1.3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

§3　等比数列 3.1　等比数列的概念及其通项公式 第1课时　等比数列的概念及其通项公式 　　 我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”:“今有出门,望见九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色,问各有几何?” “出门望九堤”问题构成的数列为91,92,93,…,98,这就是本节所要学习的等比数列。 1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义。 2.体会等比数列与指数函数的关系。 1.等比数列的定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比值都是同一个常数,那么称这样的数列为等比数列,称这个常数为等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0)。 2.等比数列的通项公式 若首项是a1,公比是q,则等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0)。 3.等比中项 如果在a与b之间插入一个数G,使得a,G,b成等比数列,那么根据等比数列的定义,=,G2=ab,G=±。我们称G为a,b的等比中项。 微提醒 1.“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”。 2.只有同号的两个数才有等比中项,等比中项有两个,它们互为相反数这一点与等差数列不同。 微思考 1.定义中为什么“从第2项起”,从第1项起可以吗? 提示:不可以。因为数列的第1项没有前一项,因此必须“从第2项起”。 2.等比数列的通项公式an=a1qn-1与指数函数f(x)=ax(a>0,a≠1)有什么联系? 提示:an=a1·qn-1=·qn,当q>0且q≠1时,等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值,即an=f(n)。数列{an}图象上的点(n,an)都在函数f(x)的图象上。反之指数函数f(x)=ax=a·ax-1(a>0,a≠1)可以构成一个首项为a,公比为a的等比数列{an}。 类型一 等比数列的通项公式及应用 　　【例1】　在等比数列{an }中, (1)已知a3=9,a6=243,求a5。 (2)已知a1=,an=,q=,求n。 解　(1)解法一:由a3=9,a6=243, 得a1q2=9,a1q5=243。 所以q3==27,所以q=3。所以a1=1。 所以a5=a1q4=1×34=81。 解法二:因为a6=a3q3, 所以q3===27, 所以q=3。 所以a5=a3q2=9×32=81。 (2)因为a1=,q=,an=, 所以=×。 所以==。 所以n-1=3,所以n=4。 　　已知等比数列{an}的某两项的值,求该数列的其他项或求该数列的通项公式常用方程思想,通过已知可以得到关于a1和q的两个方程,从而解出a1和q,再求其他项或通项公式 【变式训练】　在等比数列{an}中, (1)已知an=128,a1=4,q=2,求n。 (2)已知an=625,n=4,q=5,求a1。 (3)已知a1=2,a3=8,求公比q和通项公式。 解　(1)因为an=a1·qn-1, 所以4·2n-1=128, 所以2n-1=32=25, 所以n-1=5,n=6。 (2)a1===5。 (3)a3=a1·q2,即8=2q2, 所以q2=4,所以q=±2。 当q=2时,an=a1qn-1=2×2n-1=2n, 当q=-2时,an=a1qn-1=2×(-2)n-1 =(-1)n-1×2n, 所以数列{an}的公比为2或-2, 对应的通项公式分别为an=2n或an=(-1)n-12n。 类型二 等比中项 　　【例2】　(1)(多选)已知a是1,2的等差中项,b是-1,-16的等比中项,则ab= (　　) A.6 B.-6 C.12 D.-12 解析　依题意知2a=1+2,b2=(-1)×(-16),解得a=,b=±4,所以ab=±6。 答案　AB (2)有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数,第一个数与第四个数的和为21,中间两个数的和为18,求这四个数。 解　设前三个数分别为,a,aq(q≠0),则第四个数为2aq-a。 由题意得解得q=2或q=。 当q=2时,a=6,这四个数为3,6,12,18; 当q=时,a=,这四个数为,,,。 　　解决已知三个数或四个数成等比数列的问题,灵活地设项至关重要。一般地,当三个数成等比数列时,可设为,a,aq,此时公比为q;当四个数成等比数列时,可设为,,aq,aq3,此时公比为q2。在解题中要特别注意,若四个数成公比为负数的等比数列,则不可如此设项,可设为,-,aq,-aq3,此时公比为-q2 【变式训练】　(1)(多选)如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么 (　　) A.b=3 B.b=-3 C.ac=9 D.ac=-9 解析　因为b是-1,-9的等比中项,所以b2=9,b=±3。 