第06讲 矩形、菱形、正方形.（9个知识清单+14类热点题型讲练+分层练习）- 2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（苏科版）

第06讲 矩形、菱形、正方形 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01矩形性质理解...................................................................................................................................................................5 题型02利用矩形的性质求角度...................................................................................................................................................7 题型03根据矩形的性质求线段长...............................................................................................................................................10 题型04根据矩形的性质求面积...................................................................................................................................................13 题型05利用矩形的性质证明.......................................................................................................................................................17 题型06求矩形在坐标系中的坐标...............................................................................................................................................20 题型07利用菱形的性质求角度..................................................................................................................................................26 题型08利用菱形的性质求线段长..............................................................................................................................................29 题型09利用菱形的性质证明......................................................................................................................................................33 题型10添一个条件使四边形是菱形...........................................................................................................................................37 题型11根据正方形的性质求角度...............................................................................................................................................41 题型12根据正方形的性质求线段长..........................................................................................................................................45 题型13根据正方形的性质证明...................................................................................................................................................49 题型14（特殊）平行四边形的动点问题....................................................................................................................................56 分层练习........................................................................................................................................................................................60 夯实基础.........................................................................................................................................................................................60 能力提升........................................................................................................................................................................................82 知识点1．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 知识点2．矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 知识点3．矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 知识点4．菱形的性质 （1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （2）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （3）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） 知识点5．菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 知识点6．菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． 知识点7．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 知识点8．正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 知识点9．正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 题型01矩形性质理解 1．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等   D．四个角都是直角 2．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）“矩形的对角线相等”是 事件．（填“必然”、“随机”、“不可能”） 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，四边形是矩形，，交的延长线于点，，交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形． 题型02利用矩形的性质求角度 4．（22-23八年级下·江苏常州·期中）将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．如图所示，若，那么的值是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，矩形中，点E在的延长线上，且，，则 °.    6．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知：如图，的对角线、相交于点O，E、F是上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若四边形是矩形，，求的度数． 题型03根据矩形的性质求线段长 7．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿运动至点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的周长是（   ） A．16 B．18 C．20 D．26 8．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，点E在上，．若平分，则的长为 ． 9．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，矩形中，点E，F分别在的延长线和的延长线上，且． (1)仅用没有刻度的直尺画出的中点O（保留画图痕迹并证明）； (2)已知，，当的长为______时，四边形是菱形． 题型04根据矩形的性质求面积 10．（21-22八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，矩形中，，对角线、相交于点O，点P是线段上任意一点，且于点E，于点F，则等于（　　） A．6 B．5 C． D． 11．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形中，，，点E、F、G、H分别在、 、、上，且，．点P为矩形内一点，四边形、四边形的面积分别记为、，则 ． 12．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在菱形中，对角线，相交于点O．过点A作，过点D作交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 题型05利用矩形的性质证明 13．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）如图，长方形中，，点E是一个动点，且的面积始终等于长方形面积的四分之一．若的最小值为10，则的面积是（    ）． A．10 B．12 C．14 D．16 14．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是 （写出一个条件即可）． 15．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，四边形是矩形，点、分别在边、上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，当________时，四边形是菱形． 题型06求矩形在坐标系中的坐标 16．（八年级·江苏徐州·期末）将矩形OABC如图放置，O为原点，若点A的坐标是（﹣1，2），点B的坐标是（2，），则点C的坐标是（　　）    A．（4，2） B．（2，4） C．（，3） D．（3，） 17．（20-21八年级下·江苏扬州·期中）将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是 ． 18．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，边．    (1)求C点的坐标； (2)把矩形沿直线对折使点落在点处，直线与、、的交点分别为D、F、E，求折痕的长； (3)在（2）的条件下，若点M在x轴上，平面内是否存在点N，使四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型07利用菱形的性质求角度 19．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，菱形的对角线，交于点O，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 20．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在菱形中，，连接，在的延长线上有点，且，连接，则的度数是 ． 21．（22-23八年级下·江苏淮安·期中）如图，在菱形中，于点，于点．，求的度数．    题型08利用菱形的性质求线段长 22．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）如图，在坐标系中放置一菱形，已知，点在轴上，．将菱形沿轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转次，点的落点依次为，，，…，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 23．（22-23八年级下·江苏常州·阶段练习）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为 ． 24．（21-22八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． (1)求证：是菱形； (2)若，，求的长． 题型09利用菱形的性质证明 25．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．有一个角是直角 26．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，，交于点，过四边形的顶点作，且，线段交于点，交于点，若三点共线，则以下说法：四边形为菱形；；；，正确的有 ． 27．（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在菱形中的对角线、相交于点O，，．求证：四边形是矩形． 题型10添一个条件使四边形是菱形 28．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）下列条件中，能使平行四边形成为菱形的是（    ） A． B． C． D． 29．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图所示，在中，于点分别是边的中点，连接，当满足条件 时，四边形是菱形．（填一个你认为恰当的条件即可） 30．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，延长交于点．连接、．    (1)四边形是怎样的特殊四边形？证明你的结论； (2)若长为2，则的长为 　 　时，四边形为菱形． 题型11根据正方形的性质求角度 31．（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，四边形是正方形，延长到点，使，连结，则的度数是（    ） A． B． C．40 D． 32．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）以正方形的为边，作等边，则 ． 33．（22-23八年级下·江苏淮安·期中）如图，四边形是正方形，，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的大小． 题型12根据正方形的性质求线段长 34．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，已知正方形，M为对角线上一动点，过点M作，，垂直分别为点E、F，连接、、．要求阴影部分的面积，只需知道线段（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 35．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，已知直线，且相邻两条平行直线间的距离都是d，如果正方形的四个顶点分别在四条直线上，且面积是5，则 36．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，E是正方形边 延长线上的一点，且，连接交于 F． (1)求 的度数： (2)若，求正方形的周长． 题型13根据正方形的性质与判定证明 37．（21-22八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，矩形纸片中，，现将其沿对折，使得点落在边上的点处，折痕与边交于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 38．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，，，E是中点，且，则线段的长度是 ． 39．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，四边形是边长为4的正方形，点P为射线上的一个动点，延长到点E，使，连接，以为边作平行四边形，直线和直线相交于点M． (1)如图1，点P在边上，判断四边形的形状，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若点P为的中点，求点F到边的距离； (3)若，求的长． 题型14（特殊）平行四边形的动点问题 40．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动．点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动．两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动），设运动时间为秒．当时，运动时间t为何值时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形（    ）    A． B．8 C．4或 D．或8 41．（20-21八年级下·江苏南京·期末）在四边形ABCD中，，M是BC上一点，且，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 42．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形成为矩形？ (2)当t为何值时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？ (3)四边形是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求点Q的速度． 夯实基础 一、单选题 1．已知，如图，大正方形的边长是，小正方形的边长是，阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 2．如图，以正方形的边为边向正方形外作等边，与交于点F，则的度数是（   ） A．105° B．120° C．135° D．150° 3．在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出两组对角分别相等，然后小亮测量出______，最后得到结论：地板瓷砖是菱形．则横线处应填（    ） A．两组对边分别相等 B．一组邻边相等 C．两条对角线相等 D．一组邻角相等 4．如图，用平移法说明平行四边形的面积公式时， 若平移到，，，则的平移距离为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 5．如图，在正方形中，点在对角线上，连接，于点，交于点，连接，已知，，则的面积为（    ） A．4 B．5 C．10 D． 6．如图，正方形中，，则 （    ） A． B． C． D． 7．如图，在正方形中，，延长到点，使，连接，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动．设点的运动时间为秒.当和全等时，的值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．3或7 8．如图，在菱形中，，对角线、相交于点，是对角线上的一动点，且于点，于点．由以下结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（     ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为 °． 10．如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，菱形的顶点C在x轴正半轴上，，点B的纵坐标为1，则点A的坐标是 ． 11．如图，在菱形中，，，分别在边，上，，将沿折叠，点落在的延长线上的点处，则的度数为 ． 12．如图所示，BD为矩形ABCD的一条对角线，延长BC至点E，使CE=BD，连结AE，若AB=1，∠AEB=15°，则AD的长度为 ． 13．如图，四边形ABCD是平行四边形，点M，N分别在AB，AD上，且AM＝AN，BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB，点F，G分别在BC，CD上，MG与NF相交于点E，则图中的菱形共有 个． 14．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，AB上一点，且EF＝EC，，若DE＝2，矩形ABCD的周长为24，则矩形ABCD的面积为 ． 三、解答题 15．求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 16．剪两个全等的等腰三角形（三边不全相等）纸片，拼成一个平行四边形．有几种拼法？拼出的平行四边形都是菱形吗？如果不都是菱形，怎样拼才是菱形？说明拼法，并画出示意图． 17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，OE＝OF． （1）求证：AECF； （2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积． 18．如图，已知：矩形ABCD和关于点A对称.   求证：四边形是菱形.   19．如图，在中，过点A作于点E，于点F，且． (1)求证：是菱形． (2)若，求平行四边形的面积． 20．为了研究特殊四边形之间的关系，老师制作了一个教具（如图①），用钉子将四根木条钉成一个正方形框架，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条，左手向右推动框架得到四边形（如图②）． (1)这个过程说明四边形具有某种特性．下列生活中的情形也应用了这个性质的是______； a．伸缩门可以自由开合    b．千斤顶可以顶起重物 c．木门对角线上固定木条 (2)如图②，已知正方形的边长为，连接，． ①四边形是______；四边形一定是______（填特殊四边形）； ②若正方形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，则，，之间关系满足______（填“”“”或“”）； ③若，则______，四边形的面积为______； (3)如图③，过点作且，连接．求证：四边形是矩形． 能力提升 一、单选题 21．已知菱形的周长为，一条对角线长为，则菱形四个角的度数分别为(　　) A．30°，150°，30°，150° B．60°，120°，60°，120° C．45°，135°，45°，135° D．以上都不对 22．如图，一块长方形场地 的长 与宽 的比是 ： ， ， ，垂足分别是 、 两点．现计划在四边形 区域种植花草，则四边形与长方形的面积比等于（    ）    A．1：3 B．2：3 C．1：2 D．1：4 二、填空题 23．如图，在中，，直线垂直平分，把线段绕点顺时针旋转，使点落在直线上的点处，联结、，线段、交于点，如果，那么 度． 24．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE、AF、EF，∠EAF=45°，BE=3，CF=4，则正方形的边长为 ． 三、解答题 25．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF． (1) 求证：CF＝AD； (2) 若CA＝CB，∠ACB＝90°，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由． 26．