2.2.2等差数列的前n项和课件（第1课时）-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第二册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 数列 第1节 等差数列 2.2 等差数列的前n项和 第1课时（共2课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、了解等差数列前n项和公式的推导过程． 2、掌握等差数列前n项和公式及其应用． 3、掌握等差数列五个量a1，d，n，an，Sn的关系． 1、等差数列前n项和公式及其应用． 2、等差数列五个量a1，d，n，an，Sn的关系． 1、了解等差数列前n项和公式的推导过程． 2 新 知 引 入 对于一个数列，如果从第2项起,每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列。 称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示. 1、什么叫作等差数列？ 2、等差数列的通项公式是什么？ an=a1+(n-1)d 韦 达 3 新 知 引 入 数学王子——高斯 3、高斯：德国数学家，3岁能纠正父亲计算中的错误；10岁发现了算术级数的求和公式；11岁发现了二项式定理。19岁在进大学不久，就发明了只用圆规和直尺作出正17边形的方法，解决了两千年来悬而未决的几何难题。他一生共发表323篇（种）著作，提出了404项科学创见，完成了4项重要发明。 高斯八岁时进入乡村小学读书。教数学的老师是一个从城里来的人，觉得在一个穷乡僻壤教书，真是大材小用。这一天数学教师情绪低落，不想讲课，就说："你们今天替我算从1加2加3一直到100的和。谁算不出来就罚他不能回家吃午饭。"老师讲了这句话后就一言不发的拿起一本小说坐在椅子上看去了。教室里的小朋友们拿起石板开始计算："1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10……"，数越来越大，很不好算。 4 新 知 引 入 布 丰 4、同学们，你会怎么计算1+2+3+…+100呢？高斯又是怎么计算的呢？ 高斯的算法： （1+100）+（2+99）+…+(50+51)= . 高斯的算法实际上解决了求等差数列：1，2，3，…，前100项的和问题 5 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,其前n项和记作Sn, 则Sn=_________________________(※) 根据等差数列{an}的通项公式,上式可以写成 Sn=_________________________________________________① 再把(※)式中项的次序反过来,Sn又可以写成 Sn=___________________________________ =_________________________________________________② ①+②,得 2Sn=________________________________________________ =______________ a1+a2+a3+…+an a1+ (a1+d) + (a1十 2d)+…+[a1+(n-1)d] an+ (an-d) + (an-2d)+…+[an-(n-1)d] (a1+an) + (a1+an)+ (a1+an) +…+(a1+an) n(a1+an) an+an-1+an-2+…+a1 6 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 等差数列的前n项和 等差数列{an}的前n项和公式为 Sn = 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”． 这一求和的方法称为倒序相加法. 注意：1、 2、 3、 等差数列前n项的和等于首末两项的和与项数乘积的一半. 7 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、 已知数列{an}是等差数列. （1）若a1=7, =101,求； （2）若a1=2, = , 求； 解：因为a1=7, =101 ，根据公式， 可得=2700. 解：设公差为d,则 d = a2-a1 = - 2 = ∴a10 = a1+(10-1)d = 2+9× = ∴S10= = = 8 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练2、（1）求从1开始的连续n个正奇数的和. 解：因为正奇数数列是首项为1、公差为2的等差数列. 由等差数列前n项和公式，得 1+3+5+…+(2n-1)= =. 故从1开始的连续n个正奇数的和为. （2）在-20与40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为 ( 　　) A.200 B.100 C.90 D.70 解：设此等差数列为{an},则a1=-20,a10=40 所以S10 = = = 100 B 9 典 例 引 路 柯 西 例2、在数列{an}中，an=2n+3,求这个数列从第100项到第200项的和S的值。 解：∵an+1-an=[2(n+1)+3]-(2n+3)=2, ∴数列{an}是公差为2的等差数列， 此数列自第100项到第200项仍是等差数列.共有101项，所求和为 S = ×101 = ×101 = 30603. 因此,这个数列自第100项到第200项的和S的值为30603. 