第四章 三角形（压轴题特训）（压轴题特训）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北师大版2024）

第四章 三角形（压轴题特训） 一、单选题 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……，如此进行下去，若，则为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，角平分线与相交于点，平分，有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 3．（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为设点的运动速度为，当时，x的值为 ；当时，x的值为 ． 4．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为 ． 5．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，对逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…；按此规律继续下去，可得到，若，则 ．（结果用含a的代数式表示） 三、解答题 6．（24-25八年级上·河南南阳·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若爸爸到的水平距离为 ，，于点，于点． (1)求证：； (2)求点到地面的距离的长． 7．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）【阅读理解】 (1)如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，再证明“”．探究得出的取值范围是 ；    【灵活运用】 (2)如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长．   【拓展延伸】 (3)如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作，交于点，交的延长线于点．若，，求．      8．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，等腰直角中，，，．E点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：， ； (2)如图2，在（1）的条件下，连接交于D点，若，求证：E点为中点； (3)如图3，当E点在的延长线上时，连接与的延长线交于D点，若，求的值． 9．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，直线，平分，过点B作交于点C．动点E，D同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点D以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)的度数为 ； (2)当点D沿射线运动时，若，求t的值； (3)当动点D在直线上运动时，若与全等，则t的值为 ． 10．（21-22八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，，，三点共线，，，三点共线，，于点，． (1)求证：是的中点； (2)求证：． 11．（24-25八年级上·广东江门·期中）通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题：                        图1 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．                    图3 12．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）在中，，点D在上，且，过点A作射线与在同侧，若动点P从点A出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点P运动时间为t秒，连接． (1)如图①，当时，求证： (2)如图②，当于点F时，求此时t的值． 13．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 14．（24-25九年级上·江苏南通·期末）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段，，之间的数量关系． 小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是 ； 探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕B点旋转．它的两边分别交、于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由； 探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕B点旋转．它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由； 实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为．试求此时两舰艇之间的距离． 15．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）问题初探：如图和，在中，，直线经过点，过点，分别作于点，于点，则图中有一对全等三角形，由这对全等三角形能得到一些线段的数量关系． 这类图形的特点是具有三个直角的顶点在同一条直线上，这个模型称为一线三直角模型． 问题：如图，在平面直角坐标系中，点是轴负半轴上的一个动点，点是轴负半轴上的一个动点，连接，过点作，使，且点在轴的上方． 初步运用： 如图①，连接．若点，点，请求出点的坐标； 灵活运用： 如图②，过点作轴，且，连接交轴于点，若，不变，请求出面积； 拓展延伸： 如图③，点，点在滑动过程中，把沿轴翻折使得刚好落在边上，此时交轴于点，过点作轴于点，求证：． 16．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）把两个全等的角三角形的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)如图1，若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，当，时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 17．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）【问题情境】 （1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果，求间的距离． 【探索应用】 （2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是什么？并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，在中，，，，，的延长线交于点F，求证：． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，在四边形中，分别是边上的点，连接，试探究图中线段之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是延长到点，使，连接，先说明，再说明即可得出结论，他的结论应是______________； (2)如图②，在四边形中，，分别是边上的点，且，请判断（1）中结论是否仍然成立，并说明理由． 