如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F （1）求证：EO=FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 矩形、菱形、正方形 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01矩形性质理解...................................................................................................................................................................5 题型02利用矩形的性质求角度...................................................................................................................................................7 题型03根据矩形的性质求线段长...............................................................................................................................................10 题型04根据矩形的性质求面积...................................................................................................................................................13 题型05利用矩形的性质证明.......................................................................................................................................................17 题型06求矩形在坐标系中的坐标...............................................................................................................................................20 题型07利用菱形的性质求角度..................................................................................................................................................26 题型08利用菱形的性质求线段长..............................................................................................................................................29 题型09利用菱形的性质证明......................................................................................................................................................33 题型10添一个条件使四边形是菱形...........................................................................................................................................37 题型11根据正方形的性质求角度...............................................................................................................................................41 题型12根据正方形的性质求线段长..........................................................................................................................................45 题型13根据正方形的性质证明...................................................................................................................................................49 题型14（特殊）平行四边形的动点问题....................................................................................................................................56 分层练习........................................................................................................................................................................................60 夯实基础.........................................................................................................................................................................................60 能力提升........................................................................................................................................................................................82 知识点1．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 知识点2．矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 知识点3．矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 知识点4．菱形的性质 （1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （2）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （3）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） 知识点5．菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 知识点6．菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． 知识点7．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 知识点8．正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 知识点9．正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 题型01矩形性质理解 1．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等   D．四个角都是直角 【答案】A 【知识点】矩形性质理解、正方形性质理解 【分析】本题主要考查了矩形、正方形的性质，熟知矩形、正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：矩形具有的性质为对角线互相平分，对角线相等，四个角都是直角， 正方形具有的性质为对角线互相平分且垂直，对角线相等，四个角都是直角， 故选：A． 2．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）“矩形的对角线相等”是 事件．（填“必然”、“随机”、“不可能”） 【答案】必然 【知识点】矩形性质理解、事件的分类 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．本题也考查了矩形的性质．根据事件的分类和矩形的性质判断即可． 【详解】解：矩形的对角线相等，故“矩形的对角线相等”是必然事件． 故答案为：必然 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，四边形是矩形，，交的延长线于点，，交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【知识点】利用平行四边形的性质证明、矩形性质理解、证明四边形是菱形 【分析】本题考查菱形的判定，矩形的性质，平行四边形的判定与性质．根据题意先证四边形是平行四边形，再由即可． 【详解】证明：四边形是矩形 , 四边形，四边形都是平行四边形 四边形是平行四边形 四边形是菱形． 题型02利用矩形的性质求角度 4．（22-23八年级下·江苏常州·期中）将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．如图所示，若，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用矩形的性质求角度、根据旋转的性质求解 【分析】由性质性质得，，，由四边形内角和性质得，可得，进而可得答案． 【详解】解：如图,∵四边形为矩形, ∴， ∵矩形绕点顺时针旋转得到矩形, ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 5．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，矩形中，点E在的延长线上，且，，则 °.    【答案】54 【知识点】等边对等角、利用矩形的性质求角度 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，连接，根据矩形的性质得出，即可求出，进而可求出，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 【详解】解：连接，交于点O，如图，   四边形矩形， ，，， ， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：54． 6．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知：如图，的对角线、相交于点O，E、F是上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若四边形是矩形，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、利用矩形的性质求角度 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的性质，熟记特殊四边形的性质是解本题的关键； （1）先证明，，再证明，从而可得结论； （2）证明，再进一步利用等腰三角形的性质与内角和定理可得答案． 【详解】（1）证明：在中， ，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． （2）∵四边形是矩形 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 题型03根据矩形的性质求线段长 7．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿运动至点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的周长是（   ） A．16 B．18 C．20 D．26 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查动点的函数图象，根据点在上运动时，的面积逐渐增大，点在上运动时，的面积保持不变，结合图象得到，即可得出结果． 