重难点01 规律探究与新定义型问题-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

重难点01：规律探究与新定义型问题 类型一 数式规律 方法总结： 一、数字规律探索 1）当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正整数列、奇数列、偶数列、正整数数列或经过平方、平方加1或减1等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一种符号，如果是交替出现的可用(-1)n或(-1)n-1表示数字的符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果. 2)当数字是分数和整数结合的时候，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的数字规律(其方法同1))，从而得出分子和分母的规律，最后得到该组第n项的规律. 二、数阵规律探索 此类题目中的数据与有序数对是对应的，设问方式有已知有序数对求数值和表示某个数值的有序数对，本质上讲，这两种方式是相同的.此类型题的解决方法有： 1）分析数阵中的数字排列方式: ①每行的个数;②每列的个数;③相邻数据的变化特点，并且观察是否某一行或者某一列数据具有某些特别的性质 (如完全平方数，正整数)等; 2）找出该行或列上的数字与其所在的行数或列数的关系; 3）使用1）中找出的具有特殊性质的数字，根据2）中的性质定位，求得答案 三、等式规律探索 1）标序数; 2）对比式子与序数，即分别比较等式中各部分与序数 (1，2，3，4，...，n)之间的关系，把其蕴含的规律用含序数的式子表示出来.通常方法是将式子进行拆分观察式子中数字与序数是否存在倍数或者乘方的关系 .3）根据找出的规律得出第n个等式，并进行检验. 题型01 乘方类规律 1．（2023·云南昭通·二模）观察下列代数式：，，，，…，根据其中的规律可得第2023个式子是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·广西贺州·三模）观察下列一行数：，…，则第16个数与第17个数的和为（    ） A． B． C． D． 3．（2020·北京海淀·一模）计算： ． 4．（2020·河北保定·模拟预测）一小球从距地面高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下．    （1）小球第2次着地时，经过的总路程 ； （2）小球第次着地后，反弹的高度为 ． 题型02：平方根类规律 5．（2023·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 6．（2022·北京海淀·二模）由，，我们可以确定是两位数．根据类似的想法，由于1225个位上的数是5，我们能确定个位上的数是 ，如果只看1225的前两位12，而，，我们能确定十位上的数是 ． 7．（2024·浙江嘉兴·一模）观察下面的等式：，，，， (1)写出的结果； (2)按照上面的规律归纳出一个一般的结论；（用含n的等式表示，n为正整数） (3)试运用相关知识，推理说明你所得到的结论是正确的． 8．（2023·安徽合肥·一模）观察下列等式： ①； ②； ③； … (1)写出④______； (2)猜想：______； (3)由以上规律，计算的值． 题型03：实数运算类规律 9．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，则 ． 10．（2024·山东济宁·二模）按一定规律排列的单项式：a，，，，，…，则第n个单项式为 ． 11．（2023·辽宁朝阳·三模）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．如果我们规定一个新数“”使它满足（即有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数“ ”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立．于是有：，，，……那么 ． 12．（2023·福建厦门·三模）将一组数，2，，，．．．，，．．．按下列方式进行排列： ，2，，； ，，，； …… …… 若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为 ． 题型04 记数类规律 13．（2025·山东临沂·模拟预测）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，，若，则 ． 14．（2025·山东·一模）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第n个数记为，则 ． 15．（2025·山东日照·模拟预测）现有一列数，…，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和，如果，则…的值为 ． 16．