第2章 选学2.4 一元二次方程根与系数的关系-【初中必刷题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(浙教版)浙江专用

数 学 八年级下册 ZJ 1 2 第2章 一元二次方程 3 选学2.4 一元二次方程根与系数的 关系 4 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 基础 知识点1 根与系数的关系 1.【2023天津中考】若,是方程 的两个根，则( ) A A. B. C. D. 【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系.方程 中， ,,,是方程 的两个根， ， ，故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 刷有所得 设，是一元二次方程 的两个实数根，则 ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 2.以方程 的两个根的和与积为两根且二次项系数为1的一元二次方 程是( ) B A. B. C. D. 【解析】设,是方程的两个根，则， .设以 ,为两根且二次项系数为1的一元二次方程为,则 ， ， 所求方程是 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 3.【2024广东佛山模拟】已知是方程 的一个根，则它的另 一根是_______. 【解析】设方程的另外一个根为 是方程 的一个根，，解得 ，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 4.【2024江苏南京玄武区模拟】设，是关于的方程 的两个根， 且，则 ____. 【解析】根据题意知，则.将其代入关于 的方程 ，得，解得.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 5.【2024浙江温州期中】已知 ， 是一元二次方程 的两根，则 的值等于_____. 【解析】根据根与系数的关系得， ，所以 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 知识点2 根与系数关系的应用 6.关于的一元二次方程的两根为， ，且 ，则 的值为( ) A A. B.3 C.3或 D. 或1 【解析】根据题意得，解得 .由一元二次方程根与系数 的关系得，， ，整理得 ，解得，（舍去），的值为 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 7.【2024浙江杭州质检】一元二次方程 根的情况是( ) D A.有两个相等的实根 B.有两个正根 C.有两个负根 D.有一个正根，一个负根 【解析】， 方程一定有两个不相等的实 数根.设方程的两个根为，，根据根与系数的关系得， 该方程的 两实数根一定异号，即方程有一个正根，一个负根.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 8.【2024浙江湖州期末】如果，是关于的一元二次方程 的两个 不相等的实数根，那么代数式 的值为( ) B A.2 021 B.2 032 C.2 022 D.2 030 【解析】，是一元二次方程 的两个不相等的实数根， ，，，， </m >故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 刷有所得 利用一元二次方程根与系数的关系求有关字母或代数式的值时，解题的关键是将 待求的代数式转化为用两根的和与积表示的形式. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 9.【2024浙江绍兴调研】已知关于的一元二次方程 . （1）求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根； 【证明】，其中，， ， ，， 无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根. （2）如果方程的两个实数根为，，且，求 的值. 【解】 方程的两个实数根为， ， ， ，即 ，.整理得 ， ，解得，的值为 或1. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 10.【2023浙江杭州西湖区期中】已知的两边，的长是关于 的一元二 次方程的两个根，第三边的长是10.当 为何值 时，为等腰三角形？并求出此时 的周长. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 【解】, 无论 取何值，此方程总有两个不 相等的实数根. 第三边的长是10， 当为等腰三角形时， 为一 元二次方程的一个根，令，，解得 或 10. ①当时，方程变为，设等腰三角形的底为 ，根据根 与系数的关系得，，的周长为 . ②当时，方程变为，设等腰三角形的底为 ，根据根与 系数的关系得，解得，的周长为 . 综上，当时，是等腰三角形，此时的周长为32；当 时，是等腰三角形，此时 的周长为28. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 提升 1.【2023浙江杭州西湖区期中，中】若,是方程 的两实数根， 则 的值为( ) A A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】是方程的根，, , ,是方程 的两实数根，, .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 2.【2024广东江门模拟,中】定义：如果一元二次方程 满 足 ，那么我们就称这个方程为“凤凰”方程.若一个“凤凰”方程的 其中一个根为2，则与这个“凤凰”方程的解完全相同的方程是( ) A A. B. C. D. 【解析】 一元二次方程满足， 该方程有 一根为1， 这个“凤凰”方程的两根分别为1和2， ， .检验各项，只有选项A符合题意，故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 3.【2024江苏南京鼓楼区模拟,中】若关于的方程 的两 根之和为，两根之积为，则关于的方程 的两根之 积是( ) A A. B. C. D. 【解析】设关于的方程的两根分别为， 关于 的方程的两根之和为，两根之积为， ， ，， ，化简得 ， ，② 将①代入②,整理可得， ，故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 4.【2024浙江金华模拟,中】已知实数，满足 ， ，且，则 的值为( ) C A. B. C. D. 【解析】由易得，故在该方程两侧同时除以 得 .又，且，， 为方 程的两个不相等的实数根，， ，整理 得，， ，故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 22 刷有所得 常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程 的两个根.②已知方程及方程的一个根，求另一个根及字母的值.③不解方程求关于 根的式子的值，如求 等.④判断两根的符号.⑤已知关于根的条件，求符合的 新方程.⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值.这类问题比较综合，解题时 除了利用根与系数的关系，同时还要考虑， 这两个前提条件. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 23 5.【2023河南洛阳涧西区期中，中】若关于的方程 有两个实数根，，则 的最小值为__. 【解析】根据题意得，解得. 关于 的方程 有两个实数根,, ， ，，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 24 6.【2023浙江温州期末，中】设关于的方程 的两个实数根分 别为 ， ，若，那么实数 的取值是___. 9 【解析】 关于的方程的两个实数根分别为 ， ， ，.又， ， 异号，即 .由 ,得 .又 , ， ，，解得 ，故答案为9. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 25 7.［中］若实数满足，则 ___． 7 【解析】， ， , , ,或, 或 ,或, （不合题意，舍去） 或 .故答案为7. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 26 8.【四川内江中考，较难】已知,是关于的方程 的两实数 根，且，则 的值为___. 2 【解析】,是关于的方程的两实数根， ， ， ， ， ， ，解得或.当时，关于 的方程为 ，，符合题意；当时，关于 的方程为 ， ，方程无实数根，不符合题意, .故答案为2. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 27 刷素养 走向重高 9.核心素养 推理能力【四川凉山州中考，较难】阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为， ，则 ， ． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为， ，求 的值． 解： 一元二次方程的两个实数根分别为，， ， ，则 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 28 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 __， _____． . 【解】 一元二次方程的两个根为， ， ，.故答案为， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 29 （2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为,，求 的值． 【解】 一元二次方程的两根分别为,， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 30 （3）思维拓展：已知实数,满足，，且 ， 求 的值． 【解】 实数,满足，，,， 可以看成 是方程的两个实数根，， ， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 31 $$