19．（24-25七年级下·全国·期末）【问题探究】 （1）如图①，在中，，的平分线交于点，于点． ①试说明：； ②如图②，点是线段上一点，连接，且，判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）若图②中的是某市的一块空地，，和是三条小路（小路宽度忽略不计），现要在区域内种植鲜花，已知区域的面积为，，，求种植鲜花的面积（即的面积）． 20．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）在直线上依次取互不重合的三个点、、，在直线上方有，且满足． 【积累经验】 （1）如图1，当时，猜想线段、、之间的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，请求出与的面积之和． 21．（24-25八年级上·广西来宾·期末）如图，在四边形中，，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，且．求证： (1)； (2)． 22．（24-25八年级上·山东德州·期末）【教材呈现】（1）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，，，，垂足分别为，，若，，求的长．”请写出此题的解答过程； 【类比探究】（2）如图2，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角，已知：，．猜想：线段，，之间的数量关系，并说明理由． 23．（24-25八年级上·山东临沂·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是____________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 24．（24-25八年级上·山东滨州·期末）【教材呈现】 在人教版八年级上册数学教材的数学活动中有这样一段描述： 活动2  用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点是网格线交点，请在网格中画出筝形； 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，．求证：． 证明： （3）如图3，连接筝形的对角线，交于点．因此，小丽探究了筝形对角线的性质，请帮她完成填空：对角线、的位置关系是：_____；与的数量关系是：_____． 【应用拓展】 （4）如图3，在筝形中，已知，求筝形的面积． 25．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图1，小刚站在河边的点A处，在河对岸（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后再左转直行，当小刚看到电线塔B、树C与自己现处的位置E在一条直线时，从点A出发开始他共走了110步． (1)若小刚走一步的长度约为米，请直接写出A，B两点间的距离为 米； (2)如图2，小华在点A所在河岸同侧的平地上取点C，D，使得点A，B，C在同一条直线上，且，测得，，在的延长线上取点E，使得，测得的长为42米．小华认为A，B两点之间的距离为42米．你认为小华的做法正确吗？若正确，请给出证明；若不正确，请给出合理的解释． 26．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图所示，直线交轴于点，交轴于点满足． (1)求点、的坐标； (2)如图1，若的坐标为，且于点交于点． ①求证：． ②试求点的坐标． (3)如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 27．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知：在中，，直线经过点，直线直线，垂足分别为点D，E．结论：． 模型分析：      (1)填空： ①如图1，若，则______； ②如图2，，，点的坐标为，则点的坐标为______． (2)这时组员小刘想，如果三个角不是直角，那么这两个三角形还会全等吗？如图3现将【全等模型】的条件改为：在中，，直线经过点D，A，E三点，且 ．请判断与是否全等，并说明理由． (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图4，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，若，则______． 28．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）已知：在中，是的中点． 【问题解决】 （1）如图1，若，，求的取值范围． 小明的做法是：延长至点，使，连接，证明，小明判定全等的依据为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在的延长线上存在点，，，求证：． 【变式迁移】 （3）如图3，，，，试探究线段与的关系，并证明． 29．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）小梅同学学习了全等三角形后，进行了如下探究： (1)【问题背景】如图①，在中，，平分，且．求的度数． 解：在上截取一点E，使得，证明，得到… 请把上面的步骤补充完整． (2)【问题解决】如图②，在中，平分，，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】如图③，在四边形中，，，于点，直接写出线段，，之间的数量关系：________． 30．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 31．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图，当时，_____． (2)如图，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点中的运动速度． 32．（24-25八年级上·河南开封·期中）如图，，，以A点为顶点、为腰在第三象限作等腰直角三角形． (1)点C的坐标为______． (2)如图②，，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为直角顶点，为腰向右作等腰直角三角形，过D作轴于E点，求的值． 33．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）【问题背景】 如图，在中，点是边上的一点，，连接、，交于点． 【问题探究】 (1)如图1，若，试说明平分； (2)如图2，若点为的中点，作，且，，连接，试说明． 34．（24-25八年级上·云南红河·期末）已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段、、的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明 ；再证明 ；即可得出线段、、之间的数量关系是 ． (2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，分别是所在直线上的点，且．请直接写出、、线段之间的数量关系，不用证明． 35．（24-25八年级上·山西长治·期末）如图1，，点A、D在射线上，点B、C在直线上，平分与交于D点． (1)若，求证：； (2)在（1）的条件下，，点E为上一点，且，如图2，求的长； (3)过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点，如图3，当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 36．