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，观察方框中数字的规律，并根据你得到的规律，猜想字母e表示的数为 题型05 新定义运算规律 17．（2025·江苏·模拟预测）规定：符号[x]叫做取整符号，它表示不超过x的最大整数，例如：，，，，．则的值是（    ） A．1 B．0 C． D． 18．（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 19．（2024·重庆·模拟预测）在多项式中，对相邻的两个字母间任意添加括号后再在括号前添加“−”号，化简后的式子含有“+”的运算，称此为对多项式进行“添加操作”（一次性操作，不反复进行）． 例如：，… 下列说法： ①“添加操作”不能使其结果与原多项式相等； ②任何“添加操作”，其结果与原多项式之差都能被2整除； ③所有的“添加操作”共有6种不同运算结果． 其中说法正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．（2024·重庆·模拟预测）已知，对多项式任意添加绝对值运算（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后仍只含有加法运算，称这种操作为“绝加操作”． 例如：，等． 下列说法： ①至少存在三种“绝加操作”，使其化简的结果与原多项式相等； ②不存在任何“绝加操作”，使其化简的结果与原多项式之和为； ③若只添加两个绝对值，去绝对值化简所有可能的“绝加操作”共有种不同的结果． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 类型二 图形规律 方法总结：解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 题型01 图形渐变累加型 21．（广东深圳·期末）下列图形都是由同样大小的⊙按一定规律所组成的，其中第1个图形中一共有5个⊙，第2个图形中一共有8个⊙，第3个图形中一共有11个⊙，第4个图形中一共有14个⊙，…，按此规律排列，第100个图形中⊙的个数为（　　） A．298 B．302 C．304 D．305 22．（云南昭通·期中）如图，下列图形是由正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成，按此规律，则第10个图形中圆的个数为（    ） A．30 B．41 C．31 D．40 23．（江苏扬州）如图，在平面直角坐标系中，设一质点M自P0（1，0）处向上运动1个单位至P1（1，1），然后向左运动2个单位至P2处，再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处，…，如此继续运动下去，则P2021的坐标为（    ） A．（1011，1011）B．（1010，﹣1011） C．（504，﹣505） D．（505，﹣504） 24．（九年级上）下列图形都是由大小相同的小圆按一定规律组成的，其中第①个图形中有2个小圆，第②个图形中有8个小圆，第③个图形中有16个小圆…，按此规律排列下去，第⑦个图形中的小圆个数为（    ） A．38 B．52 C．68 D．86 题型02 图形固定累加型 25．·河南郑州·期末）找出以下图形变化的规律，则第 2022 个图形中黑色正方形的数量是（ ） A．3030 B．3031 C．3032 D．3033 26．（重庆）下面由火柴棒拼出的一列图形中，第1个图形有4根火柴棒，第2个图形有7根火柴棒，第3个图形有10根火荣棒…，则第7个图形有（    ）根火柴棒． A．16 B．22 C．15 D．21 27．（重庆江津）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： 第一个图中有6枚棋子，第二个图中有9枚棋子，第三个图中有12枚棋子，第四个图中有15枚棋子，…若第n个图中有2019枚棋子，则n的值是（ ）． A．670 B．671 C．672 D．673 28．（重庆九龙坡）如图，图形都是由形状、大小完全相同的“●”按一定规律所组成，其中图①共有6个黑点，图②共有9个黑点，图③共有12个黑点…，按此规律排列，则图⑦中黑点的个数为（　　） A．21 B．24 C．27 D．30 题型03：图形递推型 29．（江苏盐城·期末）观察下列一组图案，每个图案都是若干个“·”组成，其中图①中共有7个“·”，图②中共有13个“·”，图③中共有21个“·”，图④中共有31个“·”…，按此规律，图形⑩中的“·”个数是（    ） A．113 B．117 C．125 D．133 30．（河南郑州·期中）依照图形变化的规律，则第2023个图形中黑色正方形的数量是（    ） A．2023 B．3033 C．3034 D．3035 31．（福建厦门·期中）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸．按此规律，则第100个图中所贴剪纸“〇”的个数为（    ） A．305 B．302 C．203 D．202 32．（湖北武汉·期中）一颗跳跳糖从开始按图中箭头所示方向作连续运动，第一次跳动至，第二次跳动至，第三次跳动至，第四次跳动至，第五次跳动至，…，依照此规律跳动下去，跳跳糖第77次跳动至的坐标是 （　　） A． B． C． D． 