缩小的倍数；此题按放大的是半径，求直径时不要忘记乘2． 12．（3分）（2022•青川县）如图，中，，沿图中虚线剪去。那么　360　，　　；将按放大后，　　。 【思路点拨】三角形的内角和是，已知，那么，四边形的内角和是，那么，由角的意义可知，角的两边无论放大多少倍，只是边的长度变长了，但两边叉开的大小不变。所以把三角形放大后，的度数不变。据此解答。 【规范解答】解： 因为四边形的内角和是， 所以。 将按放大后，3个角的度数都不变，所以。 故答案为：360，250，70。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握三角形的内角和、四边形的内角和及应用，图形放大的方法及应用。 13．（1分）（2024春•蕉岭县期中）两个完全一样的水桶要装满水，淘气、笑笑分别用大杯和小杯舀水，每次都将水杯盛满．第一桶用12大杯和25小杯正好装满，第二桶用20大杯和15小杯也正好装满．大杯和小杯的容积之比是　　． 【思路点拨】将大杯的容积设为，小杯的容积设为，根据题意可以得出，然后根据等式的基本性质可以得出，所以． 【规范解答】解：设大杯的容积为，小杯的容积为； 根据题意可以得出： ； 那么：； 答：大杯和小杯的容积之比是． 故答案为：． 【考点评析】本题关键是设出未知数，根据等量关系列出方程，然后再根据比例的基本性质进行解答． 三．用心看题，精准判断（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（2分）（2024•沁阳市）如果、均不为，那么。 　　（判断对错） 【思路点拨】依据题意可知，，由此解答本题。 【规范解答】解：，即，，本题说法不正确。 故答案为：。 【考点评析】本题考查的是比例的应用。 15．（2分）（2024•蒲城县）5、6、8和12可以组成比例。 　　（判断对错） 【思路点拨】在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫作比例的基本性质，这四个数中最大的数与最小的数的乘积等于另外两个数的乘积，这四个数成比例，否则不成比例，由此解答本题即可。 【规范解答】解： ，5、6、8和12不可以组成比例，本题说法错误。 故答案为：。 【考点评析】本题考查的是比例的基本性质的应用。 16．（2分）（2023•清苑区）若，那么．　　． 【思路点拨】因为，根据比例的性质，可知，据此可知． 【规范解答】解：因为， 所以， 所以． 故判断为：． 【考点评析】此题考查比例性质的运用，也考查了当分子、分母是相同的一个数（不为，分数值为1． 17．（2分）（2024春•惠阳区期中）把一个正方形按缩小后，周长和面积都缩小到原来的。 　　（判断对错） 【思路点拨】把一个正方形按缩小后，周长缩小到原来的，面积缩小到原来的。 【规范解答】解：把一个正方形按缩小后，周长缩小到原来的，面积缩小到原来的；原题说法错误。 故答案为：。 【考点评析】掌握图形放大和缩小的方法是解题的关键。 18．（2分）（2024•任城区）把一个长方形按放大，放大后的图形面积是原来的16倍。 　　（判断对错） 【思路点拨】长方形的面积长宽，长方形的长和宽都扩大到原来的4倍，则面积扩大到原来的16倍。 【规范解答】解：根据图形放大的方法，把一个长方形按的比放大，放大后的图形面积是原来的倍。原题说法是正确的。 故答案为：。 【考点评析】本题考查了图形的放大与缩小。 四．看清数字，准确计算（共1小题，满分8分，每小题8分） 19．（8分）（2024春•惠民县期中）解比例。 （1） （2） （3） （4） 【思路点拨】（1）根据比例的基本性质，把原式化为，然后方程的两边同时除以4求解； （2）根据比例的基本性质，把原式化为，然后方程的两边同时除以54求解； （3）根据比例的基本性质，把原式化为，然后方程的两边同时除以0.8求解； （4）根据比例的基本性质，把原式化为，然后方程的两边同时除以4求解。 【规范解答】解：（1） （2） （3） （4） 【考点评析】本题考查解方程和解比例，解题的关键是掌握等式的性质与比例的基本性质：方程两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立；方程两边同时乘（或除以）相同的数除外），等式仍然成立；两个外项的积等于两个内项的积。 五．联系生活，实际应用（共11小题，满分59分） 20．（5分）（2023春•揭东区期中）把一个长方形按的比缩小，缩小后与缩小前的图形的面积相差64平方厘米。原来长方形的面积是多少平方厘米？ 【思路点拨】一个图形按缩小后，缩小后的图形的面积与缩小前图形的面积的比是；由此解答即可． 【规范解答】解：缩小后的图形的面积与缩小前图形的面积的比是 （平方厘米） 答：原来长方形的面积是72平方厘米。 【考点评析】本题是考查图形的放大与缩小，一个图形放大或缩小倍，它的面积将放大或缩小倍。 21．（5分）（2021春•北票市期中）一块正方形草坪，边长30米，把边长缩小到原来的后画在图纸上，图纸上正方形的面积是多少平方厘米？ 【思路点拨】根据题意，先根据比例尺计算缩小后的正方形的边长，然后利用正方形面积公式，计算图纸上的面积即可． 【规范解答】解：（米 （平方米） 0.09平方米立方厘米 答：图纸上正方形的面积是900平方厘米． 【考点评析】本题主要考查图形的放大与缩小，关键利用比例尺计算图上正方形的边长． 22．（5分）（2024秋•正定县期末）张师傅开车从石家庄到北京，路上行驶了3小时。已知在比例尺的地图上，两地之间路程长是11厘米，张师傅平均每小时行驶了多少千米？ 【思路点拨】先根据实际距离图上距离比例尺，算出实际距离，再除以行驶的时间即可。 