课时达标检测(18)简单复合函数的求导法则(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

课时达标检测(十八)　简单复合函数的求导法则 学生用书P103 基础达标 　 一、单项选择题 1.设f(x)=log3(x-1),则f'(2)= (　　) A.ln 3 B.-ln 3 C. D.- 解析　f'(x)=,故f'(2)=。 答案　C 2.函数f(x)=x(1-ax)2(a>0),且f'(2)=5,则a= (　　) A.1　　　　B.-1　　　　C.2　　　　D.-2 解析　f'(x)=(1-ax)2-2ax(1-ax),则f'(2)=12a2-8a+1=5(a>0),解得a=1。 答案　A 3.已知函数f(x)=sin22x,则f'= (　　) A.0 B. C. D. 解析　由已知可得f'(x)=4sin 2xcos 2x=2sin 4x,所以f'=2sin π=0。故选A。 答案　A 4.函数f(x)=的导函数为 (　　) A.f'(x)=2e2x B.f'(x)= C.f'(x)= D.f'(x)= 解析　f'(x)===。故选B。 答案　B 5.曲线y=xex-1在点(1,1)处的切线的斜率为 (　　) A.2e B.e C.2 D.1 解析　y'=ex-1+xex-1=(x+1)ex-1,故曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k=2。 答案　C 6.若曲线y=e-x+2在点P处的切线垂直于直线x-2y+1=0,则点P的坐标是 (　　) A. B.(-ln 2,4) C.(0,3) D.(-1,e+2) 解析　因为y'=,y'P==-2,所以=,所以xP=ln=-ln 2,yP=4,所以点P的坐标为(-ln 2,4)。 答案　B 二、多项选择题 7.下列结论中不正确的是 (　　) A.若y=cos,则y'=-sin B.若y=sin x2,则y'=2xcos x2 C.若y=cos 5x,则y'=-sin 5x D.若y=xsin 2x,则y'=xsin 2x 解析　对于A,y=cos,则y'=·sin,故错误;对于B,y=sin x2,则y'=2xcos x2,故正确;对于C,y=cos 5x,则y'=-5sin 5x,故错误;对于D,y=xsin 2x,则y'=sin 2x+xcos 2x,故错误。 答案　ACD 8.曲线y=e2xcos 3x在点(0,1)处的切线与其平行直线l的距离为,则直线l的方程可能为 (　　) A.y=2x+6 B.y=2x-4 C.y=3x+1 D.y=3x-4 解析　y'=e2x(2cos 3x-3sin 3x),所以f'(0)=2,则所求的切线方程为y=2x+1,设直线l的方程为y=2x+b,则=,解得b=6或b=-4。所以直线l的方程为y=2x+6或y=2x-4。 答案　AB 三、填空题 9.函数y=sin(x+1)-cos的导数是　　　　　　。  解析　y'=cos(x+1)·(x+1)'+sin·'=cos(x+1)+sin。 答案　y'=cos(x+1)+sin 10.曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为　　　　。  解析　因为y'=,所以f'(4)=e2。所以曲线在点(4,e2)处的切线方程为y-e2=e2(x-4),整理得y=e2x-e2,切线与坐标轴的交点分别是(0,-e2),(2,0),则切线与坐标轴围成的三角形面积为S=×|-e2|×|2|=e2。 答案　e2 11.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是　　　　。  解析　当x>0时,-x<0,则f(-x)=ex-1+x,又f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ex-1+x,f'(x)=ex-1+1,则f'(1)=2,故所求切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x。 答案　y=2x 四、解答题 12.求下列函数的导数: (1)y=102x+3; (2)y=sin; (3)y=-2e3xsin 2x。 解　(1)引入中间变量u=φ(x)=2x+3,则函数y=102x+3是由f(u)=10u与u=φ(x)=2x+3复合而成的。由复合函数的求导法则,可得y'x=(102x+3)'=f'(u)φ'(x)=(10u)'(2x+3)'=10uln 10·2=(2ln 10)102x+3。 (2)引入中间变量u=φ(x)=-2x+,则函数y=sin是由f(u)=sin u与u=φ(x)=-2x+复合而成的。由复合函数的求导法则,可得y'x=sin-2x+'=f'(u)φ'(x)=cos u·(-2)=-2cos-2x+=-2cos。 (3)原函数可以看作y=-2u(x)·v(x),其中u(x)可以看作u=em和m=3x的复合函数,v(x)可以看作v=sin p和p=2x的复合函数,则y'x=-2(3e3xsin 2x+2e3xcos 2x)=-2e3x(3sin 2x+2cos 2x)。 13.有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数为s=5-。求函数在t=1 s时的导数,并解释它的实际意义。 解　函数s=5-可以看作函数s=5-和x=25-9t2的复合函数,其中x是中间变量。 由导数公式可得s'x=-,x't=-18t。 故由复合函数的求导法则得s't=s'x·x't=-·(-18t)=, 将t=1代入s'(t),得s'(1)=2.25。 它表示当t=1 s时,梯子上端下滑的速度为2.25 m/s。 素养升级 14.已知函数f(x)在R上可导,函数F(x)=f(x2-4)+f(4-x2),则F'(2)= (　　) A.0　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.6 解析　因为F(x)=f(x2-4)+f(4-x2),所以F'(x)=2xf'(x2-4)-2xf'(4-x2),所以F'(2)=4f'(0)-4f'(0)=0。故选A。 答案　A 15.已知函数f(x)=+x2 025+sin x(x∈R),则f(2 025)+f(-2 025)+f'(2 025)-f'(-2 025)的值为　　　　。  解析　由题意,f'(x)=+2 025x2 024+cos x,f'(-x)=+2 025·(-x)2 024+cos(-x)=+2 025x2 024+cos x=f'(x),所以f'(x)是偶函数,所以f'(x)-f'(-x)=0,又f(x)+f(-x)=+x2 025+sin x++(-x)2 025+sin(-x)=+=2。所以f(2 025)+f(-2 025)+f'(2 025)-f'(-2 025)=2。 答案　2 16.已知a∈R,函数f(x)=ex+ae-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数。若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,求切点的横坐标x0。 解　易得f'(x)=ex-ae-x,x∈R。 因为f'(x)为奇函数, 所以f'(x)+f'(-x)=0对任意x∈R恒成立, 即(1-a)(ex+e-x)=0对任意x∈R恒成立, 所以a=1, 所以f(x)=ex+e-x,f'(x)=ex-e-x, 由题可得-=,令=t(t>0),则t-=, 解得t=2或t=-(舍去), 所以=2,所以x0=ln 2。 学科网（北京）股份有限公司 $$