题型04 图形周期型 33．（河南郑州·期中）2024年沙特阿拉伯国庆节期间，中国无人机表演团队震撼全球，6000架无人机编队划破夜空，展示了中国“智造”实力．无人机表演并非简单的编程或灯光秀，而是涉及到多项技术的深度融合．这其中就包括了精准的定位技术．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，无人机按图中“”方向飞行，，，，…根据这个规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 34．（江苏无锡·期中）如图1，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上字母m，n，p，q，如图2，先让圆周上表示m的点与数轴原点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示的点与圆周上重合的点对应的字母是（　　） A．m B．n C．p D．q 35．（浙江·专题）在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从A点出发，沿着A→B→C→D→A…循环爬行，其中A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为，当蚂蚁爬了个单位时，它所处位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 36．（江苏南通·期中）如图，已知，按这样的规律，则点的坐标为(    )      A． B． C． D． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点01：规律探究与新定义型问题 类型一 数式规律 方法总结： 一、数字规律探索 1）当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正整数列、奇数列、偶数列、正整数数列或经过平方、平方加1或减1等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一种符号，如果是交替出现的可用(-1)n或(-1)n-1表示数字的符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果. 2)当数字是分数和整数结合的时候，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的数字规律(其方法同1))，从而得出分子和分母的规律，最后得到该组第n项的规律. 二、数阵规律探索 此类题目中的数据与有序数对是对应的，设问方式有已知有序数对求数值和表示某个数值的有序数对，本质上讲，这两种方式是相同的.此类型题的解决方法有： 1）分析数阵中的数字排列方式: ①每行的个数;②每列的个数;③相邻数据的变化特点，并且观察是否某一行或者某一列数据具有某些特别的性质 (如完全平方数，正整数)等; 2）找出该行或列上的数字与其所在的行数或列数的关系; 3）使用1）中找出的具有特殊性质的数字，根据2）中的性质定位，求得答案 三、等式规律探索 1）标序数; 2）对比式子与序数，即分别比较等式中各部分与序数 (1，2，3，4，...，n)之间的关系，把其蕴含的规律用含序数的式子表示出来.通常方法是将式子进行拆分观察式子中数字与序数是否存在倍数或者乘方的关系 .3）根据找出的规律得出第n个等式，并进行检验. 题型01 乘方类规律 1．（2023·云南昭通·二模）观察下列代数式：，，，，…，根据其中的规律可得第2023个式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找出代数式前项的规律，再找出代数式后项的规律即可． 【详解】解：代数式的前项为1，2，3，4，，n， 代数式的后项为，，，，，， 第个式子是代数式：， 第个式子是代数式：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查学生寻找规律的能力，正确找出项的正负号规律是难点． 2．（2022·广西贺州·三模）观察下列一行数：，…，则第16个数与第17个数的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以求得第16个数与第17个数，然后将它们相加即可． 【详解】∵，… ∴这列数的第偶数个数都是1，第奇数个数是， ∴当n=16时，这个数为1， 当n=17时，这个数为， ∴第16个数与第17个数的和为：， 故选：C． 【点睛】本题考查数字的变化特点，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求数字的和． 3．（2020·北京海淀·一模）计算： ． 【答案】 【分析】通过题意发现该式子为m个2的和，然后再加上m个3的积，即可得到答案． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【点睛】本题是数字类规律题，注意观察式子特点是解题的关键． 4．