第四章 三角形 知识归纳与题型突破（十类题型清单）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北师大版2024）

第四章 三角形（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点1：三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 要点2：三角形的分类 要点3： 三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 要点4：三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 要点5：三角形的重要线段 要点6：三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 要点7：直角三角形 ①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 要点8：全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 要点9：全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边；②公共角一定是对应角；③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 要点10：全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 要点11： 判定全等三角形 1.边边边（SSS） 1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2.（边角边SAS） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.（角边角ASA） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4.（角角边AAS） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 03 题型归纳 题型一　三角形的三边关系 【典例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．3，7，2 B．4，9，6 C．11，3，6 D．9，15，5 巩固训练 1．（24-25七年级下·全国·期末）已知三角形的两边长分别为和，则下列长度的四条线段中能作为第三边长的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）现有长度分别为2、3、4、5的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数是（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，为估计荔香公园小池塘岸边A、B两点之间的距离，小亮在小池塘的一侧选取一点0，测得，则A、B间的距离可能是（   ） A． B． C． D． 题型二　三角形的分类 【典例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A．B．C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·河北邢台·期末）图表示三角形分类，则Q表示的是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 2．（22-23七年级下·河北邢台·阶段练习）若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（    ） A．表示等边三角形 B．表示锐角三角形 C．表示等腰三角形 D．表示三边都不相等的三角形 3．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）在一个三角形中，若三个内角的度数之比是，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 题型三　三角形的角平分线和高有关运算 【典例3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，是角平分线，是中线，是高线． (1)如果，求的长； (2)如果，求的度数． 巩固训练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·山东临沂·期末）如图，中，是高，角平分线交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3.（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，的角平分线相交于点O，且，已知，则 ． 题型四　利用三角形的中线的性质求面积 【典例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，D为边上的一点，E，F分别为，的中点，且，则图中涂色部分的面积是 ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，在中，D为边上的中点， 的面积为4，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（20-21八年级上·天津红桥·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·陕西·期中）如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则为 ． 题型五　三角形的内角和有关计算 【典例5】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知，，．若平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）数学课上老师提出“请对三角形内角和等于进行说理．” 已知：是的三个内角． 对进行说理． 小明给出如下说理过程，请补全过程． 解：过点A作． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，已知，点在直线上，与交于点，. (1)求证：； (2)若，，求的度数. 题型六　三角形的外角有关计算 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，点和点分别是和上的两点，连结，交的延长线于点，若，，，则（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形中，平分，点在边上，于点．平分交的延长线于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，是的平分线，是的邻补角的平分线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，点在的延长线上，，平分，平分，则的度数为 ． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示的是一辆婴儿车的平面结构示意图，其中，，则 ． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知点，在直线上，点在线段上，与交于点，，，若，，则 ． 题型七　全等三角形性质的有关计算 【典例7-1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知图中两个三角形全等，则与的和为（   ） A． B． C． D． 【典例7-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，若，则的周长等于（   ）    A．7 B．9 C．10 D．13 巩固训练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1．已知，则和的关系是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，，与是对应角，与是对应边．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，则的度数为 ． 4．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，点E在上，与相交于点F，，，则的度数为 度．    题型八　添加条件使三角形全等 【典例8】（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上．已知，．给出下列条件：①，②，③，④，能判定的是（    ）      A．①②③ B．①②④ C．①④ D．①②③④ 巩固训练 1．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知．若添加一个条件后，可得，则在下列条件中，可以添加的是（　　） A． B． C． D．平分 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，，，添加下列条件后仍然不能判断的是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·广东茂名·期末）如图点，分别在线段，上，，相交于点，，要使，只需添加一个条件是 （只需添加一个你认为适合的条件）． 