（24-25八年级上·河南信阳·期末）【问题提出】 我们知道：三角形全等的判定方法有：“，，，”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料： 思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？ 这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究． 【初步思考】 我们不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 (1)第一种情况：当是直角时，． 如图2，在和中，，，，根据 ，可以知道． (2)第二种情况：当是钝角时，． 如图3，在和中，，，，且、都是钝角，李明由（1）受到了启发，很快证出了．请聪明的你完成李明的推理过程； (3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． ①如图4，在和中，，，，且、都是锐角，则的结论是否仍然成立；请说明成立的理由； ②如图4，和是不全等的，还要满足什么条件，就可以使？请直接写出结论： ． 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角形（压轴题特训） 一、单选题 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……，如此进行下去，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质等，找出其中规律是解题的关键；根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角性质可得，，联立化简可得：，进一步找出其中规律，即可求出； 【详解】解：和分别是的内角平分线和外角平分线， ∴，， ∵， ∴①，②， ②得：， ∴③， 由①和③得：， ∵， ∴， 同理：，，……， ∴， ∴， 故选：C； 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，角平分线与相交于点，平分，有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据可对①进行判断；根据“”证明，可对②③④进行判断． 【详解】解：∵，为三角形的角平分线， ∴，， ∴，故①正确； ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得， ∴，， ∴，，故③④正确，符合题意； ∵点G不一定是的中点， ∴不能得出， ∴不能得出，故②错误，不合题意； 综上，正确的结论是①③④． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理，邻补角的性质，角平分线的定义等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 二、填空题 3．（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为设点的运动速度为，当时，x的值为 ；当时，x的值为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查全等三角形的性质，路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识进行分类解决问题．当时，可得：；当时，， 根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：当时，可得：， 运动时间相同， ，的运动速度也相同， ； 当时， ，， ， ， 故答案为：或． 4．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为 ． 【答案】1或或12 【分析】本题考查了全等三角形的判定，关键是要分情况讨论．与全等时，，当P在上，Q在上时，得到；当P、Q在上时，得到；当P在上，Q在上时，然后分类求解即可． 【详解】解：∵于E，于F，， ∴，， ∴， ∴当与全等时，， 当P在上，Q在上时， ∵，， ∴， 解得：； 当P、Q在上时（P、Q重合）， ∵，， ∴， 解得：； 当P在上，Q在上时，即A与Q重合时， ∴． ∴t的值为1或3.5或12； 故答案为1或3.5或12． 5．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，对逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…；按此规律继续下去，可得到，若，则 ．（结果用含a的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是理解同高的两个三角形的面积之比等于底边之比．连接，，，找出延长各边后得到的三角形与原三角形面积的倍数规律，然后利用规律求延长第次后的面积． 【详解】解：连接，， 设， ， 中边上的高，与中边上的高相同 ， ，中边上的高，与中边上的高相同 ， 同理可得，， 所以； 同理得； ， ， ， ， ∵， ∴，解得． 故答案为：． 三、解答题 6．（24-25八年级上·河南南阳·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若爸爸到的水平距离为 ，，于点，于点． (1)求证：； (2)求点到地面的距离的长． 【答案】(1)见解析 (2)点到地面的距离为 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． （1）由题意可知，，由同角的余角相等得到 ，根据即可证明； （2）由得到，进而根据即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 又 在和中 （2）由（1）可知 又 又 （） 答：点到地面的距离为 7．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）【阅读理解】 (1)如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，再证明“”．探究得出的取值范围是 ；    【灵活运用】 (2)如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长．   【拓展延伸】 (3)如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作，交于点，交的延长线于点．若，，求．      【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）利用全等三角形的判定及性质可得，再利用三角形的三边关系可得，进而可求解． （2）延长交的延长线于，利用全等三角形的判定及性质和线段垂直平分线的性质即可求解． （3）解法一：利用倍长中线法，延长到，使，连接，如图所示，利用等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，最后数形结合得到，代值求解即可得到答案； 解法二：过点作交的延长线于点，利用平行线的性质可得，，根据交平分线的性质可得，进而可得，再根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】（1）解： 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：延长交的延长线于，如图：   ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰三角形， ， ， ； （3）解法一：中线倍长法 延长到，使，连接，如图所示： ， ，， 平分， ， ， ， 点G是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ，， ， ； 解法二：过点作交的延长线于点，如图：   ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， 又点是的中点， 是的中位线， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形三边关系、线段垂直平分线的性质、平行线的性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质和三角形三边关系是解题的关键． 