（2020·河北保定·模拟预测）一小球从距地面高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下．    （1）小球第2次着地时，经过的总路程 ； （2）小球第次着地后，反弹的高度为 ． 【答案】 6 【分析】（1）根据题意可以求得小球第2次着地时，经过的总路程； （2）逐一列出前三次着地后反弹的高度，找出规律，即可解答． 【详解】解：（1）小球第2次着地时，经过的总路程为：， 故答案为：6； （2）第1次着地后反弹的高度为：， 第2次着地后反弹的高度为：， 第3次着地后反弹的高度为：， … 第n次着地后反弹的高度为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实际问题中的规律探究问题，解答本题的关键是明确题意，找出题目中数的变化规律，注意每次着地后又跳回到原高度的一半再落下． 题型02：平方根类规律 5．（2023·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式的规律可得，系数为，字母为，指数为1开始的自然数，据此即可求解． 【详解】解：按一定规律排列的单项式：，第个单项式是， 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键． 6．（2022·北京海淀·二模）由，，我们可以确定是两位数．根据类似的想法，由于1225个位上的数是5，我们能确定个位上的数是 ，如果只看1225的前两位12，而，，我们能确定十位上的数是 ． 【答案】 5 3 【分析】根据题意，以题目给出的思路和方法进行推理得出答案，5的任何次方尾数均是5，则可求解①，根据题意确定1225的平方根是两位数，再根据3的平方和4的平方即可确定②． 【详解】∵5的任何次方尾数均是5， ∴1225的平方根的个位数是5， ∵，，9＜12＜16， ∴1225的平方根的十位数是3， 故答案为：5，3． 【点睛】考查了实数的意义，平方根的意义以及尾数的特征等知识，阅读理解题目提供的解题方法是解答本题的关键． 7．（2024·浙江嘉兴·一模）观察下面的等式：，，，， (1)写出的结果； (2)按照上面的规律归纳出一个一般的结论；（用含n的等式表示，n为正整数） (3)试运用相关知识，推理说明你所得到的结论是正确的． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索． （1）由上述等式得，； （2）观察上面的等式可得规律，（n为正整数）； （3）计算是否等于． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ∴； （2）解：观察上面的等式可得规律（n为正整数）； （3）证明： ， 因此归纳正确． 8．（2023·安徽合肥·一模）观察下列等式： ①； ②； ③； … (1)写出④______； (2)猜想：______； (3)由以上规律，计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察已知等式找到规律，即可求解； （2）根据规律直接得出结果即可； （3）利用（2）中结论及有理数的混合运算进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：根据规律可知，， 故答案为： ； （3） ． 【点睛】题目主要考查算术平方根及有理数规律性运算，根据题意找出相应规律是解题关键． 题型03：实数运算类规律 9．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律实数运算，根据题意计算，得到即可求解，找到规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2024·山东济宁·二模）按一定规律排列的单项式：a，，，，，…，则第n个单项式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，通过观察可知每一个单项式均为关于a的单项式，再分别观察单项式的系数、次数的变化规律即可得到答案． 【详解】解：第1个单项式为a， 第2个单项式为， 第3个单项式为， 第4个单项式为， 第5个单项式为， …， 以此类推可知，第n个单项式的系数为，次数为n，字母部分都为a， ∴第n个单项式为， 故答案为：． 11．（2023·辽宁朝阳·三模）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．如果我们规定一个新数“”使它满足（即有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数“ ”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立．于是有：，，，……那么 ． 【答案】 【分析】根据所给的新定义找到规律即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， …… ∴可以发现每4个运算为一个循环，结果为循环出现， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了新定义下的实数运算和数字类的规律探索，正确得出数字变化规律是解题关键． 