课时达标检测(8)等比数列的性质及应用(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

课时达标检测(八)　等比数列的性质及应用 学生用书P083 基础达标 　 一、单项选择题 1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是 (　　) A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列 C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列 解析　设等比数列的公比为q,因为==q3,即=a3a9,所以a3,a6,a9成等比数列。故选D。 答案　D 2.在正项等比数列{an}中,an+1<an,a2·a8=6,a4+a6=5,则= (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析　设公比为q,则由等比数列{an}各项为正数且an+1<an知0<q<1,由a2·a8=6,得=6,所以a5=。又a4+a6=+q=5,解得q=或q=(舍去),所以===。 答案　D 3.已知各项均为正数的等比数列{an }中,lg(a3a8a13)=6,则a1·a15的值为 (　　) A.100 B.-100 C.10 000 D.-10 000 解析　因为a3a8a13=,所以lg(a3a8a13)=lg =3lg a8=6。所以a8=100。所以a1a15==10 000,故选C。 答案　C 4.若1,a1,a2,4成等差数列;1,b1,b2,b3,4成等比数列,则的值等于 (　　) A.- B. C.± D. 解析　因为1,a1,a2,4成等差数列,所以3(a2-a1)=4-1,所以a2-a1=1。又因为1,b1,b2,b3,4成等比数列,设其公比为q,则=1×4=4,且b2=1×q2>0,所以b2=2,所以==-。 答案　A 5.已知正项等比数列{an},满足a2··a2 020=16,则a1·a2·…·a1 017= (　　) A.41 017 B.21 017 C.41 018 D.21 018 解析　设等比数列{an}的公比为q,由题意知a2··a2 020=a1q·(a1q6)2·a1q2 019=(a1q508)4=(a509)4=16,又各项均为正数,所以a509=2,所以a1·a2·…·a1 017=(a509)1 017=21 017,故选B。 答案　B 6.已知{an}为等比数列,其前n项和为Sn,且S4=3,S12-S8=12,则S8= (　　) A.-3 B.9 C.-3或9 D.-3或6 解析　由等比数列的前n项和的性质,得(S8-S4)2=S4(S12-S8)=3×12=36,所以S8-S4=±6,所以S8=±6+3=-3或9。设等比数列{an}的公比为q。又因为S8=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)=(1+q4)S4,S4>0,所以S8>0,所以S8=9。 答案　B 二、多项选择题 7.已知数列{an}是等比数列,且a3+a5=18,a9+a11=144,则a6+a8的值可能为 (　　) A.-36 B.36 C.-36 D.36 解析　设{an}的公比为q,则a9+a11=q6(a3+a5),于是q6===8,因此q3=±2,所以a6+a8=q3(a3+a5)=±36。故选CD。 答案　CD 8.设{an}是等比数列,则下列说法正确的是 (　　) A.{an+an+1}是等比数列 B.是等比数列 C.{lg|an|}是等差数列 D.{an·an+1}是等比数列 解析　A中,当数列{an}的公比为-1时,an+an+1=0,而等比数列各项均不为0,故A错误;B中,是以为首项,为公比的等比数列;C中,{lg|an|}是以lg|a1|为首项,lg|q|为公差的等差数列;D中,{an·an+1}是以q为首项,q2为公比的等比数列。故正确的说法是BCD。 答案　BCD 三、填空题 9.在3和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,成等比数列,则此未知数是　　　　。  解析　设此三数为3,a,b,则解得或所以这个未知数为3或27。 答案　3或27 10.画一个边长为2 cm的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形,以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形,这样一共画了10个正方形,则第10个正方形的面积等于　　　　cm2。  解析　这10个正方形的边长构成以2为首项,为公比的等比数列{an}(1≤n≤10,n∈N+),则第10个正方形的面积S==22×29=211=2 048(cm2)。 