6.2.1 排列(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

6.2　排列与组合

6.2.1　排列

 

1.排列的概念

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

2.两个排列相同的充要条件

(1)两个排列的元素完全相同;

(2)元素的排列顺序也相同。

微提醒

排列中元素所满足的两个特性

(1)无重复性:从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素。

(2)有序性:安排这m个元素时是有顺序的,有序的就是排列,无序的不是排列。而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置,看结果是否发生变化,有变化就是有顺序,无变化就是无顺序。

微思考

1.排列定义中的两个要素是什么?

提示:一是“取出不同的元素”,二是“将元素按一定顺序排列”。

2.每一个排列中元素的位置是确定的吗?

提示:是,元素在排列中的位置不同排列也就不同。

3.同一个排列中,同一个元素能重复出现吗?

提示:由排列的定义知,在同一个排列中不能重复出现同一个元素。

4.a,b,c与b,a,c是同一个排列吗?

提示:不是。

类型一  排列的概念

　　【例1】　判断下列问题是否是排列问题:

(1)从2,3,4,5,6,7,8,9中任取两数相乘可得多少个不同的积?

(2)一张餐桌上有5盘不同的菜,甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜,共有多少种不同的取法?

(3)学校食堂的一个窗口共卖5种菜,甲、乙、丙3名同学每人从中选一种菜,共有多少种不同的选法?

(4)一位老师要给4个班轮流做讲座,每个班讲一场,有多少种轮流次序?

解　(1)乘法符合交换律与顺序无关,不是排列问题。

(2)各取一盘菜,跟顺序有关,是排列问题。

(3)各选一种菜,每人都有5种选法,不是排列问题。

(4)讲座分先后,是排列问题。

排列的核心是“顺序”,有“顺序”就是排列问题。那么如何判断是否有顺序呢?最常用的办法是把得到的结果变换元素的位置,如果结果变了,就是有“顺序”,如果结果不变,就是无“顺序”。

【变式训练】　判断下列问题是否是排列问题。

(1)3封信投入4个不同的信箱,共有多少种不同的投法?

(2)从1,3,7,13这4个数中任取2个数相减,可以得到多少个不同的差?

(3)某班有10名三好学生,5名后进生,班委会决定选5名三好学生对5名后进生实行一帮一活动,共有多少种安排方式?

(4)从5名女生,4名男生中选出4人去参加一项创新大赛,共有多少种选法?

解　(1)不是。(2)是。(3)是。(4)不是。

类型二  用列举法写出排列

　　【例2】　写出A,B,C,D四名同学站成一排照相,A不站在两端的所有可能站法。