12．（2023·福建厦门·三模）将一组数，2，，，．．．，，．．．按下列方式进行排列： ，2，，； ，，，； …… …… 若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为 ． 【答案】 【分析】先找出被开方数的规律，再求出的位置即可． 【详解】解：原来的一组数即为 ，，，； ，，，； …… 所以，规律为：被开方数为从2开始的偶数，每行4个数， ∵，40是第20个偶数，而， ∴的位置为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字的规律探究，找准规律是解题的关键． 题型04 记数类规律 13．（2025·山东临沂·模拟预测）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为时，若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行． 【详解】解：由图中排布可知，当正整数为时， 若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列； 若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行； ∵， 而，在第行，第1列， ∴在第行，第2列， ∴，， 故答案为：． 14．（2025·山东·一模）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第n个数记为，则 ． 【答案】2025 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求项的值．根据题目中的数据可以写出前几项，从而可以数字的变化特点，然后即可得到 的值． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴． 故答案为：2025． 15．（2025·山东日照·模拟预测）现有一列数，…，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和，如果，则…的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是数字的变化规律，学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，涉及到有理数的加法法则，解题的关键在于分析题意，找到规律并进行推导；根据任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和求得到分别是多少，即可找出规律，求得答案． 【详解】解：∵任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和，， ∴，，，，，； ∴每6个数为一循环，且6个数的和为0， ； ∴…； 故答案为：． 16．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，观察方框中数字的规律，并根据你得到的规律，猜想字母e表示的数为 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，能根据题意发现各方框中数字之间的关系是解题的关键． 根据所给图形，观察各方框中数字之间的关系，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由图可知： ， ， ， ， 故答案为：． 题型05 新定义运算规律 17．（2025·江苏·模拟预测）规定：符号[x]叫做取整符号，它表示不超过x的最大整数，例如：，，，，．则的值是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查取整函数，熟练掌握无理数大小比较的方法，弄清定义是解题的关键． 由，再根据定义进行运算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 18．（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 19．（2024·重庆·模拟预测）在多项式中，对相邻的两个字母间任意添加括号后再在括号前添加“−”号，化简后的式子含有“+”的运算，称此为对多项式进行“添加操作”（一次性操作，不反复进行）． 例如：，… 下列说法： ①“添加操作”不能使其结果与原多项式相等； ②任何“添加操作”，其结果与原多项式之差都能被2整除； ③所有的“添加操作”共有6种不同运算结果． 其中说法正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据定义，得“添加操作”定义及计算可判定 ①正确；根据整式的混合运算可判定②正确；根据整式的混合运算，可判定③正确． 本题考查了新定义，分类思想，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：根据定义，得“添加操作”不能使其结果与原多项式相等, 故①正确； 根据题意，得，能被2整除； ②正确； 结果有：， ； ； ； ； ； 共6个， 故③正确． 