8．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，等腰直角中，，，．E点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：， ； (2)如图2，在（1）的条件下，连接交于D点，若，求证：E点为中点； (3)如图3，当E点在的延长线上时，连接与的延长线交于D点，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质键． （1）根据同角的余角相等得到，根据证明，故可得结论； （2）证明，根据全等三角形的性质得到，进而证出，则可得出结论； （3）过点F作交的延长线于H，由（1）（2）得到，，根据全等三角形的性质计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴E点为的中点； （3）如图3，过点F作，交的延长线于H，    ∵，， ∴， 由（1）（2）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，直线，平分，过点B作交于点C．动点E，D同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点D以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)的度数为 ； (2)当点D沿射线运动时，若，求t的值； (3)当动点D在直线上运动时，若与全等，则t的值为 ． 【答案】(1) (2)或4 (3)或 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识： （1）根据角平分线的定义、直角三角形的锐角互余即可解决问题； （2）作于H，于G．由平分，推出，由，可得，解方程即可解决问题． （3）存在．由，可知当时，，列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2中， ①当E在线段上时，作于H，于G． ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴. ②当点E运动到延长线上，同法可得时，也满足条件， ∴当或时，满足． 故答案为：或； （3）解：∵， ∴当时，， ∴ ∴ ∴时，． 当D在延长线上时，， 综上所述，满足条件的t的值为2或6， 故答案为：或． 10．（21-22八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，，，三点共线，，，三点共线，，于点，． (1)求证：是的中点； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解决问题的关键． （1）过作的延长线于点，先证，得到，再证得得到，即可证得即可证得结论； （2）由（1）得，，，根据全等三角形的性质得到，，再根据线段的和差即可证得结论． 【详解】（1）过作的延长线于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的中点； （2）由（1）得，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 11．（24-25八年级上·广东江门·期中）通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题：                        图1 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．                    图3 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形性质，准确理解题意是解题的关键． （1）利用全等三角形的性质解答即可； （2）由“K字”模型可知，，推出，推出，再根据图中面积进行计算即可； （3）作于点，于点，证明，则，即可得出结论． 【详解】解：（1），，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）由“K字”模型可知，， ， ， 图中实线所围成的图形的面积 梯形的面积 ； 故答案为：． （3）作于点，于点， 由“K字”模型可知，， ， 同理，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即点是的中点． 12．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）在中，，点D在上，且，过点A作射线与在同侧，若动点P从点A出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点P运动时间为t秒，连接． (1)如图①，当时，求证： (2)如图②，当于点F时，求此时t的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键. （1）利用等角的余角相等得出，再结合题干的其他条件，证明即可． （2）先证得，再利用全等的性质得出线段的长，最后根据时间等于路程除以速度，即可解题． 【详解】（1）证明：如图①，， ， ， 又， ， 又， ， ， 又，， ， 在和中， ； （2）解：如图②，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， 运动速度为， (秒)． 13．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）在上截取，连接，利用全等三角形判定，得出，进而用判定得到，得出，再通过线段的等量代换即可证明； （2）在上截取，连接，用类似（1）的方法可得图②和图③中（1）的结论不成立，写出数量关系即可． 【详解】（1）证明：如图，在上截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． （2）解：在图②和图③中，（1）的结论不成立． 图②中，结论：； 图③中，结论：． 对于②，截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． 对于③，截取，连接，同理可证：． 14．（24-25九年级上·江苏南通·期末）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段，，之间的数量关系． 小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是 ； 探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕B点旋转．它的两边分别交、于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由； 探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕B点旋转．它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由； 实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为．