由等比数列奇数项符号相同,得b<0,故b=-3,而b又是a,c的等比中项,故b2=ac,即ac=9。 答案　BC (2)等比数列{an }的前3项之和为168,a2-a5=42,求a5与a7的等比中项。 解　设等比数列{an}的首项为a1,公比为q。 因为a2-a5=42,所以q≠1。 由已知得 即 因为1-q3=(1-q)(1+q+q2), 所以由②除以①,得q(1-q)=, 所以q=。所以a1==96。 设G是a5,a7的等比中项, 则G2=a5a7==q10=962×10=9,即G=±3。 所以a5与a7的等比中项是±3。 类型三 等比数列的判断与证明 　　【例3】　(1)判断下列数列是否为等比数列。 ①1,3,32,33,…,3n-1,…; ②-1,1,2,4,8,…; ③a1,a2,a3,…,an,…。 解　①记数列为{an}, 显然a1=1,a2=3,…,an=3n-1,…。 因为==3(n≥2,n∈N+), 所以此数列为等比数列,且公比为3。 ②记数列为{an}, 显然a1=-1,a2=1,a3=2,…, 因为=-1≠=2, 所以此数列不是等比数列。 ③当a=0时,数列为0,0,0,…是常数列,不是等比数列; 当a≠0时,数列为a1,a2,a3,…,an,…,显然此数列为等比数列,且公比为a。 (2)已知数列{an}满足a1=5,an=an-1+1(n≥2),bn=an-3。 ①求证:{bn}为等比数列; ②求{an}的通项公式。 解　①证明:由an=an-1+1(n≥2),得an-3=(an-1-3)。 因为bn=an-3,所以bn-1=an-1-3, 所以bn=bn-1,又b1=a1-3=2,故数列{bn}是首项为2,公比为的等比数列。 ②由①知bn=2·n-1,即an-3=2·n-1, 故an=3+2·n-1,又a1=5符合此式, 所以数列{an}的通项公式为an=3+2·。 　　(1)判断或证明一个数列是等比数列的主要方法如下: ①定义法:若当n∈N+时,=q(q≠0,q为常数),则数列{an}为等比数列。 ②等比中项法:若=anan+2(anan+2≠0,n∈N+),则数列{an}为等比数列。 ③通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=cqn(cq≠0),则数列{an}为等比数列。 (2)一般地,若数列{an}满足递推公式an=kan-1+b(k,b∈R,k≠1),则可构造等比数列,通过该等比数列的通项公式即可求得{an}的通项公式 【变式训练】　已知数列{an}中,a1=,an+1=an+n+1。 (1)令bn=an-3n,求证:数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式。 解　(1)证明:因为bn+1=an+1-3n+1 =an+n+1-3n+1 =an-n=an-3n =bn, 所以bn+1=bn, 所以数列{bn}是首项b1=a1-=-,公比q=的等比数列。 (2)bn=b1qn-1=-·n-1, 即an-3n=-n-1, an=3n-2n,又a1=符合此式, 所以数列{an }的通项公式是an=3n-2n。 1.(多选)下列数列为等比数列的是 (　　) A.1,2,4,8,… B.22,42,62,82,… C.q-1,(q-1)2,(q-1)3,(q-1)4,… D.,,,,… 解析　A选项是等比数列;B选项中,因为≠,所以该数列不是等比数列;C选项中,当q=1时,数列为0,0,0,…,不是等比数列;D选项中的数列是首项为,公比为的等比数列。故选AD。 答案　AD 2.在等比数列{an}中,已知a5+a1=34,a5-a1=30,则a3= (　　) A.8　　　B.-8　　　C.±8　　　D.16 解析　由a5+a1=34,a5-a1=30,得a1=2,a5=32,所以公比q4==16,所以q2=4,所以a3=a1q2=2×4=8。 答案　A 3.若等比数列的首项为4,公比为2,则数列中第3项与第5项的等比中项为　　　　。  解析　因为a3=4×22=16,a5=4×24=64,所以a3与a5的等比中项为±=±32。 答案　±32 4.若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=4an+1(n∈N+),则数列{an}的通项公式为　　　　　　　　　。  解析　由Sn=4an+1,得Sn-1=4an-1+1(n≥2),两式相减,得an=4an-4an-1,即3an=4an-1,所以=(n≥2),因此数列{an}是公比为的等比数列。又a1=4a1+1,a1=-,故an=-·n-1。 答案　an=-·n-1 5.若等比数列{an}的各项均为正数,且前3项依次为1,a+1,2a+5。 (1)求该数列的通项公式; (2)判断728是不是该数列中的项。 解　(1)依题意,得(a+1)2=2a+5, 解得a=2(a=-2舍去)。 于是公比q==3, 故通项公式为an=3n-1。 (2) 令3n-1=728,解得n=log3728+1,因为log3 728+1∉N+,所以728不是该数列中的项。 学科网（北京）股份有限公司 $$