【详解】解：当点在上运动时， 的面积，随着的增大而增大， 当点在上运动时，的面积为定值，保持不变， 由图象可知：， ∴矩形的周长是； 故选B． 8．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，点E在上，．若平分，则的长为 ． 【答案】5 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，由矩形的性质可得，由角平分线和平行线的性质可证，由勾股定理可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 9．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，矩形中，点E，F分别在的延长线和的延长线上，且． (1)仅用没有刻度的直尺画出的中点O（保留画图痕迹并证明）； (2)已知，，当的长为______时，四边形是菱形． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）如图，连接交于，则为的中点；再由矩形的性质得到，，继而，即可得证； （2）当四边形是菱形时，得到，由四边形是矩形，得，由勾股定理可得，求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接交于，则为的中点； 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是平行四边形； ∴， ∴为的中点； （2）解：若四边形是菱形， ， ∵四边形是矩形， ∴ ， ， ， 当的长为时，四边形是菱形， 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质，勾股定理，菱形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型04根据矩形的性质求面积 10．（21-22八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，矩形中，，对角线、相交于点O，点P是线段上任意一点，且于点E，于点F，则等于（　　） A．6 B．5 C． D． 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据矩形的性质求面积 【分析】连接，利用矩形的性质和勾股定理求出的长，然后由求得答案． 【详解】解：连接， ∵矩形中，， ∴， ， ∴，， ∵， 即：， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 11．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形中，，，点E、F、G、H分别在、 、、上，且，．点P为矩形内一点，四边形、四边形的面积分别记为、，则 ． 【答案】21 【知识点】根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查矩形的性质，过作并延长交于T，过作并延长交于N，结合矩形的性质及三角形面积加减关系求解即可得到答案． 【详解】过作并延长交于T，过作并延长交于N，连接，，，， ∵四边形是矩形，，，，， ∴，，，，， ， ∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：21． 12．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在菱形中，对角线，相交于点O．过点A作，过点D作交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求面积、证明四边形是矩形、利用菱形的性质证明 【分析】 本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的判定，利用矩形的性质求面积，熟练掌握平行四边形及菱形的判定是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，然后根据菱形的性质证明，再利用矩形的判定证明即可； （2）先证明是等边三角形，再计算，的长，最后计算矩形的面积即可． 【详解】（1），， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， 四边形是矩形； （2）四边形是菱形， ，，，， 是等边三角形， ， ， ， 由（1）得四边形是矩形； 矩形的面积 题型05利用矩形的性质证明 13．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）如图，长方形中，，点E是一个动点，且的面积始终等于长方形面积的四分之一．若的最小值为10，则的面积是（    ）． A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【知识点】两点之间线段最短、作已知线段的垂直平分线、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明 【分析】本题根据的面积始终等于长方形面积的四分之一，得到点在的垂直平分线上运动，连接，，，根据垂直平分线性质和两点之间，线段最短，得到，利用勾股定理算出，即可解题． 【详解】解：的面积始终等于长方形面积的四分之一， 记点到的高为，又， ， 有，整理得，即点在的垂直平分线上运动， 连接，，， 点在的垂直平分线上运动， ，， 要最小，即最小， 当、、三点共线时，取得最小值为的长， 的最小值为10，即， ， 的面积是． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、垂直平分线性质、两点之间，线段最短、熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题． 14．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是 （写出一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】利用矩形的性质证明、添一个条件使四边形是正方形 【分析】此题主要考查了正方形的判定定理，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 根据正方形的判定定理即可得出结论． 【详解】四边形是矩形， 添加一个条件：， 四边形是正方形， 故答案为：（答案不唯一）． 15．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，四边形是矩形，点、分别在边、上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，当________时，四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)3 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、利用矩形的性质证明、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定： （1）证明，得到，进而得到，即可得出结论； （2）根据菱形的性质结合矩形的性质和勾股定理，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）由（1）知：四边形是平行四边形； ∴当时，四边形是菱形， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴，即：当时，四边形是菱形． 题型06求矩形在坐标系中的坐标 16．（八年级·江苏徐州·期末）将矩形OABC如图放置，O为原点，若点A的坐标是（﹣1，2），点B的坐标是（2，），则点C的坐标是（　　）    A．（4，2） B．（2，4） C．（，3） D．（3，） 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出CM＝，MO＝3，进而得出答案． 【详解】解：如图：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N， 过点C作CM⊥x轴于点M，    ∵∠EAO+∠AOE＝90°，∠AOE+∠MOC＝90°， ∴∠EAO＝∠COM， 又∵∠AEO＝∠CMO， ∴∠AEO∽△COM， ∴， ∵∠BAN+∠OAN＝90°，∠EAO+∠OAN＝90°， ∴∠BAN＝∠EAO＝∠COM， 在△ABN和△OCM中 ∴△ABN≌△OCM（AAS）， ∴BN＝CM， ∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是， ∴BN＝， ∴CM＝， ∴MO＝3， ∴点C的坐标是：（3，）． 故选D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识，正确得出CM的长是解题关键． 17．（20-21八年级下·江苏扬州·期中）将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是 ． 【答案】（8，10） 【知识点】 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥AH于G，根据矩形的性质得到HG=BE，∠EBG=90°，AB=CD，∠ABC=90°，求得∠ABG=∠EBC，根据全等三角形的性质得到AG=DF，BG=CF，于是得到结论． 【详解】解：过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥AH于G， 则四边形BEHG是矩形， ∴HG=BE，∠EBG=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠ABC=90°， ∴∠ABG=∠EBC， ∵∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠DCF=90°， ∴∠ABG=∠DCF， ∵在△ABG与△DCF中， ， ∴△ABG≌△DCF（AAS）， ∴AG=DF，BG=CF， ∵点B的坐标是（-4，6），点C的坐标是（-2，0），点D的坐标是（10，4）， ∴BE=6，OC=2，OF=10，DF=4， ∴CF=12， ∴AH=AG+GH=6+4=10，OH=10-2=8， ∴A（8，10）， 故答案为：（8，10）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 18．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，边．    (1)求C点的坐标； (2)把矩形沿直线对折使点落在点处，直线与、、的交点分别为D、F、E，求折痕的长； (3)在（2）的条件下，若点M在x轴上，平面内是否存在点N，使四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【知识点】用勾股定理解三角形、 求矩形在坐标系中的坐标、矩形与折叠问题、添一个条件使四边形是菱形 【分析】（1）由四边形为矩形，得到为直角，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，即可确定出的坐标； （2）连接，如图1所示，由折叠的性质设，由表示出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出的长，由中心对称性质得到为中点，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，即可求出的长； （3）在（2）的条件下，若点在轴上，平面内存在点，使四边形是菱形，如图2所示，分两种情况考虑：当与在直线右边时；当与在直线左边时，分别利用菱形的四条边相等求出的坐标即可． 【详解】（1）解：四边形为矩形， ， 在中，，， 根据勾股定理得：， 则； （2）解：连接，如图1所示，    由折叠的性质设，则， 在中，，，， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ，， 由中心对称性质得到关于对称，即， 在中，由勾股定理得：， 则； （3）解：在（2）的条件下，若点在轴上，平面内存在点，使四边形是菱形， 如图2所示，分两种情况考虑： 当为菱形的一边时， ①当与在直线右边时， 四边形是菱形，， ， ，即，； ②当与在直线左边时， 同理得到， ，此时； 综上，使四边形是菱形时的坐标为或．    【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：折叠的性质，坐标与图形性质，勾股定理，矩形的性质，菱形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握性质是解本题的关键． 