试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】问题背景:  探究延伸:，理由见解析  探究延伸2：，理由见解析  实际应用：海里 【分析】本题属于四边形 综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质 ，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，解答时注意类比思想的灵活应用． 问题背景： 延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是：； 探究延伸： 延长到， 使， 连接， 先证明， 再证明， 可得出结论： ； 探究延伸： 延长到，使得，连接，先证明， 即可得到， 再证明， 即可得出； 实际应用：连接，延长交的延长线于，根据题意可转化为如下的数学问题：在四边形中， ， 的两边分别交， 于，， 求的长．再根据探究延伸的结论：，即可得到两舰艇之间的距离． 【详解】解：问题背景： 如图1， 延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是：； 故答案为：； 探究延伸： 上述结论仍然成立，即，理由如下： 如图， 延长到， 使， 连接， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 又∵， 即 ， ∴可得出结论： 探究延伸： 上述结论仍然成立，即 理由：如图，延长到，使得，连接， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 实际应用： 如图，连接，延长交的延长线于， 因为舰艇甲在指挥中心 (处)北偏西的处.舰艇乙在指挥中心南偏东的处，所以， 因为指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为， 所以， 所以. 依题意得， ， 所以， 因此本题的实际的应用可转化为如下的数学问题： 在四边形中， ， 的两边分别交， 于，， 求的长． 根据探究延伸的结论可得：， 根据题意得， (海里) ，(海里) ， 所以 (海里) . 答：此时两舰艇之间的距离为海里． 15．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）问题初探：如图和，在中，，直线经过点，过点，分别作于点，于点，则图中有一对全等三角形，由这对全等三角形能得到一些线段的数量关系． 这类图形的特点是具有三个直角的顶点在同一条直线上，这个模型称为一线三直角模型． 问题：如图，在平面直角坐标系中，点是轴负半轴上的一个动点，点是轴负半轴上的一个动点，连接，过点作，使，且点在轴的上方． 初步运用： 如图①，连接．若点，点，请求出点的坐标； 灵活运用： 如图②，过点作轴，且，连接交轴于点，若，不变，请求出面积； 拓展延伸： 如图③，点，点在滑动过程中，把沿轴翻折使得刚好落在边上，此时交轴于点，过点作轴于点，求证：． 【答案】①；②；③证明见解析． 【分析】本题考查了的全等三角形的判定及性质，折叠的性质，合理作出辅助线是解题的关键． ①：过点作轴于点，利用判定出，再根据全等三角形的性质求解即可； ②：过点作轴于点，利用判定出，再根据全等三角形的性质求解即可； ③：延长，交于点，利用判定出，得到，再利用判定出，即可根据全等三角形的性质求解； 【详解】①解：过点作轴于点，如图所示： ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴点的横坐标， ∴； ②解：过点作轴于点，如图②所示： 由①可得：，， ∵轴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴； ③延长，交于点，如图③所示： ∵，轴 ， ∴， ∵沿轴翻折得到， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 又∵在和中， ， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴． 16．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）把两个全等的角三角形的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)如图1，若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，当，时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到， 使， 证明，推出， ， 证， 推出即可； （2）延长到， 使， 证，推出， ， 证， 推出即可； （3）在截取， 连接， 证，推出，， 证， 推出即可． 【详解】（1）， 证明： 延长到， 使， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）， 证明： 延长到， 使， 连接， 由（1）知： ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）， 证明： 在截取， 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）【问题情境】 （1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果，求间的距离． 【探索应用】 （2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是什么？并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，在中，，，，，的延长线交于点F，求证：． 【答案】（1）间的距离为；（2），理由见解析；（3）证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，由全等的性质得出； （2）延长到点，使，连接，证明，可得，再由三角形三边关系即可求解； （3）在上截取，易证，得到，，再证明，得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图，连接， 在和中， ∵， ∴ ∴， （2）延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； （3）证明：在上截取， ∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，在四边形中，分别是边上的点，连接，试探究图中线段之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是延长到点，使，连接，先说明，再说明即可得出结论，他的结论应是______________； (2)如图②，在四边形中，，分别是边上的点，且，请判断（1）中结论是否仍然成立，并说明理由． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键. （1）延长到点，使，连接，先证明，再证明即可得出； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明即可得出. 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接 ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 理由：如图，延长到点G，使，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 19．（24-25七年级下·全国·期末）【问题探究】 （1）如图①，在中，，的平分线交于点，于点． ①试说明：； ②如图②，点是线段上一点，连接，且，判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）若图②中的是某市的一块空地，，和是三条小路（小路宽度忽略不计），现要在区域内种植鲜花，已知区域的面积为，，，求种植鲜花的面积（即的面积）． 