题型九　全等三角形性质与判定的综合 【典例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知和均为直角三角形，于点． (1)试说明：； (2)连接，若平分，求的度数． 巩固训练 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，． (1)试说明：； (2)当，时，求的度数． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点在一条直线上，，交于点．试说明： (1)； (2)与互相平分． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的中点，且． (1)试说明：； (2)判断和的位置关系，并说明理由． 4．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，中，于点D，于点E，与交于点F． (1)求证：； (2)若点E恰在线段的垂直平分线上，求证：． 题型十　全等三角形的实际应用 【典例10】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，小明和小华住在同一个小区的不同单元楼，他们想要测量小华家所在单元楼的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小明在自己家阳台C处观察E处，测得其视线与水平线之间的夹角为，小华站在E处观察楼顶A处，测得其视线与水平线之间的夹角为，发现与互余．已知，，，试求单元楼的高． 巩固训练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，表示两根长度相等的铁条，铁条的长度为．若O是的中点，，则容器的内径的长度是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是一段斜坡，是水平线．欢欢为了测量斜坡上一点C的竖直高度，他在点C处立上一根竹竿，竹竿与斜坡垂直，在D处垂下一根绳子，与斜坡的交点是E，绳子可以在竹竿F上自由滑动．当时，测得，则 ．其中，运用到的判定三角形全等的依据是 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）图①是一个单摆小球实验器，图②是摆球摆动过程中的示意图．已知摆线长，当摆线位于位置时，过点作于点，测得长为；当摆线位于位置时，，则此时摆球到的水平距离为 ． 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角形（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点1：三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 要点2：三角形的分类 要点3： 三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 要点4：三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 要点5：三角形的重要线段 要点6：三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 要点7：直角三角形 ①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 要点8：全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 要点9：全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边；②公共角一定是对应角；③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 要点10：全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 要点11： 判定全等三角形 1.边边边（SSS） 1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2.（边角边SAS） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.（角边角ASA） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4.（角角边AAS） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 03 题型归纳 题型一　三角形的三边关系 【典例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．3，7，2 B．4，9，6 C．11，3，6 D．9，15，5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：根据三角形的三边关系，知 A、，不能组成三角形； B、，能组成三角形； C、，不能组成三角形； D、，不能组成三角形． 故选：B． 巩固训练 1．（24-25七年级下·全国·期末）已知三角形的两边长分别为和，则下列长度的四条线段中能作为第三边长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系逐项判断即可． 【详解】解：设三角形的第三条边长 ， ， 即， 能作为第三边长的是， 故选：D ． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）现有长度分别为2、3、4、5的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数是（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】考查了三角形的三边关系．首先把每三根组合的所有情况列举出来，再根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”进行分析． 【详解】解：其中每三根组合，有2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5； 其中能组成三角形的有2，3，4；2，4，5；3，4，5三组． 故选：C． 3.（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，为估计荔香公园小池塘岸边A、B两点之间的距离，小亮在小池塘的一侧选取一点0，测得，则A、B间的距离可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有B选项符合题意． 故选：B． 题型二　三角形的分类 【典例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案． 【详解】解：根据三角形按边分类情况： 等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项B错误，不符合题意； 分类混乱，故选项C错误，不符合题意； 分类正确，故选项D正确，符合题意． 故选项为：D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·河北邢台·期末）图表示三角形分类，则Q表示的是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的分类，掌握三角形按边分类的方法是解题的关键． 根据三角形按边分类，即可求解． 【详解】解：∵三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形，等腰三角形分为：两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形． ∴Q表示的是等边三角形． 故选：A． 2．（22-23七年级下·河北邢台·阶段练习）若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（    ） A．表示等边三角形 B．表示锐角三角形 C．表示等腰三角形 D．表示三边都不相等的三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据三角形按边的分类可直接选出答案． 【详解】解：三角形根据边分类如下： 由图可知，M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形 故选：C． 3．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）在一个三角形中，若三个内角的度数之比是，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】设其比例系数为，利用三角形的内角和可求得，进而可求得三角形的三个内角，利用三角形的分类即可求解． 【详解】解：设其比例系数为，则： ， 解得：， 这个三角形的三个内角分别为：、、， 则这个三角形是直角三角形， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的分类，熟练掌握其分类是解题的关键． 题型三　三角形的角平分线和高有关运算 【典例3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，是角平分线，是中线，是高线． (1)如果，求的长； (2)如果，求的度数． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查三角形的高、中线、角平分线，三角形内角和定理，熟练掌握三角形的高、中线、角平分线定义是解题的关键． （1）根据三角形中线定义求解即可． （2）先根据三角形内角和定理求出，再根据三角形角平分线定义求得，然后由是高线，则可求得，即可由求解． 【详解】（1）解：因为是的中线，所以． 因为，所以． （2）解：因为， 所以． 因为是的角平分线， 所以． 因为是的高线， 所以， 所以， 所以． 巩固训练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是的角平分线， ． 故选：A． 2．（21-22八年级上·山东临沂·期末）如图，中，是高，角平分线交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线和高，由三角形内角和定理可得，即可由三角形角平分线的定义得，再根据三角形的高可得，最后根据三角形两锐角互余即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3.（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，的角平分线相交于点O，且，已知，则 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了角平分线的相关计算和三角形外角的性质，根据角平分线求出，由垂直得到，最后由三角形外角的性质得到答案． 【详解】解：∵的角平分线相交于点O，， ∴， ∵， ∴， ∴, 故答案为： 题型四　利用三角形的中线的性质求面积 【典例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，D为边上的一点，E，F分别为，的中点，且，则图中涂色部分的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了三角形面积及三角形面积的等积变换，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．由点E为的中点，可得与的面积之比，同理可得，和的面积之比，即可解答． 【详解】解：∵E为的中点， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 巩固训练 1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，在中，D为边上的中点， 的面积为4，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中线性质，根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵在中，D为边上的中点， ∴， ∵的面积为4， ∴， 故选：A． 2．（20-21八年级上·天津红桥·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用中线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的中线，且的面积为， ∴， 又∵是的的中线， ∴ 故选：A． 3．（23-24七年级下·陕西·期中）如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质．根据同高的三角形底边之间的关系分别求出、、、、、，即可求出的面积． 【详解】解：如图，连接、、， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为：． 题型五　三角形的内角和有关计算 【典例5】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知，，．若平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形角平分线的定义可得，由两直线平行同位角相等可得，由邻补角互补可得，由三角形外角的性质可得，然后根据即可求出的度数． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了三角形角平分线的定义，两直线平行同位角相等，利用邻补角互补求角度，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 巩固训练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）数学课上老师提出“请对三角形内角和等于进行说理．” 已知：是的三个内角． 对进行说理． 小明给出如下说理过程，请补全过程． 解：过点A作． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，由平行线的性质可得，再根据，通过等量代换可得． 【详解】解：过点A作． ， （两直线平行，内错角相等）． （平角定义）， ． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，已知，点在直线上，与交于点，. (1)求证：； (2)若，，求的度数. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定以及三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理. （1）根据两直线平行，内错角相等，推出，利用已知条件，通过等量代换求证，最后根据同位角相等，两直线平行求证. （2）利用垂直性质和平行线的性质推出，根据三角形内角和即可求出度数. 【详解】（1）证明：， ， ， ， . （2）解：， ， ， . ， ， . 题型六　三角形的外角有关计算 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，点和点分别是和上的两点，连结，交的延长线于点，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 由题得，，计算即可得到答案． 【详解】解：，，， ， ，， ， 故选：D ． 巩固训练 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形中，平分，点在边上，于点．平分交的延长线于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线定义，垂线定义，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质．先证明，得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形外角的性质得出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，是的平分线，是的邻补角的平分线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数． 【详解】解： 是的平分线，是的邻补角的平分线，，， ，， 是的外角， ， 故选A． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，点在的延长线上，，平分，平分，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角形外角的性质；由角平分线的定义得，，由三角形的外角性质得，，即可求解；掌握三角形外角的性质，能角平分线进行有关计算是解题的关键． 【详解】解： 平分， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示的是一辆婴儿车的平面结构示意图，其中，，则 ． 【答案】/85度 【分析】本题考查平行线的性质以及外角的定义，熟练掌握平行线的性质以及外角的定义是解答本题的关键． 由得，再由外角的定义得，即可解得的度数． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知点，在直线上，点在线段上，与交于点，，，若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据题意得到，，根据平行线的判定推出，再根据平行线的性质及三角形外角性质求解即可． 【详解】， ， ，， 又， ， ， ， ． 故答案为： 题型七　全等三角形性质的有关计算 【典例7-1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知图中两个三角形全等，则与的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据题意以及全等三角形的性质可得，即可得到答案． 【详解】解：图中两个三角形全等， ， ， ． 故选：C． 【典例7-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，若，则的周长等于（   ）    A．7 B．9 C．10 D．13 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形性质的运用，运用全等三角形的性质，找对对应边，即可得三边边长，然后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴的周长为． 故选：D． 巩固训练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1．已知，则和的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 2．