题型07利用菱形的性质求角度 19．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，菱形的对角线，交于点O，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】根据菱形的对角线互相垂直的性质，直角三角形的性质计算求解即可． 本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形的对角线，交于点O， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选C． 20．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在菱形中，，连接，在的延长线上有点，且，连接，则的度数是 ． 【答案】/35度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查菱形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质和三角形外角的性质．由菱形性质求得即可求出．根据等边对等角即得出．最后根据三角形外角性质得出，即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 21．（22-23八年级下·江苏淮安·期中）如图，在菱形中，于点，于点．，求的度数．    【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用菱形的性质求角度 【分析】根据菱形性质可知，，同理可知，根据于点，于点，可知，从而得到． 【详解】解：在菱形中，， ，， 于点，于点， ， 在和中，， ． 【点睛】本题考查菱形中求角度，熟记菱形性质、三角形内角和定理是解决问题的关键． 题型08利用菱形的性质求线段长 22．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）如图，在坐标系中放置一菱形，已知，点在轴上，．将菱形沿轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转次，点的落点依次为，，，…，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键； 发现“每翻转次，图形向右平移”是解决本题的关键．连接，根据条件可以求出，画出第次、第次、第次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转次，图形向右平移．由于，因此点向右平移 (即)到点，根据点的坐标即可求解． 【详解】解：连接，如图所示． 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 画出第次、第次、第次翻转后的图形，如图所示； 由图可知：每翻转次，图形向右平移； ， 点向右平移 (即)到点， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为； 故选：C 23．（22-23八年级下·江苏常州·阶段练习）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为 ． 【答案】6 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，先根据菱形的面积等于对角线乘积除以2求出，再根据直角三角形的性质得出答案. 【详解】∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 即， 解得． 在中，点O是的中点， ∴． 故答案为：6． 24．（21-22八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． (1)求证：是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质与判定求线段长、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）先证四边形是平行四边形．再证平行四边形是矩形，则，得，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）证是等边三角形，得，再由勾股定理得，然后由矩形的在得，，即可解决问题． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形， ， ， 是菱形； （2）解：四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形是矩形， ，， ， 即的长为． 题型09利用菱形的性质证明 25．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．有一个角是直角 【答案】A 【知识点】矩形性质理解、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有，故可得出答案，熟练掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 【详解】、菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，符合题意； 、菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，不符合题意； 、菱形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分，不符合题意； 、矩形有一个角是直角，不符合题意； 故选：． 26．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，，交于点，过四边形的顶点作，且，线段交于点，交于点，若三点共线，则以下说法：四边形为菱形；；；，正确的有 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，余角性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，勾股定理；由，得垂直平分，即得到，可判断；根据菱形的两种面积计算方法可判断；利用余角性质可判断；连接，在上取一点，使得，连接，证明得到，再证明得到，设，则，，可得，，即可判断；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故正确； ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； 连接，在上取一点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴，故错误； ∴正确的有， 故答案为：． 27．（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在菱形中的对角线、相交于点O，，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形、利用菱形的性质证明 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定和性质，先根据，，得出四边形是平行四边形，证明，根据菱形性质得出，证明四边形是平行四边形，根据，即可证明结论． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形 ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． 题型10添一个条件使四边形是菱形 28．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）下列条件中，能使平行四边形成为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，注意：菱形的判定定理有①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．根据菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质逐个进行证明，再进行判断即可． 【详解】解：A、平行四边形中，，可利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定平行四边形是菱形，故本选项正确； B、平行四边形中，，可证明平行四边形是矩形，不能判定平行四边形是菱形，故本选项错误； C、平行四边形中，本来就有，不能判定平行四边形是菱形，故本选项错误； D、平行四边形中，∵，， ∴， ∴平行四边形是矩形，不能判定平行四边形是菱形，故本选项错误． 故选：A． 29．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图所示，在中，于点分别是边的中点，连接，当满足条件 时，四边形是菱形．（填一个你认为恰当的条件即可） 【答案】（或） 【知识点】等腰三角形的性质和判定、添一个条件使四边形是菱形 【分析】解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论． 可根据等腰三角形的性质、菱形的判定，分析得出当满足条件AB=AC或时，四边形是菱形． 【详解】解：要使四边形是菱形，则应有， ∵，分别为，的中点 ∴，， ∴， ∴应是等腰三角形， ∴应添加条件：或 则当△ABC满足条件或时，四边形AEDF是菱形． 故答案为：（或）． 30．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，延长交于点．连接、．    (1)四边形是怎样的特殊四边形？证明你的结论； (2)若长为2，则的长为 　 　时，四边形为菱形． 【答案】(1)四边形是平行四边形，证明见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、添一个条件使四边形是菱形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）依据题意可得到，，，利用平行线的性质可证明，然后依据证明，由全等三角形的性质可知，由旋转的性质可得到，从而可证明，最后依据平行四边形的判定定理进行证明即可； （2）连接．可证明为等边三角形，则，利用直角三角形的性质可得到答案． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形． 证明：四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ，， 在和中， ， ， ， 矩形由矩形旋转得到， ，， 四边形为平行四边形； （2）当时，四边形是菱形， 连接．   四边形为菱形， ． 由旋转的性质可知． ． 为等边三角形． ． ． ． 又， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定、平行四边形的判定、矩形的性质、菱形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质和判定定理是解题的关键． 题型11根据正方形的性质求角度 31．（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，四边形是正方形，延长到点，使，连结，则的度数是（    ） A． B． C．40 D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、根据正方形的性质求角度 【分析】本题主要考查正方形的性质及等腰三角形，关键是根据正方形的性质得到角的大小，然后根据等腰三角形的性质进行求解即可．根据正方形的性质及等腰三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ． 故选B． 32．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）以正方形的为边，作等边，则 ． 【答案】75或15 【知识点】等边三角形的性质、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质，分类讨论：当点在正方形外侧时和当点在正方形内侧时，根据等边三角形的性质及正方形的性质，求得的度数，即可求解，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：当点在正方形外侧时，如图： 四边形是正方形， ，， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ， 当点在正方形内侧时，如图： 四边形是正方形， ，， ∵是等边三角形， ，， ， ， ， 综上所述，或， 故答案为：75或15． 33．