答案　2 048 11.已知{an}为公比q>1的等比数列,若a2 017和a2 018是方程4x2-8x+3=0的两个根,则a2 019+a2 020的值是　　　　。  解析　解法一:设等比数列的公比为q。因为a2 017和a2 018是方程4x2-8x+3=0的两个根,所以a2 017+a2 018=2,a2 017·a2 018=,即a2 017(1+q)=2①,a2 017·a2 017q=②,故由,得=。又因为q>1,解得q=3,所以a2 019+a2 020=a2 017·q2+a2 017·q3=a2 017(1+q)·q2=2×32=18。 解法二:因为a2 017和a2 018是方程4x2-8x+3=0的两根,且q>1,所以a2 017=,a2 018=,q==3,所以a2 019+a2 020=q2(a2 017+a2 018)=32×2=18。 答案　18 四、解答题 12.设等比数列{an}满足a1+a2=4,a3-a1=8。 (1)求{an}的通项公式; (2)记Sn为数列{log3an}的前n项和。若Sm+Sm+1=Sm+3,求m。 解　(1)设{an}的公比为q,则an=a1qn-1。 由已知得解得a1=1,q=3。 所以{an}的通项公式为an=3n-1。 (2)由(1)知log3an=n-1。 故Sn=。 由Sm+Sm+1=Sm+3,得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2),即m2-5m-6=0。 解得m=-1(舍去)或m=6。 13.设{an}是各项均为正数的等比数列,bn=log2an,b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3,求an。 解　设数列{an}的首项为a1,公比为q, 因为b1+b2+b3=3, 所以log2a1+log2a2+log2a3=3, 所以log2(a1a2a3)=3, 所以a1a2a3=8,所以a2=2。 因为b1b2b3=-3, 所以log2a1·log2a2·log2a3=-3, 所以log2a1·log2a3=-3, 所以log2·log2(a2q)=-3, 即(log2a2-log2q)·(log2a2+log2q)=-3, 即(1-log2q)·(1+log2q)=-3, 解得log2q=±2。 当log2q=2时,q=4,a1==, 所以an=×4n-1=22n-3; 当log2q=-2时,q=,a1==8, 所以an=8×n-1=25-2n。 素养升级 14.在正项等比数列{an}中,a3=2,16=a2a6,则数列{an}的前n项积Tn中最大的值是 (　　) A.T3 B.T4 C.T5 D.T6 解析　依题意,数列{an}是等比数列,所以16=a2a6=,所以q2=。又因为数列{an}为正项等比数列,所以q=,所以an=a3·qn-3=2·43-n=27-2n,令an>1,即27-2n>1,得n<,因为n∈N+,所以n≤3,数列{an}的前n项积Tn中T3最大,故选A。 答案　A 15.在如图所示的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,则x+y+z的值为　　　　。  2 4 1 2 x y z 解析　因为=,所以x=1。因为第一行中的数成等差数列,首项为2,公差为1,故后两格中数字分别为5,6。同理,第二行后两格中数字分别为2.5,3。所以y=5×=,z=6×=,所以x+y+z=1++=2。 答案　2 16.为了治理沙尘暴,西部某地区政府经过多年努力,到2020年年底,将当地沙漠绿化了40%。从2021年开始,每年将出现这种现象:原有沙漠面积的12%被绿化,即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲),同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠,问至少经过几年的绿化,才能使该地区的绿洲面积超过50%(参考数据:lg 2≈0.3)? 解　设该地区沙漠与绿洲的总面积为1,2020年年底绿洲面积为a1=,经过n年后绿洲面积为an+1,设2020年年底沙漠面积为b1,经过n年后沙漠面积为bn+1, 则a1+b1=1,an+bn=1。 依题意,an+1由两部分组成:一部分是原有绿洲面积an减去被侵蚀的部分,即an-8%·an;另一部分是新绿化的绿洲面积,即12%·bn。 所以an+1=an-8%·an+12%(1-an)=an+, 即an+1-=an-。 又a1-=-, 所以an-是以-为首项,为公比的等比数列, 则an+1=-×n。 由an+1>50%, 得-×n>, 所以n<, 所以n>lo=≈3。 则当n≥4时,不等式n<恒成立。 所以至少需要4年才能使绿洲面积超过50%。 学科网（北京）股份有限公司 $$