课时达标检测(7)等比数列的概念及其通项公式(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

课时达标检测(七)　等比数列的概念及其通项公式 学生用书P081 基础达标 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.下列各组数不能构成等比数列的是 (　　) A.1,-2,4,-8 B.-,2,-2,4 C.x,x2,x3,x4 D.a-1,a-2,a-3,a-4 解析　由等比数列的定义,知A,B,D三项是等比数列,C中当x=0时,不是等比数列。 答案　C 2.在等比数列{an}中,an>0,且a1+a2=1,a3+a4=9,则a4+a5的值为 (　　) A.16 B.27 C.36 D.81 解析　由已知得q2==9,因为an>0,所以q=3(q=-3舍去),所以a4+a5=(a3+a4)q=27。 答案　B 3.若等比数列的首项为4,末项为128,公比为2,则这个数列的项数为 (　　) A.4 B.8 C.6 D.32 解析　设a1=4,an=128,q=2,则an=a1qn-1,即128=4×2n-1=2n+1,故n+1=7,得n=6。 答案　C 4.在数列{an}中,对任意n∈N+,都有an+1-2an=0(an≠0),则= (　　) A.1 B. C. D. 解析　由an+1-2an=0知,an+1=2an,故{an}是等比数列,且q=2,则===。 答案　D 5.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k等于 (　　) A.2 B.4 C.6 D.8 解析　因为an=(n+8)d,=a1·a2k,所以[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d,解得k=-2(舍去)或k=4。 答案　B 6.已知等比数列{an}的公比q满足|q|>1,{an}中有连续四项在集合{-54,-24,-18,36,81}中,则q等于 (　　) A.- B. C.- D. 解析　由题意知{an}中的项必然有正有负,所以q<0。又|q|>1,所以{|an|}为递增数列。由此可得{an}的连续四项为-24,36,-54,81。所以q=-。 答案　C 二、多项选择题 7.已知数列{an}是公比为q的等比数列,且a1,a3,a2成等差数列,则q的值可以为 (　　) A. B.1 C.- D.-2 解析　由题意,可知2a3=a1+a2,即2a1q2=a1+a1q。又a1≠0,所以2q2=1+q,所以q=1或q=-。故选BC。 答案　BC 8.如果数列{an}是等比数列,那么 (　　) A.数列{}是等比数列 B.数列{}是等比数列 C.数列{lg an}是等差数列 D.数列{kan}(k≠0)是等比数列 解析　利用等比数列的定义验证即可。设{an}的公比为q,bn=,则===q2,所以{bn}是等比数列;=≠常数;当an<0时,lg an无意义;设cn=kan,则==q,所以{kan}是等比数列。故选AD。 答案　AD 三、填空题 9.在8和5 832之间插入5个数,使它们组成以8为首项的等比数列,则此数列的第5项是　　　　。  解析　设公比为q,则8q6=5 832,所以q6=729,所以q2=9,所以a5=8q4=648。 答案　648 10.已知数列{an}满足=,且a2=2,则a4=　　　　。  解析　因为=,所以=2,所以数列{an+1}是公比q=2的等比数列,所以=22=4,又a2=2,所以a4+1=3×4=12。所以a4=11。 答案　11 11.已知三个数成等比数列,其积为512,若第一个数与第三个数各减去2之后新的三个数成等差数列,则原来的三个数的和等于　　　　。  解析　由题意设原来的三个数依次为,a,aq。因为·a·aq=512,所以a=8。又第一个数与第三个数各减去2之后新的三个数成等差数列,所以-2+(aq-2)=2a,所以2q2-5q+2=0,所以q=2或q=,所以原来的三个数为4,8,16或16,8,4。因为4+8+16=16+8+4=28,所以原来的三个数的和等于28。 答案　28 四、解答题 12.在各项均为负数的数列{an}中,已知2an=3an+1,且a2·a5=。 (1)求证:{an}是等比数列,并求出其通项公式; (2)试问-是这个等比数列中的项吗?如果是,指明是第几项;如果不是,请说明理由。 解　(1)证明:因为2an=3an+1,所以=,又an<0,故{an}是等比数列,且其公比为。 因为a1q·a1q4=, 所以=,又a1<0, 所以a1=-, 所以an=-n-1=-n-2。 (2)由(1)的结论,令-=-n-2,得4=n-2, 解得n=6,为正整数,则-是该数列的第6项。 13.设数列{an}的前n项和Sn=2an-2n。 (1)求a3,a4; (2)证明:{an+1-2an}是等比数列; (3)求{an}的通项公式。 解　(1)因为a1=S1,2a1=S1+2, 所以a1=2,S1=2。 由2an=Sn+2n,知 2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1, 所以an+1=Sn+2n+1。　① 所以a2=S1+22=2+22=6,S2=8,a3=S2+23=8+23=16,S3=24, a4=S3+24=40。 (2)证明:证法一:由题设和①式知an+1-2an=(Sn+2n+1)-(Sn+2n)=2n+1-2n=2n。 所以数列{an+1-2an}是首项为2,公比为2的等比数列。 证法二:由Sn=2an-2n,　② 得Sn+1=2an+1-2n+1。　③ ③-②,得an+1=2an+1-2n+1-2an+2n, 即an+1-2an=2n。 所以数列{an+1-2an}是首项为2,公比为2的等比数列。 (3)由(2),知an+1-2an=2n, 等号两端同时除以2n+1,得-=, 所以数列是以=1为首项,为公差的等差数列, 所以=1+(n-1), 即an=(n+1)·2n-1。 素养升级 14.(多选)已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q,则q可能的值是 (　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析　由题意可设三角形的三边分别为,a,aq(aq≠0)。因为三角形的两边之和大于第三边,所以①当q>1时,+a>aq,即q2-q-1<0,解得1<q<;②当0<q<1时,a+aq>,即q2+q-1>0,解得<q<1;③当q=1时符合题意。综上,q的取值范围是,,则可能的值是与。 答案　BC 15.若等差数列{an}满足a1+a2=10,a4-a3=2,则an=　　　　;若{bn}是等比数列,且b2=a3,b3=a7,b6=ak,则k=　　　　。  解析　由a4-a3=2知等差数列{an}的公差d=2,又a1+a2=2a1+d=10,故a1=4,则an=2n+2,所以b2=8,b3=16,得等比数列{bn}的公比q=2,b1=4。又b6=ak,故2k+2=4×26-1,解得k=63。 答案　2n+2　63 16.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(n∈N+)。 (1)求a1,a2,a3的值; (2)是否存在常数λ,使得{an+λ}为等比数列?若存在,求出λ的值和通项公式an,若不存在,说明理由。 解　(1)当n=1时,S1=a1=2a1-3,解得a1=3, 当n=2时,S2=a1+a2=2a2-6,解得a2=9, 当n=3时,S3=a1+a2+a3=2a3-9,解得a3=21。 (2)由Sn=2an-3n, 得Sn+1=2an+1-3(n+1), 两式相减,得an+1=2an+1-2an-3, 即an+1=2an+3,整理得an+1+3=2(an+3), 所以数列{an+3}是等比数列, 所以λ=3时,{an+3}是以a1+3=6为首项,公比q=2的等比数列,所以an+3=(a1+3)·2n-1=6·2n-1,an=3(2n-1)。 学科网（北京）股份有限公司 $$