（22-23八年级下·江苏淮安·期中）如图，四边形是正方形，，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用来求证． （2）利用角的关系求出和，求得结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴． 题型12根据正方形的性质求线段长 34．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，已知正方形，M为对角线上一动点，过点M作，，垂直分别为点E、F，连接、、．要求阴影部分的面积，只需知道线段（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，整式乘法的应用， 首先证明出，是等腰直角三角形，四边形是矩形，设，，然后利用阴影部分的面积，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴， ∵，，垂直分别为点E、F， ∴，是等腰直角三角形，四边形是矩形 ∴，， ∴设， ∴， ∴阴影部分的面积 ． ∴要求阴影部分的面积，只需知道线段的长． 故选：C． 35．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，已知直线，且相邻两条平行直线间的距离都是d，如果正方形的四个顶点分别在四条直线上，且面积是5，则 【答案】1 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键．过点作直线与平行线垂直，与交于点，与交于点．易证，可得，，在中，结合正方形的面积公式构建方程即可解决问题． 【详解】作，交于点，交于点． ∵，， ，， 即． ， 四边形为正方形， ，， ． ， 在和中， ， ， ． ∵正方形的四个顶点分别在四条直线上，且面积是5， ∴ 在中，，，     ， （负值已舍）． 故答案为：1． 36．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，E是正方形边 延长线上的一点，且，连接交于 F． (1)求 的度数： (2)若，求正方形的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的证明、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质求线段长 【分析】（1）根据正方形的性质求得，再根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的内角和定理求解即可； （2）过点F作于点G，由（1）可得，平分，根据角平分线的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，利用勾股定理求得，进而求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点F作于点G， ∵四边形是正方形， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴平分， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的周长为． 【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 题型13根据正方形的性质与判定证明 37．（21-22八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，矩形纸片中，，现将其沿对折，使得点落在边上的点处，折痕与边交于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】矩形与折叠问题、根据正方形的性质与判定证明 【分析】根据翻折的性质可得，，然后求出四边形是正方形，再根据正方形的性质可得，然后根据，代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：沿对折点B落在边上的点处， ，， 又， 四边形是正方形， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形是正方形是解题的关键． 38．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，，，E是中点，且，则线段的长度是 ． 【答案】/ 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明 【分析】过点B作，交于点H，则，过点B作，交延长线于点G，则，证明四边形是正方形，再证明，则，，再证明，则，设，则，，在中，由勾股定理得到，解得，即可得到线段的长度． 【详解】解：如图，过点B作，交于点H，则，过点B作，交延长线于点G，则， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵, ∴四边形是正方形，且边长为4， ∴，， ∵E是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，   ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 即，   解得， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 39．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，四边形是边长为4的正方形，点P为射线上的一个动点，延长到点E，使，连接，以为边作平行四边形，直线和直线相交于点M． (1)如图1，点P在边上，判断四边形的形状，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若点P为的中点，求点F到边的距离； (3)若，求的长． 【答案】(1)正方形，理由见解析 (2)2 (3)1或3 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定： （1）先证明得到，进而证明，即可证明四边形是正方形； （2）如图所示，作，垂足为H，证明，得到，求出，则，即点F到距离为2； （3）分点P在上和点P在得延长线上两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下： 解：在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是正方形； （2）解：如图所示，作，垂足为H， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∵点P是中点， ∴， ∴， ∴点F到距离为2； （3）解：①点P在线段上， ∵， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； ②点P在延长线上， 如图所示，作，垂足为H， 同理可得， 同理可证明， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 综上所述，得长为1或3． 题型14（特殊）平行四边形的动点问题 40．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动．点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动．两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动），设运动时间为秒．当时，运动时间t为何值时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形（    ）    A． B．8 C．4或 D．或8 【答案】D 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】根据的速度为每秒，可得，从而得到，由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以、、、四点组成的四边形为平行四边形，当时，分两种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：四边形为平行四边形， ． 若要以、、、四点组成的四边形为平行四边形，则． 当时，，，，， ， 解得：； 当时，，，， ， 解得：． 综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形． 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，弄清在上往返运动情况是解决此题的关键． 41．（20-21八年级下·江苏南京·期末）在四边形ABCD中，，M是BC上一点，且，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】s或4s 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】分点F在线段BM上，F在线段CM上，两种情形列出方程即可． 【详解】解：①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，AE=FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则有t=4-2t， 解得：t=； ②当F在线段CM上，即2≤t≤5，AE=FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则有t=2t-4， 解得：t=4， 综上所述，t=s或4s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：s或4s． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 42．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形成为矩形？ (2)当t为何值时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？ (3)四边形是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求点Q的速度． 【答案】(1) (2)或或 (3)四边形不能成为菱形，见解析，点Q的速度为时，能够使四边形在这一时刻为菱形． 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【详解】（1）∵，， ∴当时，四边形成为矩形， 由运动知，，， ∴， ∴， 解得． ∴当时，四边形成为矩形； （2）①当时，， 此时，四边形是平行四边形； ②当时，， 此时，四边形是平行四边形时； ③当时，， 此时，四边形为平行四 边形； 综上所述，当或或时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． （3）四边形不能成为菱形．理由如下： ∵， ∴当时，四边形能成为菱形． 由，得， 解得：， 当时，，，． 在中，，， 根据勾股定理得，， ∴四边形不能成为菱形； 如果Q点的速度改变为时，能够使四边形在时刻为菱形， 由题意得， 解得：． 故点Q的速度为时，能够使四边形在这一时刻为菱形． 夯实基础 一、单选题 1．已知，如图，大正方形的边长是，小正方形的边长是，阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的面积公式，解题的关键是数形结合．根据阴影面积为两个三角形的面积之和，即可求解． 【详解】解：大正方形的边长是，小正方形的边长是， 阴影部分面积是， 故选：A． 2．如图，以正方形的边为边向正方形外作等边，与交于点F，则的度数是（   ） A．105° B．120° C．135° D．150° 【答案】B 【分析】由正方形和等边三角形的性质得∠BCD =90°，∠DCE=60°，CD=CE= CB，易得△BCE是等腰三角形，求出∠CBE=15°，利用三角形外角的性质求出∠AFB的度数即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，等边△CDE， ∴∠BCD =90°，∠ACB=45°，∠DCE=60°，CD=CE= CB， ∴∠CBE=∠CEB． ∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°， ∴∠CBE=15°． ∵∠ACB=45°， ∴∠AFB=∠ACB+∠CBE=60°． ∴∠AFE=120°． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形及等边三角形的性质，会运用其性质进行一些简单的转化． 3．在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出两组对角分别相等，然后小亮测量出______，最后得到结论：地板瓷砖是菱形．