1.5.1数量积的定义及计算(2)教学设计-2024-2025学年高一下学期数学湘教版(2019)必修第二册

课 题 §1.5.1　数量积的定义及计算(2) 主 备 人 审 核 备课日期 2025年03月08日 课 型 新授课 教学目标 1.理解投影的概念. 2.掌握平面向量数量积的运算律及常用公式. 3.会利用数量积求向量的模和夹角. 核心素养 数学运算、直观想象、逻辑推理 教学重点 利用数量积求向量的模和夹角 教学难点 理解投影的概念 教学策略 与方法 启发引导、合作探究、归纳总结、抽象概括 教学过程 教 学 内 容 师生活动 设计意图 创设情境 导入新课 在前面，我们通过类比实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，得到了数乘运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 情境引入 激发兴趣 引入课题 探究新知 形成概念 一、投影 1.投影向量，投影长 作向量＝a，＝b，两个向量的夹角为α，过点B作BB1⊥OA于点B1，则，其中与共线. 我们把称为在方向上的投影向量，投影向量的长度||＝|||cos α|称为投影长.  2.在方向上的投影 ||cos α刻画了投影向量的大小和方向，称为在方向上的投影. 3.数量积的几何意义 一般地，a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos α的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos α的乘积.  注意点： (1)明确投影向量、投影及投影长三个概念的区别. (2)a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的.a在b 动画展示投影的形成过程，形成概念，引导学生发现数量积的几何意义， 类比前面向量线性运算的学习方法，探索数量积的几何意义，引出投影的概念。 教学过程 教 学 内 容 师生活动 设计意图 探究新知 形成概念 方向上的投影|a|cos α的公式为|a|cos α＝，b在a方向上的投影|b|cos α的公式为|b|cos α＝. (3)求a在b方向上的投影向量时，首先根据题意确定向量a的模，与b同向的单位向量e，及两向量a与b的夹角α，然后依据公式|a|cos αe计算. 二、数量积的运算律 1.数量积的运算律 设a，b，c是任意向量，λ是任意实数，则有 交换律 a·b＝b·a 与数乘的结合律 a·(λb)＝λ(a·b) 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 2.平面向量数量积的运算性质 (1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； (2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2； (3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (4)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a. 注意点： 一般地，对于非零向量a，b，c. (1)a·b＝b·c推不出a＝c. (2)向量的数量积不满足结合律，即(a·b)c≠a(b·c). 学生小组讨论交流，总结数量积的运算律。教师鼓励学生表达自己的看法。 类比数量的乘法运算，探究数量积的运算律，加深对数量积的定义及集合意义的理解。 精讲点拨 迁移应用 例1　已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°. (1)求a·b； (2)求a在b上的投影. 跟踪训练1　(课本P35练习T3)在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求： (1)在方向上的投影； (2)在方向上的投影. 例2　(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是(　　) A. a·c－b·c＝(a－b)·c B.(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 教师分析讲解，归纳方法。 学生独立思考，教师提问点评 通过例题的练习，加深对数量积的定义、投影的概念、数量积的运算律的理解。 教学过程 教 学 内 容 师生活动 设计意图 精讲点拨 迁移应用 C.|a|－|b|<|a－b| D.(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 跟踪训练2　已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，a与－b的夹角为，则(a－b)·(2a＋b)等于(　　) A.1 B.3 C.－1 D.－5 例3单位向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－. (1)求a与b夹角的余弦值： (2)若ka＋b与a＋3b的夹角为锐角，求实数k的取值范围. 跟踪训练3　已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1＋e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是　　　　.  教师分析讲解，归纳方法 掌握数量积的综合应用。 达标检测 评价反馈 1.对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是(　　) A.|a·b|＝|a||b| B.|a＋b|＝|a|＋|b| C.(a·b)c＝a(b·c) D.|a|＝ 2.已知|a|＝6，|b|＝8，a与b的夹角为60°，则向量b在a方向上的投影为(　　) A.4 B.－4 C.2 D.－2 3.课本35页练习1、2 学生独立完成，教师点评. 检测学习效果. 归纳总结 拓展升华 1.知识清单： (1)投影的概念及运用. (2)数量积的运算律. 2.方法归纳：类比法. 师生共同归纳总结本节所学知识和方法. 形成知识体系. 作业设计 题卡作业8 课后巩固 板书设计 §1.5.1　数量积的定义及计算(2) 1.投影 2.平面向量数量积的运算律 3.平面向量数量积的常用公式. 例1... 例2... 例3... 教后反思 签 审 学科网（北京）股份有限公司 $$