课时达标检测(6)等差数列前n项和的性质及应用(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

课时达标检测(六)　等差数列前n项和的性质及应用 学生用书P079 基础达标 　 一、单项选择题 1.一个等差数列共有10项,其奇数项之和是,偶数项之和是15,则它的首项与公差分别是 (　　) A., B.,1 C.1, D.,2 解析　设等差数列为{an},首项为a1,公差为d,由S偶-S奇=5d=15-=,得d=。再由S10=10a1+×=15+,得a1=。 答案　A 2.设数列{an}是等差数列,且a2=-6,a8=6,Sn是数列{an}的前n项和,则 (　　) A.S6<S5 B.S4=S5 C.S4<S5 D.S6=S5 解析　由条件知解得所以an=2n-10,所以n=5时,a5=0,所以S4=S5。 答案　B 3.已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和S'n,如果=(n∈N+),则的值是 (　　) A.　　　 B. C.　　　 D. 解析　由等差数列前n项和的性质,得======。 答案　C 4.已知等差数列{an}的通项公式为an=2n+1,前n项和为Sn,则数列的前10项和为 (　　) A.120　　　B.100　　　 C.75　　　 D.70 解析　由题意,得Sn==n(n+2),所以=n+2,所以数列是首项为3,公差为1的等差数列,数列的前10项和为10×3+×1=75。 答案　C 5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S13>0,S14<0,若ak·ak+1<0,则k= (　　) A.6　　　　B.7　　　　C.21　　　 D.14 解析　因为{an}为等差数列,所以S13=13a7,S14=7(a7+a8),又S13>0,S14<0,所以a7>0,a8<0,a7·a8<0,所以k=7。故选B。 答案　B 6.若{an}是等差数列,首项a1>0,a2 005+a2 006>0,a2 005·a2 006<0,则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是 (　　) A.4 009 B.4 010 C.4 011 D.4 012 解析　因为a1+a4 010=a2 005+a2 006>0,所以S4 010>0。又因为a1>0,a2 005+a2 006>0,a2 005·a2 006<0,所以a2 006<0,所以S4 011=4 011·a2 006<0。故选B。 答案　B 二、多项选择题 7.已知{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且2a1+3a3=S6,则以下结论正确的是 (　　) A.a10=0 B.S10最小 C.S7=S12 D.S19=0 解析　因为2a1+3a3=S6,所以2a1+3a1+6d=6a1+15d,所以a1+9d=0,即a10=0,A正确;当d<0时,Sn没有最小值,B错误;S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,所以S12=S7,C正确;S19==19a10=0,D正确。 答案　ACD 8.设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,若a3=12,S12>0,S13<0,则下列结论正确的是 (　　) A.数列{an}是递增数列 B.S5=60 C.-<d<-3 D.S1,S2,…,S12中最大的是S6 解析　a3=a1+2d=12,将a1=12-2d代入S12=12a1+d>0,S13=13a1+d<0,化简求得-<d<-3,所以数列{an}是递减数列,故A不正确,C正确;因为S5=5a3=5×12=60,故B正确;由d<0可知a1>a2>…>a11>a12,则在1≤n≤12中若存在自然数n,使得an>0,an+1<0,则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值。由题意,得解得a6>0,a7<0。故S1,S2,…,S12中最大的是S6,D正确。故选BCD。 答案　BCD 三、填空题 9.已知数列{an}为等差数列,a3=7,a1+a7=10,Sn为其前n项和,则使Sn取到最大值的n=　　　　。  解析　设等差数列{an}的公差为d,由题意得故d=a4-a3=-2,an=a3+(n-3)d=7-2(n-3)=13-2n。令an>0,得n<6.5。所以在等差数列{an}中,其前6项均为正,其他各项均为负,于是使Sn取到最大值的n的值为6。 答案　6 10.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S4≠0,且S8=3S4,设S12=λS8,则λ=　　　　。  解析　因为Sn是等差数列{an}的前n项和,若S4≠0,且S8=3S4,S12=λS8,则由等差数列的性质得S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,所以2(S8-S4)=S4+(S12-S8),所以2(3S4-S4)=S4+(λ·3S4-3S4),解得λ=2。 答案　2 11.在等差数列{an}中,a10<0,a11>0,且a11>|a10|,则满足Sn<0的n的最大值为　　　　。  解析　因为a10<0,a11>0,且a11>|a10|,所以a11>-a10,a1+a20=a10+a11>0,所以S20=>0。又因为a10<0,所以S19==19a10<0,故满足Sn<0的n的最大值为19。 答案　19 四、解答题 12.在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-36,其前n项和为Sn。求Sn的最小值,并求出Sn取最小值时n的值。 解　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 因为a16+a17+a18=3a17=-36, 所以a17=-12,所以d==3, 所以an=a9+(n-9)·d=3n-63, an+1=3n-60, 令得20≤n≤21, 所以S20=S21=-630, 所以当n=20或n=21时,Sn取最小值为-630。 13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=9,S5=25。 (1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn; (2)设bn=(-1)nSn,求{bn}的前2n项和T2n。 解　(1)由题意,设等差数列{an}的公差为d,则 整理得解得 所以an=1+2(n-1)=2n-1,n∈N+, Sn==n2。 (2)由(1)知,bn=(-1)nSn=(-1)n·n2。 T2n=b1+b2+…+b2n =(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2n-1+b2n) =(-12+22)+(-32+42)+…+[-(2n-1)2+(2n)2] =[(2-1)×(2+1)]+[(4-3)×(4+3)]+…+[2n-(2n-1)]×[2n+(2n-1)] =1+2+3+4+…+(2n-1)+2n = =2n2+n。 素养升级 14.如图所示,北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层。上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块。下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块。已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石) (　　) A.3 699块 B.3 474块 C.3 402块 D.3 339块 解析　由题意知,由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列,记为{an},易知其首项a1=9,公差d=9,所以an=a1+(n-1)d=9n。设数列{an}的前n项和为Sn,由等差数列的性质知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等差数列,所以2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n,所以(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=S2n-2Sn=-2×=9n2=729,得n=9,所以三层共有扇面形石板(不含天心石)的块数为S3n===3 402,故选C。 答案　C 15.将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为　　　　。  解析　设bn=2n-1,cm=3m-2,令bn=cm,则2n-1=3m-2,即3m=2n+1,m必为奇数。令m=2t-1,则n=3t-2,t∈N+。所以at=b3t-2=c2t-1=6t-5,即an=6n-5,n∈N+。故{an}的前n项和Sn=×n=3n2-2n。 答案　3n2-2n 16.在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,5a1a3=(2a2+2)2。 (1)求d,an; (2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|。 解　(1)因为5a1a3=(2a2+2)2,a1=10,所以d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4。 故当d=-1时,an=-n+11;当d=4时,an=4n+6。 (2)设数列{an}的前n项和为Sn。 因为d<0,所以由(1)得d=-1,an=-n+11。 则当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+n; 当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=n2-n+110。 综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|= 学科网（北京）股份有限公司 $$