【答案】（1）①见解析；②，理由见解析；（2） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质； （1）①证明即可得到； ②由（1）得，得到，即可证明，得到； （2）由的面积为，，得到，由（1）可知，，则，再根据，得到，求出，最后根据求解即可． 【详解】证明：（1）① ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴； ② ； 理由：由（1）得， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵的面积为，， ∴， 解得， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 即种植鲜花的面积是． 20．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）在直线上依次取互不重合的三个点、、，在直线上方有，且满足． 【积累经验】 （1）如图1，当时，猜想线段、、之间的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，请求出与的面积之和． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）由得到，，进而得到，然后结合得证，推出，，即可求解； （2）由得到，进而得到，然后结合得证，推出，，即可证明； （3）由，，得出，证明，得出，根据，得出，即可得出结果． 【详解】解：（1） ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； （2）仍然成立，理由如下： ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3） ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ，， ， ， 与的面积之和为． 21．（24-25八年级上·广西来宾·期末）如图，在四边形中，，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键． （1）由可证，可得； （2）由全等三角形的性质可得，由可证，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 是的中点， ， 在与中 ， ； （2）， ， 又 ， ，且， ． ， ． 22．（24-25八年级上·山东德州·期末）【教材呈现】（1）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，，，，垂足分别为，，若，，求的长．”请写出此题的解答过程； 【类比探究】（2）如图2，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角，已知：，．猜想：线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）利用同角的余角相等证明，再利用证明，根据全等三角形的性质、结合图形解答； （2）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】解：（1）， ， ． ， ． 在和中， ， ， ； （2）解：，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ． 23．（24-25八年级上·山东临沂·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是____________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， 且， ∴， 又∵， ∴， ∵ ，， ∴． 24．（24-25八年级上·山东滨州·期末）【教材呈现】 在人教版八年级上册数学教材的数学活动中有这样一段描述： 活动2  用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点是网格线交点，请在网格中画出筝形； 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，．求证：． 证明： （3）如图3，连接筝形的对角线，交于点．因此，小丽探究了筝形对角线的性质，请帮她完成填空：对角线、的位置关系是：_____；与的数量关系是：_____． 【应用拓展】 （4）如图3，在筝形中，已知，求筝形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；；（4） 【分析】本题主要考查筝形四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等边四边形的定义进行画图即可； （2）根据证明即可得到结论； （3）证明，即可得到与的数量关系，再由得到位置关系； （4）根据进行计算即可． 【详解】（1）解：在正方形网格中，如图1，四边形即为所求； （2）证明：如图2，连接，在与中， ， ； （3）；； 由（2）可得， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （4）四边形是筝形， ， 25．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图1，小刚站在河边的点A处，在河对岸（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后再左转直行，当小刚看到电线塔B、树C与自己现处的位置E在一条直线时，从点A出发开始他共走了110步． (1)若小刚走一步的长度约为米，请直接写出A，B两点间的距离为 米； (2)如图2，小华在点A所在河岸同侧的平地上取点C，D，使得点A，B，C在同一条直线上，且，测得，，在的延长线上取点E，使得，测得的长为42米．小华认为A，B两点之间的距离为42米．你认为小华的做法正确吗？若正确，请给出证明；若不正确，请给出合理的解释． 【答案】(1)42 (2)正确．证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意可得（米），（米），（米），再证，得到（米），由此即可求解； （2）根据三角形内角和可得，再证，得到，则，所以（米），由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，有20步，有20步， ∴有（步）， ∵小刚走一步的长度约为米， ∴（米），（米），（米）， ∵， ∴， ∴（米）， ∴A，B两点间的距离为米， 故答案为：42； （2）解：正确，理由如下， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， ∴小华的做法正确． 26．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图所示，直线交轴于点，交轴于点满足． (1)求点、的坐标； (2)如图1，若的坐标为，且于点交于点． ①求证：． ②试求点的坐标． (3)如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)①见解析；② (3)的值不发生改变，等于4 【分析】本题主要考查平面直角坐标系和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． （1）根据平方根和平方的非负性即可求出答案； （2）①根据坐标得到，再通过等角的余角相等证明和，即可证明结论； ②由①得到，即可求出答案； （3）连接，证明，得到他们的面积相等，即可得到，即可求出答案． 