第2章 一元二次方程 全章综合训练-【初中必刷题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(浙教版)浙江专用

数 学 八年级下册 ZJ 1 2 第2章 一元二次方程 3 全章综合训练 4 刷中考 刷章测 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 中考 考点1 一元二次方程及其解法 1.【2024四川凉山州中考】若关于的一元二次方程 的 一个根是，则 的值为( ) A A.2 B. C.2或 D. 【解析】 关于的一元二次方程的一个根是 ， 且，解得 ，故选A. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 6 思路分析 根据一元二次方程根的定义及一元二次方程的定义可得且 ， 解出 的值即可. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 2.【2024安徽中考】解方程： . 【解】， ， ，， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 考点2 根的判别式 3.【2024河南中考】若关于的方程有两个相等的实数根，则 的 值为__. 【解析】 方程有两个相等的实数根， ， ，故答案为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.【2024四川南充中考】已知，是关于的方程 的 两个不相等的实数根. （1）求 的取值范围. 【解】 原方程有两个不相等的实数根， ，即 ，解得 . （2）若，且，，都是整数，求 的值. 【解】， 整数 的值为2，3，4. 当时，方程为，解得， ； 当 或4时，此时方程的解不为整数. 综上所述， 的值为2. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 考点3 根与系数的关系 5.【2024黑龙江绥化中考】小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时， 小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过 程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和 .则原来的方程是 ( ) B A. B. C. D. 【解析】设原来的方程为，由题知， ， ，所以， ，所以原来的方程为 ,故原来的方程可以为 .故选B 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 6.【2024四川内江中考】已知关于的一元二次方程为常数 有 两个不相等的实数根和 . （1）填空：___， ___； 1 【解】由根与系数的关系得，，故答案为 ，1. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 （2）求， ； 【解】，， 关于 的一元二次方 程为常数有两个不相等的实数根和， ， ，即 . （3）已知，求 的值. 【解】由根与系数的关系得， ， ，，解得， .当 时，；当时， 原方程有两 个不相等的实数根， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 思路分析 （3）把方程变形为，再把, 代入， 得，解得， ,再根据原方程有两个不相等的实数根 进行判断即可求解. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 考点4 一元二次方程的应用 7.【2024云南中考】两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进 步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为 ， 根据题意，下列方程正确的是( ) B A. B. C. D. 【解析】根据题意得 .故选B. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 8.【2023江苏淮安中考】为了便于劳动课程的开展，学校打算 建一个长方形生态园 （如图），生态园一面靠墙 （墙足够长），另外三面用 的篱笆围成.生态园的面积能 否为40平方米？如果能，请求出 的长；如果不能，请说明理 由. 【解】生态园的面积能为.理由如下： 四边形 是长方形， ，.设的长度为，则的长度为 .由题意得 ，整理得，解得，， 生态园的面 积能为，的长为或 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 章测 一、选择题（共28分） 1.【2024浙江金华质检】若关于的一元二次方程的两根为， ， 且，则 的值为( ) A A. B. C. D.6 【解析】 关于的一元二次方程的两根为， ， ，，，即，解得 .故 选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 2.【2023浙江温州调研】下列关于 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的 方程是( ) D A. B. C. D. 【解析】A选项， ,没有实数根;B选项， ,有两个相等的实数根;C选项， ,没有实数根;D选项， ,有两个不相等的实数根.故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 3.【2023浙江温州期中】如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑同样 宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米， 设小路的宽为 米，则下面所列方程正确的是( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意得 ，整理得 .故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 4.【2024浙江宁波期末】已知，是一元二次方程 的两个实数根， 则代数式 的值等于( ) D A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】，是一元二次方程的两个实数根， ， ， ， .故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 5.已知实数 ， 满足，，且 ，则 的值为( ) A A. B. C. D. 【解析】，，方程两边同时除以 ，可得 ，.又，, , 是方 程的两个实根，，， 原式 . 故选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21 另解 求出 后还可以将原式进行如下变形求值： 原式 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 22 6. 欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程 的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程 的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片 ，先折出,的中点,，再折出线段， ，然后 通过沿线段折叠使落在线段上，得到点的新位置 ， B A.