则横线处应填（    ） A．两组对边分别相等 B．一组邻边相等 C．两条对角线相等 D．一组邻角相等 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定．根据菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”进行判断即可得． 【详解】解：∵甲测量出两组对角分别相等，∴此地板瓷砖是平行四边形， A、两组对边分别相等，也只能说明四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项符合题意； C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项不符合题意； D、一组邻角相等，不能说明平行四边形是菱形，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．如图，用平移法说明平行四边形的面积公式时， 若平移到，，，则的平移距离为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平移的性质，根据平移的性质结合矩形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 由平移的性质得， ∴， ∴平行四边形的面积=矩形的面积， ∴的平移距离为4． 故选：C． 5．如图，在正方形中，点在对角线上，连接，于点，交于点，连接，已知，，则的面积为（    ） A．4 B．5 C．10 D． 【答案】B 【分析】过点E作MN⊥DC，根据得出EN=DN=AM=3，则ME=1，根据勾股定理，算出AE的值，根据“AAS”证明，得出EF的长，算出三角形的面积即可． 【详解】解：过点E作MN⊥DC，交AB于点M，交DC于点N，如图所示： ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BDC=∠ABD=45°，AB=BC=CD=AD=4，， ∴∠DEN=90°-45°=45°， ∴， ∵四边形ADNM为矩形， ∴MN=AD=4，AM=DN=3， ∴ME=MN-EN=4-3=1， ∴， ∵AE⊥EF， ∴∠AEF=90°， ∴∠AEM+∠FEN=180°-90°=90°， ∵∠FEN+∠EFN=90°， ∴∠AEM=∠EFN， ∵在△AME和△ENF中， ∴， ∴， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本本题主要考查了正方形性质的应用和三角形全等的判定和性质，以及勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 6．如图，正方形中，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过N做NP⊥BC于P，则NP=DC，易证△BEC≌△PMN，即可得∠MCE=∠PNM，根据直角三角形内角和为180°即可求得∠ANM=90°-∠MCE． 【详解】解：过N做NP⊥BC于P，则NP=DC， ∵∠MCE+∠NMC=90°，∠MNP+∠NMC=90°， ∴∠MCE=∠MNP， 在△MNP和△ECB中， ， ∴△BEC≌△PMN， ∴∠MCE=∠PNM， ∴∠ANM=90°-∠MCE=50°． 故选C． 【点睛】本题考查了正方形各边长、各内角相等的性质，考查了全等三角形的判定和全等三角形对应角相等的性质，本题中证明△BEC≌△PMN是解题的关键． 7．如图，在正方形中，，延长到点，使，连接，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动．设点的运动时间为秒.当和全等时，的值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．3或7 【答案】D 【分析】分两种情况，①当点P在BC边上时，②当点P在AD边上时，找出对应的边列式计算即可. 【详解】当点在边上时，在与中， ， ∴． 由题意得， ∴． 当点在上时，在与中， ， ∴， 由题意得，解得． 当点在上时，不满足条件． ∴当的值为3或7时，和全等． 故选D． 【点睛】本题考查的是正方形的性质和全等三角形的性质，能够分情况讨论是解题的关键. 8．如图，在菱形中，，对角线、相交于点，是对角线上的一动点，且于点，于点．由以下结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（     ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．利用菱形的性质和等边三角形的判定可判断①；根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理可判断②④；根据三角形的内角和定理可判断③，进而可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴为等边三角形，，则， 故①②正确； ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， 故③④正确， 综上，正确的有4个， 故选：D． 二、填空题 9．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为 °． 【答案】135 【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ACB＝∠BAC＝45° ∴∠2+∠BCP＝45° ∵∠1＝∠2 ∴∠1+∠BCP＝45° ∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP ∴∠BPC＝135° 故答案为：135． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键． 10．如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，菱形的顶点C在x轴正半轴上，，点B的纵坐标为1，则点A的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质对角线互相垂直平分，可得答案． 【详解】 ∵四边形OACB为菱形， ∴OC⊥AB，OD=CD，BD=AD． ∴OC=4，点B的纵坐标为1， ∴OD=4÷2=2，点A的纵坐标为−1． 故答案为：(2，−1) 【点睛】本题考查了菱形的性质，做题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分． 11．如图，在菱形中，，，分别在边，上，，将沿折叠，点落在的延长线上的点处，则的度数为 ． 【答案】20°/20度 【分析】由菱形的性质得出AB=AD，∠B=∠D=60°，证明△ABG≌△ADE（SAS），由全等三角形的性质得出∠BAG=∠DAE，由折叠的性质得出∠DAE=∠FAE，∠AED=∠AEF，由三角形内角和定理可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠B=∠D=60°， ∴∠BAD=120°， 在△ABG和△ADE中， ， ∴△ABG≌△ADE（SAS）， ∴∠BAG=∠DAE， ∵将△ADE沿AE折叠， ∴∠DAE=∠FAE，∠AED=∠AEF， ∴∠DAE=∠BAD=40°， ∴∠AED=180°-∠DAE-∠D=180°-40°-60°=80°， ∴∠FEC=180°2∠AED=180°160°=20°， 故答案为：20°． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 12．如图所示，BD为矩形ABCD的一条对角线，延长BC至点E，使CE=BD，连结AE，若AB=1，∠AEB=15°，则AD的长度为 ． 【答案】 【分析】连接AC，由矩形性质可得AD∥BE，BD＝AC＝CE，知∠E＝∠CAE＝∠DAE=15°，则可得∠ADB＝30°，进而可求出AD的长． 【详解】解：连接AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BE，AC＝BD， ∴∠E＝∠DAE=15°， 又∵CE=BD， ∴CE＝AC， ∴∠E＝∠CAE=15°， ∴∠CAD＝∠CAE＋∠DAE＝30°， ∴∠ADB＝30°， ∴BD＝2AB＝2， ∴AD＝， 故答案为． 【点睛】本题主要考查矩形性质以及勾股定理的运用，熟练掌握矩形对角线相等、对边平行是解题关键． 13．如图，四边形ABCD是平行四边形，点M，N分别在AB，AD上，且AM＝AN，BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB，点F，G分别在BC，CD上，MG与NF相交于点E，则图中的菱形共有 个． 【答案】3 【详解】根据邻边相等的平行四边形为菱形.菱形AMEN，菱形ABCD，菱形CFEG，共3个. 故答案：3. 14．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，AB上一点，且EF＝EC，，若DE＝2，矩形ABCD的周长为24，则矩形ABCD的面积为 ． 【答案】35 【分析】证△AEF≌△DCE（AAS）．得AE=CD，AF=DE=2，则AD=AE+DE=AE+2，再求出CD=AE=5，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABD是矩形， ∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠D=90°， ∵EF⊥EC， ∴∠FEC=90°， ∴∠AEF+∠DEC=90°， ∵∠DCE+∠DEC=90°． ∴∠AEF=∠DCE， 在△AEF和△DCE中， ， ∴△AEF≌△DCE（AAS）． ∴AE=CD，AF=DE=2， ∴AD=AE+DE=AE+2， ∵矩形ABCD的周长为24， ∴2（AE+ED+CD）=24， ∴2（2AE+2）=24， 解得：CD=AE=5， ∴AD=7， ∴矩形ABCD的面积=AD×CD=7×5=35， 故答案为：35． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质、矩形的性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键． 三、解答题 15．求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质得到OA=OC=OB=OD，，得到是等腰直角三角形，再根据SAS证明出四个三角形全等． 【详解】已知：如图，四边形是正方形，对角线，相交于点O． 求证：是全等的等腰直角三角形． 证明：∵四边形是正方形， ∴． ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∵，， ∴（SAS）． 【点睛】本题考查了根据正方形的性质进行证明，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 16．剪两个全等的等腰三角形（三边不全相等）纸片，拼成一个平行四边形．有几种拼法？拼出的平行四边形都是菱形吗？如果不都是菱形，怎样拼才是菱形？说明拼法，并画出示意图． 【答案】有两种拼法．平行四边形不都是菱形，把等腰三角形的底边作为对角线，拼在一起可得菱形，图见解析 【分析】根据平行四边形的判定方法解决问题即可． 【详解】解：有两种拼法．平行四边形不都是菱形． 把等腰三角形的底边作为对角线，拼在一起可得菱形，如图所示． 【点睛】本题考查图形的拼剪，全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，OE＝OF． （1）求证：AECF； （2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）由矩形的性质得出OA=OC，根据OE=OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE=CF； （2）证出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=6，AC=2OA=12，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC，即可得出矩形ABCD的面积． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴OA=OC， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（SAS）， ∴∠OAE=∠OCF， ∴AECF； （2）∵OA=OC，OB=OD，AC=BD， ∴OA=OB， ∵∠AOB=∠COD=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA=AB=6， ∴AC=2OA=12， 在Rt△ABC中，BC==， ∴矩形ABCD的面积=AB•BC==． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和求出BC是解决问题的关键． 18．如图，已知：矩形ABCD和关于点A对称.   求证：四边形是菱形.   【答案】见解析 【分析】根据中心对称的性质和矩形的性质得出∠BAD=90°，AB=AB′，AD=AD′，即可得出答案． 【详解】解：∵矩形ABCD和关于点A成中心对称图形． ∴ ，（关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分）． ∴ 四边形是平行四边形．   又∵四边形ABCD是矩形， ∴ ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了中心对称的性质，矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用．菱形的判定定理：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 19．如图，在中，过点A作于点E，于点F，且． (1)求证：是菱形． (2)若，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意证明△ABE≌△ADF（AAS）可得，根据菱形的判定定理即可得证； （2）根据题意求得∠DAF=30°，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理逇的长，进而根据菱形的面积公式即可求解． 【详解】（1）∵AE⊥BC，AF⊥DC， ∴∠AEB=∠AFD=90° ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D ∵AE=AF， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AB=AD ∴四边形ABCD是菱形． （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC ， ∴∠AEB=∠EAD=90°， ∵∠EAF＝60°， ∴∠DAF=30°， 在Rt△AFD中，DF=2， ∴AD=4， ∴AF= ， ∵AD=CD=4， ∴菱形ABCD面积= 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 20．为了研究特殊四边形之间的关系，老师制作了一个教具（如图①），用钉子将四根木条钉成一个正方形框架，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条，左手向右推动框架得到四边形（如图②）． (1)这个过程说明四边形具有某种特性．下列生活中的情形也应用了这个性质的是______； a．伸缩门可以自由开合    b．千斤顶可以顶起重物 c．木门对角线上固定木条 (2)如图②，已知正方形的边长为，连接，． ①四边形是______；四边形一定是______（填特殊四边形）； ②若正方形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，则，，之间关系满足______（填“”“”或“”）； ③若，则______，四边形的面积为______； (3)如图③，过点作且，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】(1) (2)①菱形；平行四边形；②；③； (3)见解析 【分析】（1）根据四边形易变形的性质进行判断即可； （2）①根据正方形的性质和菱形的判定可得四边形是菱形，进而得，再根据平行四边形的判定即可得证； ②过点分别作于点F，延长交于点E，证明四边形是矩形，可得，再利用四边形的面积公式计算即可； ③根据正方形的性质可得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，进而求得，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，再利用菱形的面积公式求解即可； （3）证得四边形是菱形，根据菱形的性质可得，再根据平行四边形的判定可证四边形是平行四边形，最后根据矩形的判定证明即可． 【详解】（1）解：由题意得，四边形易变形， ∴生活中的情形也应用了这个性质的是， 故答案为：； （2）解：①∴四边形是正方形， ，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：菱形；平行四边形； ②如图，过点作于点F，延长交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， 故答案为：=； ③∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （3）证明：∵四边形是正方形， ， ∴四边形是菱形， ，， ， ． ， ∴四边形是平行四边形． 又， ， ∴平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质及三角形的内角和定理，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键． 能力提升 一、单选题 21．已知菱形的周长为，一条对角线长为，则菱形四个角的度数分别为(　　) A．30°，150°，30°，150° B．60°，120°，60°，120° C．45°，135°，45°，135° D．以上都不对 【答案】B 【分析】可先画出一简单的图形，结合图形，OB=AB，可得∠OAB的大小，进而求出菱形内四个角的大小． 【详解】如图 由菱形周长可得菱形变长为4，即AB=4， 又一条对角线为4，即BD=4， ∴OB=2=AB， ∴在Rt△AOB中，∠OAB=30°， ∴∠DAB=60° ∴∠ADC=120° 故选B． 【点睛】熟练掌握菱形的性质，能够求解一些简单的角度计算问题． 22．如图，一块长方形场地 的长 与宽 的比是 ： ， ， ，垂足分别是 、 两点．现计划在四边形 区域种植花草，则四边形与长方形的面积比等于（    ）    A．1：3 B．2：3 C．1：2 D．1：4 【答案】A 【分析】先证明≌△CBF（AAS），再证明四边形DEBF是平行四边形，设，则，利用勾股定理求出AC，根据表示出DE，在中，利用勾股定理求出AE，进而可得CF、EF，则可求，再根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴，，， ∴． ∵，， ∴，． 在和中， ， ∴≌△CBF（AAS）， ∴，， 又∵， ∴四边形DEBF是平行四边形， 设，则， ∴ ， ∵于点， ∴ ， ∴， ∴ ， 在中，，， ∴， ∴ ， ∵， ∴四边形DEBF与矩形ABCD的面积之比为1：3． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理定理等知识，证明≌△CBF（AAS）是解答本题的关键． 二、填空题 23．如图，在中，，直线垂直平分，把线段绕点顺时针旋转，使点落在直线上的点处，联结、，线段、交于点，如果，那么 度． 【答案】105 【分析】过点C作CH⊥AB于H，由旋转和线段垂直平分线的性质可得EF＝BE＝AE，则△BEF是等腰直角三角形，可得∠EBF＝45°，证明四边形EFCH是矩形，可得CH＝EF＝AB＝AC，可得出∠CAH＝30°，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：过点C作CH⊥AB于H， ∵线段AE绕点E顺时针旋转90°，使点A落在直线DE上的点F处， ∴AE＝EF， ∵直线DE垂直平分AB，AB＝AC， ∴AE＝BE＝AB＝AC，∠BEF＝90°， ∴EF＝BE＝AE， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴∠EBF＝45°， ∵DE⊥AB，CF AB， ∴CF⊥DE， ∵DE⊥AB，CH⊥AB， ∴四边形EFCH是矩形， ∴CH＝EF＝AB＝AC， ∴∠CAH＝30°， ∴∠AGB＝180°−∠EBF−∠CAH＝180°−45°−30°＝105°． 故答案为：105． 【点睛】本题考查旋转的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，求出∠EBF＝45°，∠CAH＝30°是解题的关键． 24．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE、AF、EF，∠EAF=45°，BE=3，CF=4，则正方形的边长为 ． 【答案】6 【分析】延长CB至点G，使BG＝DF，并连接AG，证明△ABG≌△ADF，△AEG≌△AEF，设正方形边长为x，在Rt△CEF中应用勾股定理进行求解． 【详解】如图，延长CB至点G，使BG＝DF，并连接AG， 在△ABG和△ADF中，， ∴△ABG≌△ADF(SAS)， ∴AG＝AF，∠GAB＝∠DAF， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠GAB＝∠GAE＝45°， ∴∠EAF＝∠GAE， 在△AEG和△AEF中，， ∴△AEG≌△AEF(SAS)， ∴GE＝EF， 设正方形边长为x，则BG＝DF＝x－4，GE＝EF＝x－1，CE＝x－3， 在Rt△CEF中，， 解得，， ∴正方形的边长为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，巧作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题 25．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF． (1) 求证：CF＝AD； (2) 若CA＝CB，∠ACB＝90°，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）正方形，理由见解析． 【分析】(1)根据CF∥AB可得∠CFE＝∠DAE，∠FCE＝∠ADE，根据E为中点可得CE=DE，则△ECF和△DEA全等，从而得出答案； (2)根据AD=BD，则CF=BD，CF∥BD得出平行四边形，根据CD为AB边上的中线，CA=CB得出∠BDC=90°得出矩形，根据CD为等腰直角△ABC斜边上的中线得出CD=BD，即得到正方形． 【详解】解：(1)∵CF∥AB，∴∠CFE＝∠DAE，∠FCE＝∠ADE，∵E为CD的中点，∴CE＝DE， ∴△ECF≌△DEA(AAS)， ∴CF＝AD， (2)四边形CDBF为正方形，理由为： ∵AD＝BD， ∴CF＝BD； ∵CF＝BD，CF∥BD，∴四边形CDBF为平行四边形， ∵CA＝CB，CD为AB边上的中线，∴CD⊥AB，即∠BDC＝90°， ∴四边形CDBF为矩形， ∵等腰直角△ABC中，CD为斜边上的中线， ∴CD＝AB，即CD＝BD，则四边形CDBF为正方形． 【点睛】本题考查正方形的判定；三角形全等的应用． 26．如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F （1）求证：EO=FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论． 【答案】(1)见解析；(2) 当O运动到OA=OC处，四边形AECF是矩形.理由见解析. 【分析】（1）由于CE平分∠BCA，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行线的性质有∠1=∠3，等量代换有∠2=∠3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF； （2）OA=OC，那么可证四边形AECF是平行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的角平分线，易证∠ECF是90°，从而可证四边形AECF是矩形． 【详解】解：（1）如图所示， ∵CE平分∠BCA， ∴∠1=∠2， 又∵MN∥BC， ∴∠1=∠3， ∴∠3=∠2， ∴EO=CO， 同理，FO=CO， ∴EO=FO； （2）当O运动到OA=OC处，四边形AECF是矩形，理由如下： ∵OA=OC，EO=FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵CF是∠BCA的外角平分线， ∴∠4=∠5， 又∵∠1=∠2， ∴∠1+∠5=∠2+∠4， 又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°， ∴∠2+∠4=90°， ∴平行四边形AECF是矩形． 【点睛】本题考查平行线的性质、矩形的判定和角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质、矩形的判定和角平分线的定义． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$