1.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 　　等差数列的前n项和公式是一个关于n的函数,那么这个函数和二次函数有什么关系呢?等差数列的前n项和公式又具有什么独特的性质呢?这一节我们就来研究一下这些问题。 1.掌握等差数列与其前n项和Sn有关的一些性质,能熟练运用这些性质解题; 2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值。 等差数列前n项和的常用性质 性质1:等差数列的依次k项之和仍然是等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k,…成等差数列,且公差为k2d。 性质2:是等差数列。 性质3:若{an}和{bn}均为等差数列,前n项和分别是Sn和Tn,已知,则有=。 性质4:(1)项数为2n的等差数列{an},有S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=nd,=。 (2)项数为2n+1的等差数列{an},有S2n+1=(2n+1)an+1(an+1为中间项),S奇-S偶=an+1,=。 微思考 1.在等差数列{an}中,若a1>0,d>0或a1<0,d<0时,Sn能否取得最值? 提示:当a1>0,d>0时,Sn的最小值为a1,无最大值;当a1<0,d<0时,Sn的最大值为a1,无最小值。 2.若数列{an}的通项公式为an=2n-37,则当n为何值时Sn取得最小值? 提示:因为an=2n-37,an+1-an=2>0,所以{an}为递增数列。由an=2n-37≥0。得n≥18.5。所以a18<0,a19>0,所以S18最小,即当n=18时,Sn取得最小值。 类型一 等差数列前n项和的性质应用 　　【例1】　(1)等差数列前n项的和为30,前2n项的和为100,则它的前3n项的和为 (　　) A.130　　　B.170　　　C.210　　　　D.260 解析　由等差数列前n项和的性质:Sn,S2n -Sn,S3n-S2n成等差数列,得Sn+(S3n-S2n)=2(S2n-Sn),即30+(S3n-100)=2×(100-30),解得S3n=210。 答案　C (2)等差数列{an}共有2n+1项,所有的奇数项之和为132,所有的偶数项之和为120,则n等于　　　　;  解析　因为等差数列共有2n+1项,所以S奇-S偶=an+1=,即132-120=,解得n=10。 答案　10 (3)已知{an},{bn}均为等差数列,其前n项和分别为Sn,Tn,且=,则=　　　　。  解析　由等差数列前n项和的性质,知=====。 答案　 　　运用等差数列前n项和的性质可以优化解题过程,是解题的重要工具,所以对于性质要理解记忆并灵活应用 【变式训练】　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4=8,S8=20,则a11+a12+a13+a14= (　　) A.18　　　B.17　　　C.16　　　D.15 解析　设{an}的公差为d,则a5+a6+a7+a8=S8-S4=12,(a5+a6+a7+a8)-S4=4=16d,解得d=,a11+a12+a13+a14=S4+40d=18。 答案　A (2)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=100,S100=10,则S110=　　　　。  解析　由等差数列的性质可知,S10,S20-S10,S30-S20,…成等差数列,且S110-S100是该数列的第11项,设该数列的公差为d,则前10项的和为:10×100+·d=S10+(S20-S10)+(S30-S20)+…+(S100-S90)=S100=10,得d=-22。所以S110-S100=S10+10d=100-10×22=-120。所以S110=-120+S100=-110。 答案　-110 类型二 等差数列前n项和的最值问题 　　【例2】　在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最大值。 解　解法一:因为S9=S17,a1=25, 所以9×25+d=17×25+d,解得d=-2。 所以Sn=25n+×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169。 所以当n=13时,Sn有最大值169。 解法二:同解法一,求出公差d=-2。 所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27。 因为a1=25>0, 由得 又因为n∈N+,所以当n=13时,Sn有最大值169。 解法三:同解法一,求出公差d=-2。 因为S9=S17,所以a10+a11+…+a17=0。 由等差数列的性质,得a13+a14=0。 所以a13>0,a14<0。 所以当n=13时,Sn有最大值169。 解法四:同解法一,求出公差d=-2。 设Sn=An2+Bn。 因为S9=S17, 所以二次函数对称轴为n==13,且开口方向向下, 所以当n=13时,Sn取得最大值169。 　　求解等差数列{an}的前n项和Sn最值问题的常用方法 (1)二次函数法:即先求得Sn的表达式,然后配方。若对称轴恰好为正整数,则就在该处取得最值;若对称轴不是正整数,则应在离对称轴最近的正整数处取得最值,有时n的值有两个,有时可能为1个。 (2)不等式法: ①当a1>0,d<0时,由⇒Sm为最大值; ②当a1<0,d>0时,由⇒Sm为最小值 【变式训练】　已知等差数列{an}中,a1=9,a4+a7=0。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)当n为何值时,数列{an}的前n项和取得最大值? 