故选D． 20．（2024·重庆·模拟预测）已知，对多项式任意添加绝对值运算（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后仍只含有加法运算，称这种操作为“绝加操作”． 例如：，等． 下列说法： ①至少存在三种“绝加操作”，使其化简的结果与原多项式相等； ②不存在任何“绝加操作”，使其化简的结果与原多项式之和为； ③若只添加两个绝对值，去绝对值化简所有可能的“绝加操作”共有种不同的结果． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，根据，，，即可判断①；根据当满足时，，即可判断②；分别求出，，，，的结果即可判断③． 【详解】解：∵， ∴，， ， ∴至少存在三种“绝加操作”，使其化简的结果与原多项式相等，故①正确； 当满足时，， 此时，故②错误； 或； ； 或； ； ； ∴若只添加两个绝对值，去绝对值化简所有可能的“绝加操作”共有种不同的结果，故③正确， 故选：C． 类型二 图形规律 方法总结：解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 题型01 图形渐变累加型 21．（广东深圳·期末）下列图形都是由同样大小的⊙按一定规律所组成的，其中第1个图形中一共有5个⊙，第2个图形中一共有8个⊙，第3个图形中一共有11个⊙，第4个图形中一共有14个⊙，…，按此规律排列，第100个图形中⊙的个数为（　　） A．298 B．302 C．304 D．305 【答案】B 【分析】将原图中基本图形划分为中间部分和两边部分，中间基本图形个数等于序数，两边基本图形的个数和等于序数加1的两倍，据此规律可得答案． 【详解】解：∵第①个图形中基本图形的个数， 第②个图形中基本图形的个数， 第③个图形中基本图形的个数， 第④个图形中基本图形的个数， ⋯， ∴第n个图形中基本图形的个数为， 当时，， 故选B． 【点睛】本题考查了图形的变化类，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，解决本题的关键在于将原图形划分得出基本图形的数字规律． 22．（云南昭通·期中）如图，下列图形是由正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成，按此规律，则第10个图形中圆的个数为（    ） A．30 B．41 C．31 D．40 【答案】C 【分析】由图可知第1个图形中圆的个数为4=3×1+1个，第2个图形中圆的个数为7=3×2+1个，第3个图形中圆的个数为10=3×3+1个，….；由此可得规律进行求解． 【详解】解：由图可知第1个图形中圆的个数为4=3×1+1个，第2个图形中圆的个数为7=3×2+1个，第3个图形中圆的个数为10=3×3+1个，….； ∴第n个图形中圆的个数为（3n+1）个， ∴第10个图形中圆的个数为3×10+1=31（个）； 故选C． 【点睛】本题主要考查图形规律问题，解题的关键是根据图形得到基本规律进行求解． 23．（江苏扬州）如图，在平面直角坐标系中，设一质点M自P0（1，0）处向上运动1个单位至P1（1，1），然后向左运动2个单位至P2处，再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处，…，如此继续运动下去，则P2021的坐标为（    ） A．（1011，1011） B．（1010，﹣1011） C．（504，﹣505） D．（505，﹣504） 【答案】A 【分析】求出图中写出点的坐标，发现规律再解决即可． 【详解】解：P0（1，0）P1（1，1）P2（-1，1）P3（-1，-2）P4（3，-2）P5（3，3）P6（-3，3）P7（-3，-4） P8（5，-4）P9（5，5） 看了上述之后就会发现P1（1，1），P5（3，3），P9（5，5）的横纵坐标相等，均为序数加1再除以2的结果， ∵，， ∴P2021的坐标为（1011，1011）， 故选：A． 【点睛】此题考查坐标的规律探究，根据图形得到点的坐标并发现坐标的变化规律，并能运用规律解决问题，能总结特殊点的坐标并总结运用规律是解题的关键． 24．（九年级上）下列图形都是由大小相同的小圆按一定规律组成的，其中第①个图形中有2个小圆，第②个图形中有8个小圆，第③个图形中有16个小圆…，按此规律排列下去，第⑦个图形中的小圆个数为（    ） A．38 B．52 C．68 D．86 【答案】C 【分析】由题意易知第①幅图中小圆的个数为2=2×1+2×0，第②幅图中小圆的个数为8=2×3+2×1，第③幅图小圆的个数为16=3×4+2×2，第④幅图小圆的个数为26=4×5+2×3；…..，由此问题可求解． 【详解】解：由题意知， 第①幅图中小圆的个数为2=2×1+2×0， 第②幅图中小圆的个数为8=2×3+2×1， 第③幅图小圆的个数为16=3×4+2×2， 第④幅图小圆的个数为26=4×5+2×3； ……； ∴第⑦幅图小圆的个数为7×8+2×6=68（个）； 故选C． 【点睛】本题主要考查图形规律问题，解题的关键是找到图形规律即可． 