【详解】（1）解： ； ； 点的坐标为，点的坐标为； （2）①证明：点的坐标为，点的坐标为， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； ②解：， ， 点的坐标为； （3）解：的值不发生改变，等于4， 理由如下：如图，连接， 为的中点，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ． 27．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知：在中，，直线经过点，直线直线，垂足分别为点D，E．结论：． 模型分析：      (1)填空： ①如图1，若，则______； ②如图2，，，点的坐标为，则点的坐标为______． (2)这时组员小刘想，如果三个角不是直角，那么这两个三角形还会全等吗？如图3现将【全等模型】的条件改为：在中，，直线经过点D，A，E三点，且 ．请判断与是否全等，并说明理由． (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图4，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，若，则______． 【答案】(1)①8；② (2)，理由见解析 (3)5 【分析】（1）①根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； ②如图2，过作轴于，过作轴于，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据已知条件得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （3）如图4，过作于，的延长线于．根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，同理，，，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：①直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 故答案为：8； ②如图2， 过作轴于，过作轴于， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 点的坐标为， ，， ，， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ，，， ， ，， ； （3）如图4，过作于，的延长线于． 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， 同理，，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：5． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 28．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）已知：在中，是的中点． 【问题解决】 （1）如图1，若，，求的取值范围． 小明的做法是：延长至点，使，连接，证明，小明判定全等的依据为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在的延长线上存在点，，，求证：． 【变式迁移】 （3）如图3，，，，试探究线段与的关系，并证明． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，三角形的三边关系等知识；正确作出辅助线并证明三角形全等是解决问题的关键． （1）利用证明； （2）延长到，使，连接，根据证，推出，根据，推出，根据全等三角形的判定与性质求出即可． （3）在的延长线上截取，连接，则，先证明得到和，进一步证明、和，再证明得到和，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， ∵， ∴，其中判定全等的依据为， 故答案为：； （2）解：延长到E，使，连接， ∵是的中点， ， 在和中 ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：， 证明如下： 如图，在的延长线上截取，连接， 则， ∵是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 29．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）小梅同学学习了全等三角形后，进行了如下探究： (1)【问题背景】如图①，在中，，平分，且．求的度数． 解：在上截取一点E，使得，证明，得到… 请把上面的步骤补充完整． (2)【问题解决】如图②，在中，平分，，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】如图③，在四边形中，，，于点，直接写出线段，，之间的数量关系：________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（）在上截取一点E，使得，可证，得到，，即得，又由，可得，进而得到，据此即可求解； （）在上截取一点E，使得，同理（）可得，得到，，进而得到，再根据三角形外角性质可得，即可得，得到，据此即可求证； （）如图，过点作的延长线于点，可证，得到，，进而证明，得到，即得到． 【详解】（1）解：在上截取一点E，使得， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 在上截取一点E，使得， 同理（）可得， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作的延长线于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角性质，补角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 30．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 【答案】（1）A；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系； （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长，交于点，证明，得出，，由证得，得出，进而根据即可得出答案． 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴. ∴，. 在和中， ， ∴. ∴， ∴， ∵， ∴． 31．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图，当时，_____． (2)如图，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点中的运动速度． 【答案】(1) (2)或 (3)运动的速度为或或或 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点P在线段上，根据点P速度表示的长即可； （2）分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，利用三角形面积分别求解即可； （3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【详解】（1）解：当时，点P在线段上， ∵点P速度为， ∴． 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴． ①当点P在上时， ， ∴， ． ②当点P在上时， 过点C作于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：或 （3）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴； ②当点在上，点在上，时， ， ∴； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ ． ∴运动的速度为或或或 32．