课时达标检测(5)等差数列的前n项和(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

课时达标检测(五)　等差数列的前n项和 学生用书P077 基础达标 　 一、单项选择题 1.已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+(n≥2,n∈N+),则数列{an}的前9项和等于 (　　) A.27　　　 B.　　　　C.45　　　　D.-9 解析　由题意知数列{an}是以1为首项,以为公差的等差数列,所以S9=9×1+×=9+18=27。 答案　A 2.在-20与40之间插入8个数,使这10个数成等差数列,则这10个数的和为 (　　) A.200 B.100 C.90 D.70 解析　S10==100。 答案　B 3.在等差数列{an}中,若S10=4S5,则等于 (　　) A. B.2 C. D.4 解析　由题意,得10a1+d=45a1+d,所以10a1+45d=20a1+40d,所以2a1=d,所以=。 答案　A 4.已知一个等差数列共n项,且其前4项之和为21,末4项之和为67,前n项和为286,则项数n为 (　　) A.24 B.26 C.25 D.28 解析　设该等差数列为{an},由题意,得a1+a2+a3+a4=21,an+an-1+an-2+an-3=67。又因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,所以4(a1+an)=21+67=88,所以a1+an=22。所以Sn==11n=286,所以n=26。 答案　B 5.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人。”其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人。”在该问题中的1 864人全部派遣到位需要的天数为 (　　) A.9 B.16 C.18 D.20 解析　根据题意设每天派出的人数组成数列{an},分析可得数列是首项a1=64,公差d=7的等差数列,该问题中的1 864人全部派遣到位的天数为n,则64n+·7=1 864,解得n=16(负值舍去)。 答案　B 6.《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著。在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推。在这个问题中,记这位公公的第n个儿子的年龄为an,则a1= (　　) A.23 B.32 C.35 D.38 解析　由题意可得儿子的岁数成等差数列,设公差为d,其中公差d=-3,S9=207,即S9=9a1+×(-3)=207,解得a1=35。 答案　C 二、多项选择题 7.Sn是等差数列{an}的前n项和,且S9=9S3,则{an}的通项公式可能是 (　　) A.an=4n-2 B.an=4n-1 C.an=6n+3 D.an=6n-3 解析　设等差数列{an}的公差为d,则由S9=9S3,得9a1+36d=9(3a1+3d),化简得d=2a1。若an=4n-2,则d=4,a1=2,符合题意;若an=4n-1,则a1=3,d=4,不符合题意;若an=6n+3,则a1=9,d=6,不符合题意;若an=6n-3,则a1=3,d=6,符合题意。 答案　AD 8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S7=a4,则 (　　) A.a1+a3=0 B.a3+a5=0 C.S3=S4 D.S4=S5 解析　由S7==7a4=a4,得a4=0,所以a3+a5=2a4=0,S3=S4,故选BC。 答案　BC 三、填空题 9.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=1,a3=3,则S8=　　　　。  解析　设等差数列{an}的公差为d,由题意,得解得a1=-1,d=2。所以S8=8a1+d=8×(-1)+×2=48。 答案　48 10.等差数列{an}的前n项和为Sn,若6S5-5S3=5,则a4=　　　　。  解析　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则由6S5-5S3=5,得3(a1+3d)=1,所以a4=。 答案　 11.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=18,Sn=240,an-4=30,则n=　　　　。  解析　因为S9==9a5=18,所以a5=2,又Sn===240,所以n=15。 答案　15 四、解答题 12.已知等差数列{an}的前3项依次为a,4,3a,前k项和Sk=2 550,求a及k。 解　设等差数列{an}的公差为d, 则由题意,得 解得所以a=2,k=50。 13.已知等差数列{an}的公差d>0。设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36。 (1)求d及Sn; (2)求m,k(m,k∈N+)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65。 解　(1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36, 将a1=1代入上式解得d=2或d=-5。 因为d>0,所以d=2。 从而an=2n-1,Sn=n2(n∈N+)。 (2)由(1)得,am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)(k+1), 所以(2m+k-1)(k+1)=65。 由m,k∈N+知2m+k-1≥k+1>1, 故解得 即所求m的值为5,k的值为4。 素养升级 14.已知命题:“在等差数列{an}中,若4a2+a10+a(　)=24,则S11为定值”为真命题,由于印刷问题,括号处的数模糊不清,可推得括号内的数为 (　　) A.15 B.24 C.18 D.28 解析　设括号内的数为n,则4a2+a10+a(n)=24,即6a1+(n+12)d=24。又因为S11=11a1+55d=11(a1+5d)为定值,所以a1+5d为定值,所以=5,解得n=18。 答案　C 15.在等差数列{an}中,前m(m为奇数)项和为135,其中偶数项之和为63,且am-a1=14,则m=　　　　,a100=　　　　。  解析　因为在前m项中偶数项之和为S偶=63,所以奇数项之和为S奇=135-63=72,设等差数列{an}的公差为d,则S奇-S偶==72-63=9。又因为am=a1+d(m-1),所以=9,因为am-a1=14,所以a1=2,am=16。因为=135,所以m=15,所以d==1,所以a100=a1+99d=101。 答案　15　101 16.设Sn是数列{an}的前n项和,n∈N+,任意项an>0,且Sn=+an-。 (1)证明:{an}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式。 解　(1)证明:当n=1时,a1=S1=+a1-,解得a1=3或a1=-1(舍去)。 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(+2an-3)-(+2an-1-3), 所以4an=-+2an-2an-1, 即(an+an-1)(an-an-1-2)=0, 因为an+an-1>0, 所以an-an-1=2(n≥2)。 所以数列{an}是以3为首项,2为公差的等差数列。 (2)由(1)知an=3+2(n-1)=2n+1。 学科网（北京）股份有限公司 $$