线段 B.线段 C.线段 D.线段 并连结, ，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程 的一个正根，则这条线段是( ) 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 23 【解析】设，则.由题意可知，是 的中 点，，, . ， ， . 的解为， 其正根为, 这条线段是线段 . 故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 24 7.【2024浙江杭州西湖区期中】对于一元二次方程 ,下列 说法:①若,则;②若方程 有两个不相等的实 数根,则方程必有两个不相等的实数根;③若 是方程 的一个根,则一定有成立;④若 是一元二次方程 的根,则 .其中正确的是( ) B A.①② B.①②④ C.①②③④ D.①②③ 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 25 【解析】①若,则是方程的根, 该方程有实 数根，,故①正确; 方程 有两个不相等的实数根, ,,, 方程 必有两个不相 等的实数根,故②正确;是方程 的一个根, ,.若,等式仍然成立,但 不一定成立,故③不正确;④若是一元二次方程 的根, 或, 或 , ，故④正确.故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 26 二、填空题（共15分） 8.【2024浙江舟山期末】已知，是关于 的一元二次方程 的两个实数根，则 的最小值是___. 7 【解析】，是关于的一元二次方程 的两个实数 根，， ， ,, 的最小值为7.故答案为7. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 27 9.【2023浙江杭州模拟】小丽在解一个一元三次方程 时，发现有 如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为 .根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解： _ ________. 1或 【解析】由题意得 ， ，， ， ，，， ， 或，或.故答案为1或 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 28 10.如图，中， ，，，点 从点开始沿边向点以的速度移动，点从 点开始沿 边向点以的速度移动．如果,分别从, 同时出发， 那么经过___,的面积等于面积的 ． 3 【解析】设运动时间是.根据题意，知 ， 的面积等于面积的， ，即 ，，解得.故经过， 的面积等于 面积的 .故答案为3. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 29 三、解答题（共57分） 11.解方程： （1） ； 【解】，，， ， ，， . （2） . 【解】，， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 30 12.【2024浙江金华金东区期末】已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根. （1）求 的取值范围； 【解】 方程有两个不相等的实数根， ， . （2）设方程的两个实数根分别为，，若，求 的值. 【解】 方程的两个实数根分别为，， ， ， ， ，，解得或 （舍去）， 的值为0. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 31 13. 如图，在中， ，以点 为圆 心，的长为半径画弧，交线段于点，以点 为圆心， 长为半径画弧，交线段于点，设， ． （1）线段的长度是方程 的一个根吗？说明理由. 【解】是.理由如下： 在中， ，，, .方程 可变形为， . ，， 线段 的长度是方程 的一个根. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 32 （2）若线段，求 的值． 【解】，， ， ，，整理得 ， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 33 14. 【2023浙江宁波期末】杭州第19届亚运会吉祥物一开售，就深受大家的 喜爱.某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售. 经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件. （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； 【解】设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为 .根据题意得 ，解得， （不符合题意，舍去）. 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 34 （2）经调查，发现当售价为58元/件时，7月份的销售量与6月份的销售量相同， 该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件.当该款吉祥物每件售价为多少元 时，7月份的销售利润为8 400元？ 【解】设7月份该款吉祥物每件售价为元，则每件吉祥物的销售利润为 元，月销售量为 件.根据题意得 ，整理得，解得 ， （不符合题意，舍去）. 答：该款吉祥物每件售价为50元时，7月份的销售利润为8 400元. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 35 15.【2023江苏淮安期中】中， ，，动点 从点 出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，到达点 停止运动. 设运动时间为 秒. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 36 （1）如图（1），过点作，交于，若与 的面积和是 的面积的，求 的值； 【解】中， ，， ， 是等腰直角三角形， . ，,,，与 的面积和为 与的面积和是的面积的 ， ，解得， 的值为2或4. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 37 （2）如图（2），点在射线上，且，以线段 为边向上作正方形 .在运动过程中，若正方形与重叠部分的面积为8，求 的值. 【解】，， .分为三种情况：①如图（1），当 时，，解得， （不合题意， 舍去）;②如图（2），当 时， ，解得 （不合题意，舍 去），（不合题意，舍去）；③如图（3），当 时， ，解得， （不合题意，舍去）.综上， 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 38 的值为或 时，重叠部分的面积为8. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 思路分析 （1）先求出的面积，然后根据题意可得，， ,然后 再根据与的面积和是的面积的 ，列出方程求解即可； （2）分三种情况进行解答即可. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40 $$