17.3 一次函数-4.求一次函数的表达式-【初中必刷题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(华东师大版)

数 学 八年级下册 HS 1 2 第17章 函数及其图象 3 17.3 一次函数 4.求一次函数的表达式 4 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 基础 知识点1 正比例函数表达式的确定 1.【2024云南昆明期中】若某正比例函数图象经过点 ，则该正比例函数的 表达式为( ) D A. B. C. D. 【解析】设该正比例函数的表达式为，把点代入，得 ，解得 ， ，故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 2.已知与成正比例，且当时，，则当时， 的值为( ) B A.3 B. C.12 D. 【解析】设 当时，，，解得 ， ， 当时， .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 知识点2 一次函数表达式的确定 3. 传统文化【2024山东枣庄期中】漏刻是我国古代的一种计时工具，据史 书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应 用.小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水 位是时间的一次函数，下表是小明记录的部分数据，当时间 为10时， 对应的高度 为( ) … 0 1 2 3 … … 0.7 1.1 1.5 1.9 … D A.3.3 B.3.65 C.3.9 D.4.7 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 【解析】设水位与时间之间的关系式为.把 ， 和，代入得解得 水位与时间之间的关系式为.把 代入 中，得 .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 4.【2023陕西西安模拟】一次函数与一次函数， 为常数， 且的图象关于直线对称，与 的值分别是( ) C A.， B.， C.， D.， 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 【解析】 步骤 目标 结果 第一步 求直线 与坐标轴的交点 ， 第二步 求A,B两点关于直线 对称的点的坐标 ， 第三步 把，代入函数 第四步 解方程组，得到与 的值 故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 关键点拨 本题考查了一次函数图象与几何变换,根据点的对称规律求解一次函数的表达式是 解决此类题目的关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 5.【2023山东烟台期中】直线与直线 平行，直线 经过点，则 ____. 【解析】把点代入，得，解得 直线 与直线平行，解得.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 6.直线与轴交于点，与轴交于点.求直线 的表达式. 【解】设直线的表达式为 . 将， 代入，得 解得 直线的表达式为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 知识点3 一次函数的应用 7.【2023湖北武汉模拟】现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池 中的水匀速注入乙池，如图是甲、乙两个蓄水池中水的高度 （单位：米），（单位：米）随注水时间 （单位：时）变化的 图象.当甲、乙两个蓄水池中水的高度相同时，其相同的高度是 ( ) C A.2.4米 B.3米 C.3.2米 D.3.6米 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 【解析】设甲蓄水池中水的高度与注水时间 之间的函数表达式是 ，解得即 .设乙 蓄水池中水的高度与注水时间之间的函数表达式是 ， 解得即.令 ，则 ，解得，， 当甲、乙两个蓄水池中 水的高度相同时，其相同的高度是3.2米.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 关键点拨 甲、乙两个蓄水池中水的高度相同时,水的高度等于两个函数图象的交点的纵坐标. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 8.【2023广东广州中考】因活动需要购买某种水果，数学活动 小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用 （元）与该水果的质量 （千克）之间的关系如图所示；在乙 商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量 （千克）之 间的函数表达式为 . （1）求与 之间的函数表达式； 【解】当时，设，将代入，得 ， ，；当时，设，将， 代入，得 解得 . 综上， 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 （2）现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？ 【解】当时，，解得；当时， ， 解得， 选甲商店能购买该水果更多一些. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 刷易错 易错点 忽视对 的符号进行分类讨论而出错 9.已知一次函数，当自变量的取值范围是 时，对应的因变量 的取值范围是，那么 的值为_______. 5或10 【解析】时，由题意，得当时，，； 时， 由题意，得当时，， 的值为5或10. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 易错警示 当题中没有明确 的符号时，要进行分类讨论，解决这类问题时，可以画出一次函 数的大致图象. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 提升 1.［中］如图，在平面直角坐标系中，直线交 轴于 点，交轴于点，以点为圆心，长为半径画弧，交 轴的负 半轴于点，则直线 的表达式为( ) A A. B. C. D. 【解析】在中，令，得；令，得， 点A的坐 标为，点B的坐标为，，， 以点 A为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点C， ，则点C的 坐标为.设直线的表达式为.把， 代入，得 解得 直线的表达式为 .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 2. 跨学科综合【2023河南洛阳期中，中】如图，某物理兴趣 小组在研究光的镜面反射时，为了更加直观地显示光的反射规律， 把光的入射与反射路径画在了平面直角坐标系中，一束光线从点 出发，经轴上的点反射，沿射线 方向反射出去，则 反射光线 所在的直线的函数表达式是( ) A A. B. C. D. 【解析】令点关于直线的对称点为,则的坐标为.由题易得 在射线上.设反射光线所在的直线的函数表达式为 ,将 ,代入,得 解得 反射光线 所在的直线的函 数表达式为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 3.【2024湖北武汉期末，中】数学家欧拉于1765年在其著作《三角形的几何学》 中提出定理：三角形三边的垂直平分线的交点、三条中线的交点以及三条高线的 交点在一条直线上，这条线也被称为欧拉线.如图，已知 的三个顶点分别为 ，，，则 的欧拉线的表达式为( ) C A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 【解析】设,边上的中线为,,与交于点，则易得点D, 的坐标 分别为，.设直线的表达式为，则 解得 故直线的表达式为，① 同理可得直线 的表达式为 .② 联立①②并解得 故点的坐标为.设 三边的垂直平 分线的交点为，则 ， ，解得 , 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 ，.设的欧拉线的表达式为，将， 代 入可得 解得 则的欧拉线的表达式为 ，故 选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 关键点拨 理解欧拉线的定义是解本题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 4.【2023湖北武汉校级调研，较难】在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是 整数的点叫做整点，已知直线 与两坐标轴围成的三角形 区域（不含边界）中有且只有四个整点，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D.且 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 【解析】， 直线 过定点 .如图所示，当直线经过 时，直线 与两坐标轴围成的三角形 区域（不含边界）中有且只有四个整点，将 代入 得，解得 ;当直线经过 时，直线 与两坐标轴围成的三角形 区域（不含边界）中有且只有四个整点，将代入得 ， 解得;当直线经过时，直线 与两坐标轴围成的三角形 区域（不含边界）中有且只有三个整点，将代入得 ， 解得， 直线 与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界） 中有且只有四个整点时，的取值范围是且 .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 5.【2024四川成都期末，中】如图，直线过点，且与 轴交于点 ，点是轴上的一个动点，则 的周长的最小值是___________. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 【解析】将点代入直线，可得 ，解得 ， 该直线的表达式为.将点 代入直线 ，可得， ， .如图，作点关于 轴的对称点 ，连结交轴于点，连结，则.由轴对称的性质可得 ， 的周长为，此时 的周 长取最小值.， ， 的周长的最小值为.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 6.［难］如图（1），直线与轴交于点，与轴交于点，经过点 的直线，为常数，且与轴负半轴交于点 ，且 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 （1）求直线 的函数表达式； 【解】 直线与轴交于点，与轴交于点， , ，，， ， . （2）点是直线上一动点，当时，求点 的坐标； 【解】,，，, ， ， . 设,,，， 点 的坐标为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 （3）如图（2），其他条件不变，在平面内有一点，连结交轴于点 ， 连结，在平面内是否存在点，使得，且 ？ 若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 【解】存在，点的坐标为或.如图，延长交轴于 . ,， 易得所在直线的表达式为 . 当时，，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 又,，， . ,， 易得所在直线的表达式为 . 当时，，，， ， . 如图，当点在上方时，连结 . ， ， ， ， . ,， ， ,， ； 当点在下方时，， 点是的中点， .综 上所述，点的坐标为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 关键点拨 延长交于轴于.证明，进而得到 ，然 后再分点在上方和 下方进行讨论即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 37 $$