7.1.1 条件概率(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第七章  随机变量及其分布

　　▶导语:本章是必修课程概率内容的延续,我们将学习一些新概念(条件概率、随机变量等)和新模型(二项分布、超几何分布、正态分布等)。学习时要能够结合具体实例,了解条件概率及其与独立性的关系,并能进行简单计算;感悟离散型随机变量及其分布列的含义,知道可以通过随机变量更好地刻画随机现象;理解伯努利试验,掌握二项分布,了解超几何分布;感悟服从正态分布的随机变量,知道连续型随机变量。同时能够基于随机变量及其分布解决简单的实际问题。

要点精准概括
10个重要概念:条件概率、离散型随机变量、分布列、离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差、伯努利试验、两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布
8个重要公式:条件概率公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式、均值公式、方差公式、二项分布概率公式、超几何分布概率公式
5个重要性质:条件概率的性质、分布列的性质、均值的性质、方差的性质、正态曲线的性质
4个关键能力:逻辑推理能力、运算求解能力、数据分析能力、数学建模能力

7.1　条件概率与全概率公式

7.1.1　条件概率

 1.条件概率

(1)条件概率的概念。

一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率。

(2)条件概率与独立性的关系。

当P(A)>0时,当且仅当事件A与B相互独立时,有P(B|A)=P(B)。

(3)概率的乘法公式。

对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)。这个公式称为概率的乘法公式。

2.条件概率的性质

设Ω是样本空间,P(A)>0,则有:

(1)P(Ω|A)=1;

(2)如果B和C是两个互斥事件,P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);

(3)设和B互为对立事件,则P(|A)=1-P(B|A)。

微提醒

(1)乘法公式的几何直观意义。

如图,用单位正方形来表示样本空间Ω,用正方形内封闭曲线围成的图形表示事件,把图形的面积理解为相应事件发生的概率。设A,B是Ω的子集。概率P(B)=(注意P(Ω)=1)相当于B在Ω中所占的比例,亦可表示为P(B)=P(B|Ω)。条件概率P(B|A)=,实际上是仅局限于A事件这个范围来考查B事件发生的概率,几何直观上,相当于B在A内的那部分(即AB)在A中所占的比例。

因此P(AB)=P(A)P(B|A),同理,P(AB)=P(B)P(A|B)。

(2)已知A发生,在此条件下B发生,相当于AB发生,要求P(B|A),相当于把A看作新的样本空间计算AB发生的概率,即P(B|A)===。

微思考

1.P(B|A)与P(AB),P(A)有何区别与联系?

提示:P(B|A)是在事件A发生的条件下,事件B发生的概率;P(AB)是事件A与B同时发生的概率,无附加条件;P(A)是事件A发生的概率,无附加条件。它们的联系是P(B|A)=。

2.P(B|A)与P(A|B)表示的意思相同吗?

提示:不同。P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率;而P(A|B)表示在事件B发生的条件下,事件A发生的概率。另外,从计算公式上看,P(B|A)=,而P(A|B)=。

3.若A表示事件“抛一枚质地均匀的硬币,正面向上”,B表示事件“抛一枚质地均匀的骰子,1点向上”,则P(A),P(B),P(B|A)分别是多少?有何关系?

提示:易知P(A)=,P(B)=,另外事件A是否发生对事件B没有影响,即事件A,B相互独立,故P(B|A)=,所以P(B)=P(B|A)。

类型一  条件概率的定义

　　【例1】　判断下列几种概率哪些是条件概率:

(1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会,每人参加一个不同的项目,已知一名女生获得冠军,则该名女生是高一的概率。

(2)掷一枚骰子,求掷出的点数为3的概率。

(3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张,已知抽到梅花的条件下,再抽到的是梅花5的概率。

解　由条件概率定义可知(1)(3)是,(2)不是。

判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的。

【变式训练】　(1)下面几种概率是条件概率的是    (B)

A.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7,各投篮一次都投中的概率

B.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7,在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率

C.有10件产品,其中3件次品,抽2件产品进行检验,恰好抽到一件次品的概率

D.小明上学路上要过四个路口,每个路口遇到红灯的概率都是,则小明在一次上学中遇到红灯的概率

解析　由条件概率的定义知B为条件概率。

(2)(多选)下列说法正确的是    (CD)

A.P(B|A)=-0.2

B.P(B|A)=P(A|B)

C.P(B|A)=0说明事件A与事件B不能同时发生

D.P(B|A)与P(B)有可能相等

解析　0≤P(B|A)≤1,故A错误;P(B|A)与P(A|B)可能相等,也可能不相等,故B错误;P(B|A)=0,即在事件A发生的条件下事件B发生的概率为0,即事件A与事件B不能同时发生,故C正确;当事件A,B为相互独立事件时,P(B|A)=P(B),故D正确,故选CD。