10 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且m<100}的元素个数, 并求这些元素的和. 解：∵7n＜100 ∴n＜ 又∵n是正整数 ∴n≤14 ∴集合M中的元素共有14个. 即7, 14, 21, … , 91, 98. ∴S14 = = 735 11 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 将an=a1+(n-1)d代入Sn= 中，得 Sn= ________________ = __________________ 等差数列的前n项和 等差数列{an}的前n项和公式为 Sn = nad 12 典 例 引 路 牛 顿 例3、（1）在等差数列{an}中:a5+a10=58,a4+a9=50,求S10; 解：设等差数列{an}的首项为a1,公差为d. 由已知得 ,解得  ∴S10 = 10a1+d = 10×3+45×4 = 210. (2)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S4=20,S6=12S2，则S8=     . 解：依题意得 ,解得 所以 S8 = 8× + ×3 = 88 13 同 步 练 习 黎 曼 练3、（1）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2=0,a4+a5=2，则S13=      . 解：依题意得 ，解得 a1= - , d = ∴S13 = 13×( - ) + × = 26 (2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24，则S9=         解：依题意得 ,解得 所以 S9 = 9× + ×2 = 63 14 典 例 引 路 皮 亚 诺 例4、 已知数列{an}是等差数列.若=，d= , = 5,求. 解:依题意得： ， 整理，得， 解得或（舍）,所以. 15 同 步 练 习 庞加莱 练4、等差数列－10, －6, －2, 2 , …前多少项的和是54? 解：设该数列为{an}, 前n项的和是54 , ∵a1=－10, d=－6－(－10)=4 , ∴-10n+×4=54 整理得 n2－6n－27=0. 解得 n=9, n=－3(舍). 因此等差数列－10, －6, －2, 2 , …前9项的和是54. 16 典 例 引 路 狄利克雷 例5、在我国古代,9是数字之极，代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成（如图）,最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板;从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块, 共有9圈.请问： （1）第9圈共有多少块石板？ （2）前9圈一共有多少块石板？ 解 ：（1）设从第1圈到第9圈的石板数所成数列 为{an},由题意可知数列{an}是等差数列，其中 首项a1=9,公差d=9,项数n=9. 由等差数列的通项公式，得 a9=a1 +(n-1)d=9 +(9-1)×9 = 81（块）. （2）由等差数列的前n项和公式，得 S9=na1+ =9×9+×9 = 405（块）. 因此，第9圈共有81块石板，前9圈一共有405块石板. 17 同 步 练 习 莱布尼兹 练5、在新城大道一侧A处，运来20棵新树苗.一名工人从A处起沿大道一侧路边每隔10 m栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵.要栽完这20棵树苗，并返回A处,植树工人共走了多少路程？ 解:植树工人每种一棵树并返回A处所要走的路程（单位:m）组成了一个数列 0,20,40,60,…，380, 这是首项a1=0,公差d=20,项数n=20的等差数列，其和 S20=20a1+ d=0+ ×20=3800（m）. 因此，植树工人共走了3800 m的路程. 18 典 例 引 路 华罗庚 例6、某抗洪指挥部接到预报,24 h后有一洪峰到达.为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,需调用20台同型号翻斗车,平均每辆工作24 h后方可筑成第二道防线.但目前只有一辆车投入施工，其余的需从高速公路沿线抽调，每隔20 mim能有一辆车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24 h内能否构筑成第二道防线? 解 从第一辆车投入工作算起,各车工作时间（单位:h）依次设为 a1,a2，…,a25. 这是一个等差数列，其中首项a1=24,公差d = - . 25辆车可以完成的工作量为 al+a2+…+a25=25a1+=25×24+=500. 需要完成的工作量为24×20 = 480. 因此，在24 h内能构筑成第二道防线. 19 同 步 练 习 陈景润 练6、某长跑运动员７天里每天的训练量（单位：m）是： 这位长跑运动员７天共跑了多少米？ 7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 解：∵每天的训练量是一个首项为7500，公差为500的等差数列 ∴S7=7×7500+×500=63000(米） 20 全 课 总 结 等差数列{an}的前n项和公式为 一、Sn = 二、Sn = na d 21 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 22 $