北京市第二中学2024-2025学年高一下学期第一次测试数学试题

高一下数学测试（一） 班级__________姓名__________ 一、选择题 1.已知平面向量a，b不共线，＝4a＋6b，＝－a＋3b，＝a＋3b，则(　　) A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 答案　D 解析　对于A，＝＋＝－a＋3b＋(a＋3b)＝6b，则，不共线，故A不正确； 对于B，与不共线，故B不正确； 对于C，与不共线，故C不正确； 对于D，＝＋＝4a＋6b＋(－a＋3b)＝3a＋9b＝3，即∥， 又与有公共点C，则A，C，D三点共线，故D正确． 2.若是非零向量，则“”是“”的(    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D  【解析】 解：如图， 设，， 由向量加法的平行四边形法则知： 图中平行四边形是菱形， 但是不一定成立； 图中平行四边形是矩形，但也不一定成立； “”是“”的既不充分也不必要条件． 3. 在中，点D在边AB上，记，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】 解：， 4. 已知向量，，则(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D  【解析】 解：，， 5. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】 解：， ， ， ， ， 故，解得 6. 已知A(－1,2)，B(3,0)，点P在直线AB上且||＝2||，则点P的坐标为(　　) A. B．(7,2) C.或(7，－2) D．(2,1)或(7，－2) 答案　C 解析　设点P的坐标为(x，y)， ∵A(－1,2)，B(3,0) ∴＝(x＋1，y－2)，＝(3－x，－y)． 由点P在直线AB上且||＝2||， 得＝2或＝－2. ∴或 解得或 ∴点P的坐标为或(7，－2)． 7. 已知向量a与b的夹角为，|a|＝2，|b|＝1，则向量a在b上的投影向量为(　　) A．b B.b C．a D.a 答案　A 解析　由题意知，|a|＝2，且向量a与b的夹角为， 所以向量a在b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉＝b. 8.若四边形ABCD是边长为2的菱形，，分别为的中点，则  A. B. C. D. 【答案】A  【解析】 解：四边形ABCD是边长为2的菱形，， 可得， 分别为的中点， ， 则 9．已知单位向量a，b，若对任意实数x，|xa＋b|≥恒成立，则向量a，b的夹角的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　已知a，b是单位向量， 由|xa＋b|≥， 得(xa＋b)2≥，则x2＋2(a·b)x＋≥0， 依题意，不等式x2＋2(a·b)x＋≥0对任意实数x恒成立，则Δ＝4(a·b)2－1≤0， 解得－≤a·b≤， 而cos〈a，b〉＝＝a·b， 则－≤cos〈a，b〉≤， 又0≤〈a，b〉≤π，函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，所以≤〈a，b〉≤， 所以向量a，b的夹角的取值范围为. 10.在中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，若，，，则的最小值为    A. B. C. D. 【答案】A  【解析】 解：， ， 又， ， ； 又P、M、N三点共线， ， ， 当且仅当时取“=”， 的最小值为 二、填空题 11. 已知向量，，若，则__________. 【答案】  【解析】 解：向量，， ， ，， ，解得 12. 已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________. 答案　 解析　方法一　因为|a＋b|＝|2a－b|， 即(a＋b)2＝(2a－b)2， 则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2， 整理得a2－2a·b＝0， 又因为|a－b|＝， 即(a－b)2＝3， 则a2－2a·b＋b2＝b2＝3， 所以|b|＝. 方法二　设c＝a－b， 则|c|＝，a＋b＝c＋2b,2a－b＝2c＋b， 由题意可得，(c＋2b)2＝(2c＋b)2， 则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2， 整理得c2＝b2，即|b|＝|c|＝. 13.已知向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_____. 【答案】 14. 已知等边△ABC的边长为，P为△ABC所在平面内的动点，且||＝1，则·的取值范围是(　　) A. B. C．[1,4] D．[1,7] 答案　B 解析　如图，建立平面直角坐标系， 设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0,2π]， ∴B(，0)，C， ∴＝(－cos θ，－sin θ)，＝， ∴·＝(－cos θ)－sin θ＝－cos θ－sin θ ＝－3sin， ∵θ∈[0,2π]，∴sin∈[－1,1]， ∴·∈. 三、解答题 15．如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M. (1)求∠EMF的余弦值； (2)设＝λ，求λ的值及点M的坐标． 解　(1)如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系， 则D(0,6)，E(3,0)，A(0,0)，F(6,2)， ∴＝(3，－6)，＝(6,2)， 由于∠EMF就是，的夹角， ∴cos∠EMF＝cos〈，〉 ＝＝， ∴∠EMF的余弦值为. (2)∵＝λ， 则＝(6λ，2λ)，则M(6λ，2λ)， 又D，M，E三点共线， 则设＝t，0<t<1， 即(6λ，2λ－6)＝t(3，－6)， 则解得λ＝， 故M. 16.给定两个长度为3的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________；2x＋y的最大值是________． 答案　2　 解析　建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(3,0)，B， 设∠AOC＝α， 则C(3cos α，3sin α)，α∈， 由＝x＋y⇒(3cos α，3sin α)＝x(3,0)＋y＝， 化简得x＝sin α＋cos α，y＝sin α. 则x＋y＝＋sin α ＝sin α＋cos α＝2sin， 则当sin＝1时，x＋y最大，值为2. 2x＋y＝2＋sin α＝sin α＋2cos α＝sin(α＋φ)， 其中tan φ＝且φ为第一象限角， 则当sin(α＋φ)＝1时，2x＋y最大，值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下数学测试（一） 班级__________姓名__________ 一、选择题 1.已知平面向量a，b不共线，＝a＋3b，则(　　) ＝－a＋3b，＝4a＋6b， A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 2.若是非零向量，则“”是“”的(    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在 中，点D在边AB上， 记 ， ，则 (    ) A. B. C. D. 4. 已知向量 ， ，则 (    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为(    ) A. B. C. D. 6. 已知A(－1,2)，B(3,0)，点P在直线AB上且||，则点P的坐标为(　　) |＝2| A. B．(7,2) C.或(7，－2) D．(2,1)或(7，－2) 7. 已知向量a与b的夹角为，|a|＝2，|b|＝1，则向量a在b上的投影向量为(　　) A．b B.ab C．a D. 8.若四边形ABCD是边长为2的菱形， ， 分别为 的中点，则  A. B. C. D. 9．已知单位向量a，b，若对任意实数x，|xa＋b|≥恒成立，则向量a，b的夹角的取值范围为(　　) A. B. C. D. 10.在 中，点P满足 ，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M， 若 ， ， ，则 的最小值为     A. B. C. D. 二、填空题 11. 已知向量 ， ， 若 ，则 __________. 12. 已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________. 13.已知向量 ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是_____. 14. 已知等边△ABC的边长为的取值范围是(　　) ·|＝1，则，P为△ABC所在平面内的动点，且| A. B. C．[1,4] D．[1,7] 三、解答题 15．如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M. (1)求∠EMF的余弦值； (2)设，求λ的值及点M的坐标． ＝λ 16.给定两个长度为3的平面向量，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________；2x＋y的最大值是________． ＋y＝x，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若，它们的夹角为和 学科网（北京）股份有限公司 $$