【规范解答】解：（厘米） 33000000厘米千米 （千米） 答：张师傅平均每小时行驶了110千米。 【考点评析】熟练掌握比例尺公式，是解答此题的关键。 23．（5分）（2024秋•渝北区期末）在一幅比例尺是的地图上，量得甲、乙两个城市之间的公路长是6厘米。如果一辆汽车以每小时100千米的速度从甲城市开到乙城市，需要多少小时？ 【思路点拨】根据实际距离图上距离比例尺，代入数据求出甲、乙两城之间的公路的实际距离，再根据路程速度时间，代入数据解答即可。 【规范解答】解：（厘米） 24000000厘米千米 （小时） 答：需要2.4小时。 【考点评析】明确实际距离、图上距离、比例尺三者间的关系是解题的关键。 24．（5分）（2024•源城区）河源是“山水一色、人文秀美”旅游的好胜地。2024年春节，淘气一家到河源旅行，在比例尺为的地图上量了家到河源的图上距离是8厘米，淘气爸爸以每小时80千米行驶，多少小时能到河源？ 【思路点拨】根据实际距离图上距离比例尺，求出实际距离，再根据时间路程速度，即可解答。 【规范解答】解：（厘米） 16000000厘米千米 （小时） 答：2小时能到河源。 【考点评析】本题考查的是比例尺应用题，掌握实际距离图上距离比例尺是解答关键。 25．（5分）（2024•汶上县）在比例尺是的地图上，量得甲乙两城市之间的距离是，如果一辆汽车的速度是90千米时，那么从甲城到乙城用几小时？ 【思路点拨】依据“图上距离比例尺实际距离”代入数据即可求出甲城到乙城的距离，列式为：（厘米）千米；然后根据“路程速度时间”，求甲城到乙城用的时间：（小时）． 【规范解答】解：， （厘米）， （千米）； （小时）． 答：从甲城到乙城用2.5小时． 【考点评析】本题关键根据图上距离和比例尺已知，找准对应量，再依据“图上距离比例尺实际距离”求出甲城到乙城的距离． 26．（5分）（2024春•单县期中）在一幅比例尺是的地图上，量得北京到井冈山的距离大约是21厘米。北京到井冈山的实际距离大约是多少千米？ 【思路点拨】要求南京到北京两地间实际距离是多少千米，根据“图上距离比例尺实际距离”，代入数值计算即可。 【规范解答】解：（厘米） 147000000厘米千米； 答：北京到井冈山的实际距离大约是1470千米。 【考点评析】此题有计算公式可用，根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论。 27．（6分）（2021春•牡丹区期中）一个零件的实际长度是8毫米，在设计图上用4厘米表示，这幅图的比例尺是多少？ 【思路点拨】要求这幅图纸的比例尺，首先要从条件中找这种零件的图上距离和实际距离，然后根据比例尺的计算公式算出答案． 【规范解答】解：因为8毫米厘米， 则4厘米：0.8厘米； 答：这幅设计图的比例尺是． 【考点评析】像这种求比例尺的题目单位一般不相同，因此首先要统一单位再计算． 28．（6分）（2024•温岭市）按要求完成题目。（图中每个小正方形的边长是1厘米） （1）在平行四边形中，如果点的位置用数对表示为，那么： 　8　，　　， 　　，　　， 　　，　　。 （2）画出平行四边形绕点顺时针旋转后的图形。 （3）圆心位置不变，将图中的圆按放大，画出放大后的图形。面积增加了 　　平方厘米。 【思路点拨】（1）用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，依据题意结合图示去解答； （2）找出平行四边形四个顶点绕点顺时针旋转后的点，依次连接，由此作图； （3）增加的面积大圆的面积小圆的面积，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解：（1）在平行四边形中，如果点的位置用数对表示为，那么：，，。 （2）如图： ； （3）如图： ， （平方厘米） 答：面积增加了9.42平方厘米。 故答案为：8，5，9，7，6，7；9.42。 【考点评析】本题考查的是旋转，图形放大以及圆的面积公式的应用。 29．（6分）（2024春•福清市期中）在一幅比例尺是的地图上，量得甲乙两地距离是9.6厘米，一架飞机以平均每小时800千米的速度从甲地飞往乙地，上午10时出发，下午几时可以达到乙地？ 【思路点拨】图上距离和比例尺已知，首先根据“实际距离图上距离比例尺”，求出甲、乙两地的距离，然后根据数量关系式：时间路程速度即可解决此题． 【规范解答】解：（厘米） 240000000厘米千米 （小时） 10时时时，即下午1时； 答：下午1时可以达到乙地． 【考点评析】此题主要考查比例尺的定义，以及速度、时间、路程三者之间的关系． 30．（6分）（2023•龙里县）在比例尺是的地图上，量得两地间的距离是7.6厘米．甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，4小时相遇．已知甲、乙两车的速度比是，求甲车每小时比乙车少行多少千米？ 【思路点拨】图上距离和比例尺已知，依据“实际距离图上距离比例尺”即可求出甲乙两地的实际距离，再据“速度和路程相遇时间”即可求出二者的速度和，二者的速度比已知，利用按比例分配的方法就能求出各自的速度，进而求出速度差． 【规范解答】解：（厘米）（千米） （千米小时） （千米小时） （千米小时） （千米） 答：甲车每小时比乙车少行5千米． 【考点评析】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺之间的关系，以及相遇问题中的基本数量关系“速度和路程相遇时间”的灵活应用 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$