（24-25八年级上·河南开封·期中）如图，，，以A点为顶点、为腰在第三象限作等腰直角三角形． (1)点C的坐标为______． (2)如图②，，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为直角顶点，为腰向右作等腰直角三角形，过D作轴于E点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，，进而可得，据此即可得出点的坐标； （2）过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，由轴可得，根据题意可知，再结合，进而可得，则，于是得解． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 轴， ， ∴； 根据题意可知：， 又， ∴， ， ， 即：的值为． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的定义，等式的性质，全等三角形的判定与性质，已知两点坐标求两点距离，线段的和与差，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 33．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）【问题背景】 如图，在中，点是边上的一点，，连接、，交于点． 【问题探究】 (1)如图1，若，试说明平分； (2)如图2，若点为的中点，作，且，，连接，试说明． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】(1)先根据平行线的性质，得出，由可得，由可得，进而即可得解； (2)先证明，得，再证明，进而即可得解． 【详解】（1）证明：如图， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ∴平分； （2）证明：如图2： 点为中点， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和性质等知识点，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键． 34．（24-25八年级上·云南红河·期末）已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段、、的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明 ；再证明 ；即可得出线段、、之间的数量关系是 ． (2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，分别是所在直线上的点，且．请直接写出、、线段之间的数量关系，不用证明． 【答案】(1)，， (2)成立，证明见解析 (3)或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出线段、、之间的数量关系； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，先利用证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：补全小宁的解题思路如下： 先证明；再证明；即可得出线段、、之间的数量关系是， 故答案为：，，； （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长到点G，使，连接， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ； （3）解：或或，理由如下： ， 如图③，在上截取，使，连接， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ； ， 如图④，在上截取， 同第一种情况，先证得，再证得， ； 由（1）、（2）可知，； 如图，点在延长线上，点在延长线上，此时线段、、之间并无直接数量关系； 综上，线段、、之间的数量关系为：或或． 35．（24-25八年级上·山西长治·期末）如图1，，点A、D在射线上，点B、C在直线上，平分与交于D点． (1)若，求证：； (2)在（1）的条件下，，点E为上一点，且，如图2，求的长； (3)过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点，如图3，当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)8 (3)，证明见解析 【分析】（1）由题意，可知，平分与y轴交于D点，所以可由定理证明，由全等三角形的性质可得； （2）过D作于N点，可证明、，因此，，所以，，即可得的长； （3）在x轴的负半轴上取，可证明、，因此，所以，即可证明所得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴ ， ∴； （2）解：过D作于N点，如图， ∵，，， ∴ ， ∴， 又∵，， ∴ ， ∴， ∴； （3）解：， 证明：同（2）可得， 在x轴的负半轴上取，连接，如图所示： 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∴， 在和中 ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质，有一定难度，正确作出辅助线是解决问题的关键． 36．（24-25八年级上·河南信阳·期末）【问题提出】 我们知道：三角形全等的判定方法有：“，，，”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料： 思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？ 这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究． 【初步思考】 我们不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 (1)第一种情况：当是直角时，． 如图2，在和中，，，，根据 ，可以知道． (2)第二种情况：当是钝角时，． 如图3，在和中，，，，且、都是钝角，李明由（1）受到了启发，很快证出了．请聪明的你完成李明的推理过程； (3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． ①如图4，在和中，，，，且、都是锐角，则的结论是否仍然成立；请说明成立的理由； ②如图4，和是不全等的，还要满足什么条件，就可以使？请直接写出结论： ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①见解析；②或 【分析】（1）直接利用定理得出 ； （2）首先得出，则，进而得出 ，再求出； （3）①利用已知图形再做一个钝角三角形即可得出答案； ②利用①中方法可得出当或 【详解】（1）解：∵， ∴和是直角三角形， 在和中， 故答案为：； （2）证明：在和 ，且都是钝角，如图，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于， 且都是钝角， 在和 在 和 在和中 ； （3）解：①在和中，，且都是锐角，如图，和不全等； ②由①图可知，， ∴当时，就唯一确定了， 则． 当时， 即， 在和中， 故答案为：或． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方式解题的关键． 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$