6.3.1 二项式定理(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

6.3　二项式定理

6.3.1　二项式定理

 

 1.二项式定理

 

2.二项展开式的特点

(1)展开式共有n+1项。

(2)各项中a,b的次数和都等于二项式的幂指数n。

(3)字母a的幂指数按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到为0,字母b的幂指数按升幂排列,从第一项开始,次数由0逐项加1直到为n。

微思考

1.二项展开式中的项an-rbr是第几项?

提示:an-rbr是(a+b)n的展开式的第r+1项。

2.二项式(a+b)n与(b+a)n的展开式的第k+1项有什么区别?

提示:(a+b)n的展开式的第k+1项是an-kbk,(b+a)n的展开式的第k+1项是bn-kak。

3.二项式系数与系数相同吗?

提示:不相同,例如(1+2x)n的二项式系数为(r=0,1,2,…,n),而系数为2r(r=0,1,2,3,…,n)。

类型一  二项式定理的正用、逆用

　　【例1】　(1)求的展开式。

解　= (3)4+(3)3+(3)2 +(3)+ =81x2+108x+54++。

(2)化简(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)。

解　原式=(x-1)5+(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+·(x-1)0-1=[(x-1)+1]5-1=x5-1。

求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开,展开时注意二项展开式的特点:前一个字母是降幂,后一个字母是升幂。形如(a-b)n的展开式中会出现正负间隔的情况。

【变式训练】　(1)若f (x)=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+4,则f (2 020)-f (-2 020)的值为 0 。 

解析　根据f (x)的解析式,逆用二项式定理,得f (x)=[(x-1)+1]4+3=x4+3。显然f (-x)=f (x),即f (x)为偶函数,所以f (2 020)-f (-2 020)=0。

(2)求-4的展开式。

解　-4=()4-()3·+()2·2-3+4=x2-2x+-+。

类型二  二项式系数与项的系数

　　命题方向1:求展开式的特定项　

　　【例2】　在-n的展开式中,第6项为常数项。

(1)求n;

(2)求含x2的项的系数;

(3)求展开式中所有的有理项。

解　Tk+1=·()n-k·-k=·()n-k·-k=-k··。

(1)因为第6项为常数项,所以k=5时,有=0,

所以n=10。

(2)令=2,得k=2,所以所求的系数为-2=。

(3)根据通项,由题意,得令=m(m∈Z),则10-2k=3m,即k==5-m。因为0≤k≤10,所以0≤5-m≤10,所以-≤m≤,又因为m应为偶数,所以m可取2,0,-2,所以k=2,5,8,所以第3项、第6项与第9项为有理项。它们分别为-2·x2,-5,-8·x-2,即x2,-和。

求二项展开式特定项的步骤

【变式训练】　若x+n的展开式中的前3项系数成等差数列,则展开式中的常数项是  。 

解析　展开式的通项为Tr+1=rxn-2r,前3项的系数为1,,,所以n=1+,解得n=8或n=1(舍去)。所以展开式的通项为Tr+1=rx8-2r,令8-2r=0,得r=4。所以展开式的常数项为4×=。

　　命题方向2:求展开式的系数与二项式系数

　　【例3】　(1)求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数;

(2)求的展开式中x3的系数。

解　(1)的展开式中第6项的二项式系数为=6;二项式的展开式中的第6项为×(2) ×=-12,系数是-12。

(2)的展开式的通项为Tr+1=x9-r-r=(-1)rx9-2r。根据题意令9-2r=3,解得r=3,所以x3的系数为(-1)3=-84。