1.5.1数量积的定义及计算(1)教学设计-2024-2025学年高一下学期数学湘教版(2019)必修第二册

课 题 §1.5.1　数量积的定义及计算(1) 主 备 人 审 核 备课日期 2025年03月08日 课 型 新授课 教学目标 1.理解向量数量积的含义及其物理意义. 2.能正确熟练地应用数量积的定义进行运算. 核心素养 数学抽象、直观想象、逻辑推理 教学重点 应用数量积的定义进行运算 教学难点 理解向量数量积的含义及其物理意义 教学策略 与方法 自主学习与探究学习相结合 教学过程 教 学 内 容 师生活动 设计意图 创设情境 导入新课 前面我们学习了向量的线性运算，类比数的运算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？让我们带着这些问题共同开启今天的探索之旅吧！ 情境引入 激发兴趣 引入课题 探究新知 形成概念 问题　如图所示，一物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos α. (1)这个公式有什么特点？请完成下列填空： ①W(功)是　　　量；②F(力)是　　　量；③s(位移)是　　　量；④α是　　　量.  (2)你能用文字语言表述功的计算公式吗？ 提示　(1)①数；②向；③向；④数. （2）功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积. 给出问题学生思考得出答案. 教师引导学生得出一般化的结论. 数量积也有其数学背景和物理背景，教材以拉力对小车做功为背引出数量记得概念正是为了体现这一点。 探究新知 形成概念 一、数量积的定义 1.数量积的定义 设a，b是任意两个向量，〈a，b〉是它们的夹角，则定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉为a与b的数量积. 2.数量积的性质 a·b＝0⇔|a|＝0或|b|＝0或cos α＝0. (1)当a，b均不为0时，a·b＝0⇔cos α＝0⇔α＝⇔a⊥b. (2)当a＝0或b＝0时，由于零向量与任意向量垂直，因而仍有a⊥b. 因此，a·b＝0⇔a⊥b对所有情形均成立. 教师引导学生用文字语言来表述功的计算公式，并且总结数量积的定义。 教学中要注意明确一点： “.”是数量积的运算符号，不能省略，也不能用“×”代替。 教学过程 教 学 内 容 师生活动 设计意图 注意点： (1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”. (2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. (3)若a·b＝0，则a和b中至少有一个零向量或a，b均为非零向量，且a⊥b. 提出问题：向量的数量积和数乘向量有区别吗？ 培养学生的逻辑思维能力。 精讲点拨 迁移应用 例1　(多选)下列说法中，错误的是(　　) A.a，b共线⇔a·b＝|a||b| B.|a||b|<a·b C.a2＋b2≥2a·b D.非零向量a，b满足a·b>0，则a与b的夹角为锐角 跟踪训练1　(多选)已知a，b，c是三个非零向量，则下列结论中正确的是(　　) A.a·b＝±|a||b|⇔a∥b B.a，b反向⇔a·b＝－|a||b| C.a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b| D.|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c| 例2　(课本例1)已知向量a＝ae，b＝be，e为单位向量，求数量积a·b. 跟踪训练2　已知|a|＝4，|b|＝5，当 (1)a∥b； (2)a⊥b； (3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积. 例3 (课本P39习题1.5T1)如图，已知||＝||＝||＝5，∠AOB＝60°，∠BOC＝30°，计算： (1)·；(2)·；(3)·. 跟踪训练3在△ABC中，∠ABC＝90°，若BD⊥AC，且BD交AC于点D，||＝，则·＝　　　　.  学生思考作答后，教师提问点评 进一步巩固向量数量积的定义和运算性质。 教学过程 教 学 内 容 师生活动 设计意图 达标检测 评价反馈 1.(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中不正确的是(　　) A.若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 B.向量a与向量b夹角的范围是[0，π) C.若a⊥b，则a·b＝0 D.向量a与向量b夹角的范围是(0，π] 2.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角θ为45°，则m·n等于(　　) A.12 B.12 C.－12 D.－12 3.已知e是单位向量，向量a满足≤a·e≤1，则|a|的取值范围是(　　) A.(0，＋∞) B.(0，1] C. D. 4.如图，已知△ABC是边长为的等边三角形，则： (1)·＝　　　　；  (2)若E为BC的中点，则·＝　　　　.  学生独立完成，教师点评. 检测学习效果. 归纳总结 拓展升华 1.知识清单： (1)数量积的定义. (2)数量积的性质. (3)数量积的应用. 2.方法归纳：数形结合. 师生共同归纳总结本节所学知识和方法. 形成知识体系. 作业设计 题卡作业7. 课后巩固 板书设计 §4.1.3　数量积的定义及计算(1) 1.数量积的定义； 2.数量积的性质； 例1... 例2... 教后反思 签 审 学科网（北京）股份有限公司 $$