题型02 图形固定累加型 25．·河南郑州·期末）找出以下图形变化的规律，则第 2022 个图形中黑色正方形的数量是（ ） A．3030 B．3031 C．3032 D．3033 【答案】D 【分析】观察前几个图形的黑色正方形的数量2、3、5、6、8……得出变化规律： 当n为偶数时，第n个图形的黑色正方形的数量为（）个，当n为奇数时，第n个图形的黑色正方形的数量为（）个，据此规律求解即可． 【详解】解：观察前几个图形可知： 第1个图形中黑色正方形的数量是2， 第2个图形中黑色正方形的数量是3， 第3个图形中黑色正方形的数量是5， 第4个图形中黑色正方形的数量是6， 第5个图形中黑色正方形的数量是8， …… 得出规律： 当n为偶数时，第n个图形的黑色正方形的数量为（）个，当n为奇数时，第n个图形的黑色正方形的数量为（）个， ∴第 2022 个图形中黑色正方形的数量是=3033个， 故选：D． 【点睛】本题考查图形的变化规律探究，正确得出变化规律是解答的关键． 26．（重庆）下面由火柴棒拼出的一列图形中，第1个图形有4根火柴棒，第2个图形有7根火柴棒，第3个图形有10根火荣棒…，则第7个图形有（    ）根火柴棒． A．16 B．22 C．15 D．21 【答案】B 【分析】根据变化规律，后一个图形比前一个图形多3根火柴棒，然后写出第n个图形的表达式从而可得结论． 【详解】解：第1个图形中有4根火柴棒； 第2个图形中有4+3=7根火柴棒； 第3个图形中有4+3×2=10根火柴棒； … 第n个图形中火柴棒的根数有4+3×（n-1）=（3n+1）根火柴棒 当n=7时，3n+1=21+1=22 故选：B 【点睛】本题是对图形变化规律的考查，比较简单，观察出后一个图形比前一个图形多3根火柴棒是解题的关键． 27．（重庆江津）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： 第一个图中有6枚棋子，第二个图中有9枚棋子，第三个图中有12枚棋子，第四个图中有15枚棋子，…若第n个图中有2019枚棋子，则n的值是（ ）． A．670 B．671 C．672 D．673 【答案】C 【分析】仔细观察，可以发现，每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个，根据这一规律得出第n个图形中的棋子数与n的关系，然后代入数值解方程即可求解． 【详解】解：观察发现：每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个，所以第n个图形中的棋子数为3+3n， 由3+3n=2019得：n=672， 故选：C． 【点睛】本题考查探索图形的变化规律、解一元一次方程，解答的关键是发现第n个图形中棋子个数与n的关系． 28．（重庆九龙坡）如图，图形都是由形状、大小完全相同的“●”按一定规律所组成，其中图①共有6个黑点，图②共有9个黑点，图③共有12个黑点…，按此规律排列，则图⑦中黑点的个数为（　　） A．21 B．24 C．27 D．30 【答案】B 【分析】观察图形，找到图形中圆形个数的规律：第n个图形有3（n+1）个●，然后代入n＝7求解即可． 【详解】解：观察图形得： 第1个图形有3+3×1＝6个●， 第2个图形有3+3×2＝9个●， 第3个图形有3+3×3＝12个●， … 第n个图形有3+3n＝3（n+1）个●， 当n＝7时，3×（7+1）＝24， 即第7个图形中●的个数为24， 故选：B． 【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的读题并找到图形变化的规律，难度不大． 题型03：图形递推型 29．（江苏盐城·期末）观察下列一组图案，每个图案都是若干个“·”组成，其中图①中共有7个“·”，图②中共有13个“·”，图③中共有21个“·”，图④中共有31个“·”…，按此规律，图形⑩中的“·”个数是（    ） A．113 B．117 C．125 D．133 【答案】D 【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形个数的变化特点．找到图形的变化规律，利用规律求解即可． 【详解】解：图①中共有个“•”， 图②中共有个“•”， 图③中共有个“•”， 图④中共有个“•” …， 图形⑩中的“•”个数是， 故选：D． 30．（河南郑州·期中）依照图形变化的规律，则第2023个图形中黑色正方形的数量是（    ） A．2023 B．3033 C．3034 D．3035 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形规律变化类问题，解决这类问题的基本思路是：仔细地观察图形并正确地找到规律，利用所得的规律解决问题．根据图形找出规律：当n为偶数时，第n个图形中黑色正方形的数量为（）个；当n为奇数时，第n个图形中黑色正方形的数量为（）个；然后算出第2023个图形中黑色正方形的数量即可． 【详解】解：观察图形可得，当n为偶数时，第n个图形中黑色正方形的数量为（）个；当n为奇数时，第n个图形中黑色正方形的数量为（）个， ∴当时，黑色正方形的个数为：（个）． 故选D． 31．