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，，与是对应角，与是对应边．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据，则，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵， 故答案为：． 4．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，点E在上，与相交于点F，，，则的度数为 度．    【答案】70 【分析】由全等三角形的性质得到，求出，由三角形外角的性质得到． 【详解】解：∵，， ， ， ， ， ． ​故答案为：70． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 题型八　添加条件使三角形全等 【典例8】（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上．已知，．给出下列条件：①，②，③，④，能判定的是（    ）      A．①②③ B．①②④ C．①④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，利用三角形全等的判定方法一一判断即可． 【详解】解：， ， ， ， 添加①，由， 可得； 添加②，不能证明； 添加③，由，不能得到； 添加④， ， ， 由， 可得． 能判断全等的条件是①④． 故选：C． 巩固训练 1．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知．若添加一个条件后，可得，则在下列条件中，可以添加的是（　　） A． B． C． D．平分 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：A、∵， ∴和不一定全等，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴和不一定全等，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴，故C符合题意； D、∵平分， ∴， ∵， ∴和不一定全等，故D不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，，，添加下列条件后仍然不能判断的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：∵，， 添加条件，结合条件，，可以根据证明，故A不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以根据证明，故B不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以根据证明，故C不符合题意； 添加条件，结合条件，，不可以根据证明，故D符合题意； 故选D． 3．（23-24七年级下·广东茂名·期末）如图点，分别在线段，上，，相交于点，，要使，只需添加一个条件是 （只需添加一个你认为适合的条件）． 【答案】或或（任性一个即可） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：添加，可由证明； 添加，可由证明； 添加，可由证明； 故答案为：或或．（任性一个即可） 题型九　全等三角形性质与判定的综合 【典例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知和均为直角三角形，于点． (1)试说明：； (2)连接，若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质和角的运算，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题得关键． （1）先求出，再根据判定三角形全等即可； （2）由，得，可求得，由平分，求得，根据角的和差计算即可求解． 【详解】（1）解：（1）因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 在和中，， 所以． （2）解：因为， 所以， 所以， 因为平分，所以， 所以， 所以． 巩固训练 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，． (1)试说明：； (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用即可得出结论； （2）由（1）可得，于是可得，，由三角形的内角和定理可得，根据即可求出的度数． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：由（1）可得：， ，， ， ． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点在一条直线上，，交于点．试说明： (1)； (2)与互相平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）在和中，运用角边角即可求证； （2）在和中，可证，得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：由（1）可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴与互相平分． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的中点，且． (1)试说明：； (2)判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． （1）根据证明即可； （2）根据三角形全等的性质得出，再根据平行线的判定得出答案即可． 【详解】（1）解：因为E是的中点， 所以， 因为，所以， 在和中， ， 所以． （2）解：．理由如下： 因为， 所以， 所以． 4．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，中，于点D，于点E，与交于点F． (1)求证：； (2)若点E恰在线段的垂直平分线上，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质等知识 ： （1）由“”可证，可得； （2）连接，证明；，得出是的垂直平分线，得出，故可得结论 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵于点E， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （2）证明：连接 ∵E在垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 题型十　全等三角形的实际应用 【典例10】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，小明和小华住在同一个小区的不同单元楼，他们想要测量小华家所在单元楼的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小明在自己家阳台C处观察E处，测得其视线与水平线之间的夹角为，小华站在E处观察楼顶A处，测得其视线与水平线之间的夹角为，发现与互余．已知，，，试求单元楼的高． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键，过点作，垂足为，根据题意可得：，，后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∴，，， 与互余，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴单元楼的高为． 巩固训练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，表示两根长度相等的铁条，铁条的长度为．若O是的中点，，则容器的内径的长度是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．只要证明，即可推出． 【详解】解：是的中点，， 在和中， 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是一段斜坡，是水平线．欢欢为了测量斜坡上一点C的竖直高度，他在点C处立上一根竹竿，竹竿与斜坡垂直，在D处垂下一根绳子，与斜坡的交点是E，绳子可以在竹竿F上自由滑动．当时，测得，则 ．其中，运用到的判定三角形全等的依据是 ． 【答案】 2 /角角边 【分析】本题考查了全等三角形的应用，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质定理． 利用证明，得． 【详解】解：由题意得， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：2；． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）图①是一个单摆小球实验器，图②是摆球摆动过程中的示意图．已知摆线长，当摆线位于位置时，过点作于点，测得长为；当摆线位于位置时，，则此时摆球到的水平距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，过点作于，可证明，得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$