（福建厦门·期中）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸．按此规律，则第100个图中所贴剪纸“〇”的个数为（    ） A．305 B．302 C．203 D．202 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化类，观察图形，得出第个图中所贴剪纸“〇”的个数为是解此题的关键． 【详解】解：由图可得： 第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为：， 第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为：， 第3个图中所贴剪纸“〇”的个数为：， …， 第个图中所贴剪纸“〇”的个数为：， 第100个图中所贴剪纸“〇”的个数为：， 故选：B． 32．（湖北武汉·期中）一颗跳跳糖从开始按图中箭头所示方向作连续运动，第一次跳动至，第二次跳动至，第三次跳动至，第四次跳动至，第五次跳动至，…，依照此规律跳动下去，跳跳糖第77次跳动至的坐标是 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标规律探究．根据每一列的端点处的点的坐标，找出规律，求解即可．解题的关键是找出图中特殊点的坐标规律． 【详解】解：由图可知： ∴第列的端点处的点为，当为偶数时：，当为奇数时：， ∴，， ∴，即： 故选：A． 题型04 图形周期型 33．（河南郑州·期中）2024年沙特阿拉伯国庆节期间，中国无人机表演团队震撼全球，6000架无人机编队划破夜空，展示了中国“智造”实力．无人机表演并非简单的编程或灯光秀，而是涉及到多项技术的深度融合．这其中就包括了精准的定位技术．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，无人机按图中“”方向飞行，，，，…根据这个规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究，解题关键是仔细观察点的坐标变化及运动轨迹，发现以4个点为一组的规律，包括每组点坐标的变化特征以及每组最后一个点坐标的规律． 根据各个点的位置关系，可得点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上，且，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可． 【详解】解：∵，，，，，，，，，，，……， 由此发现：点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上， ∵， ∴点在第四象限的角平分线上， ∴点． 故选：C． 34．（江苏无锡·期中）如图1，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上字母m，n，p，q，如图2，先让圆周上表示m的点与数轴原点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示的点与圆周上重合的点对应的字母是（　　） A．m B．n C．p D．q 【答案】A 【分析】本题考查数轴、数轴规律等知识点，发现得到字母m，n，p，q为一个循环成为解题的关键． 根据题意可以得到字母m，n，p，q为一个循环，从而可以得到数轴上表示的点与圆周上重合的点对应的字母即可． 【详解】解：根据题意可以得到字母m，n，p，q为一个循环， 由题意可得与q对应，与p对应，与n对应，与m对应． 因为， 所以数轴上表示的点与圆周上重合的点对应的字母是m． 故选A． 35．（浙江·专题）在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从A点出发，沿着A→B→C→D→A…循环爬行，其中A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为，当蚂蚁爬了个单位时，它所处位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标规律探索问题，根据题意确定从A→B→C→D→A一圈的长度，即可求解． 【详解】∵A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为， ∴ ∴从A→B→C→D→A一圈的长度为 ∵， ∴当蚂蚁爬了个单位时，它所处位置在点A左边一个单位长度处，即． 故选：D． 36．（江苏南通·期中）如图，已知，按这样的规律，则点的坐标为(    )      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过分析可得，的横坐标的规律是 的纵坐标个一循环，，所以，分别求出的横坐标和纵坐标即可得到结果． 【详解】解：的横坐标为 的纵坐标每个一循环， 的横坐标为， 的纵坐标为， 故的纵坐标为， 故的坐标为,， 故选：B． 【点睛】本题考查了点的坐标规律，通过给定的规律求出点的横坐标和纵坐标，从而得到点的坐标． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$