解　(1)由a1=9,a4+a7=0, 得a1+3d+a1+6d=0,解得d=-2, 所以an=a1+(n-1)d=11-2n。 (2)解法一:由(1)知a1=9,d=-2, Sn=9n+×(-2)=-n2+10n=-(n-5)2+25, 所以当n=5时,Sn取得最大值。 解法二:由(1)知a1=9,d=-2<0, 所以{an}是递减数列。 令an≥0,则11-2n≥0,解得n≤。 因为n∈N+,所以n≤5时,an>0,n≥6时,an<0。 所以当n=5时,Sn取得最大值。 类型三 求{|an|}的前n项和 　　【例3】　在等差数列{an}中,a1=60,a17=12,求数列{|an|}的前n项和。 解　等差数列{an}的公差为d===-3,故通项公式为an=a1+(n-1)d=60+(-3)×(n-1)=63-3n。 令an≥0,即63-3n≥0,解得n≤21,即数列的前21项是非负数,从第22项开始都是负数。 设Sn,Tn分别表示数列{an}与数列{|an|}的前n项和, 则Sn==-n2+n。 当n≤21时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+n; 当n≥22时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a21|+|a22|+…+|an| =a1+a2+…+a21-(a22+…+an) =S21-(Sn-S21)=2S21-Sn。 由S21=-×212+×21=630, 得Tn=2×630--n2+n=n2-n+1 260。 故Tn= 　　由于数列{|an|}在n≤21时为等差数列,在n≥22时已不是等差数列,因此应分段求其前n项和。在求当n≥22时的前n项和时,巧妙地利用Tn=S21-(Sn-S21)=2S21-Sn,比分前后两部分分别求和要简捷得多。 求解此题还需要注意以下两点: (1)本题容易出错的地方是当n≤21时,直接把S21当作Sn,实际上当n≤21时n是一个变量,它可以取1到21之间的任意一个正整数; (2)当所求的前n项和的表达式不能用统一的形式表示时,其结果务必要写成分段的形式 【变式训练】　在等差数列{an}中,Sn为其前n项和。若S2=16,S4=24,求数列{|an|}的前n项和Tn。 解　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 由S2=16,S4=24,得解得所以等差数列{an}的通项公式为an=11-2n(n∈N+)。 ①当n≤5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=-n2+10n; ②当n≥6时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5-a6-a7-…-an=2S5-Sn=2×(-52+10×5)-(-n2+10n)=n2-10n+50。 故Tn= 等差数列综合题鉴赏 【典例】　(1)若数列{an}是等差数列,首项a1>0,公差d<0,且a2 019(a2 018+a2 019)>0,a2 020(a2 019+a2 020)<0,则使数列{an}的前n项和Sn>0成立的最大自然数n是 (　　) A.4 039　　B.4 038　　C.4 037　　　D.4 036 【解析】　由题意得数列{an}是递减数列,由a2 019·(a2 018+a2 019)>0,且a2 020(a2 019+a2 020)<0,可得a2 019>0,a2 020<0,且|a2 019|>|a2 020|,a2 019+a2 020>0,所以S4 039=4 039a2 020<0,S4 038=4 038×=2 019(a2 019+a2 020)>0,所以使数列{an}的前n项和Sn>0成立的最大自然数n是4 038。 【答案】　B (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2=10,S5=55,则过点Pn,,Qn+2,(n∈N+)的直线的斜率为 (　　) A.4　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.1 【解析】　因为数列{an}为等差数列,所以数列也是等差数列,则数列的图象是一条直线上的一些等间隔的点,因此经过P,Q两点的直线必经过点2,与5,,故直线PQ的斜率k===2,故选C。 【答案】　C 　　典例(1)应用了等差数列的项与前n项和的关系及“若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”“Sn=”的性质进行解题。典例(2)应用了等差数列{an}的前n项和Sn的性质:是等差数列 【变式训练】　(多选)在等差数列{an}中,首项a1>0,公差d≠0,前n项和为Sn(n∈N+),则下列命题正确的是 (　　) A.若S3=S11,则必有S14=0 B.若S3=S11,则S7是{Sn}中的最大项 C.若S7>S8,则必有S8>S9 D.若S7>S8,则必有S6<S9 解析　根据等差数列的性质,若S3=S11,则S11-S3=4(a7+a8)=0,则a7+a8=0,S14==7(a7+a8)=0,A正确;根据Sn的图象,当S3=S11时,对称轴是n==7,且d<0,那么S7是{Sn}中的最大项,B正确;若S7>S8,则a8<0,且d<0,所以a9<0,所以S9-S8<0,即S8>S9,C正确;S9-S6=a7+a8+a9=3a8<0,即S6>S9,D不正确。 答案　ABC 1.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为 (　　) A.5　　　　B.4　　　　C.3　　　　D.2 解析　由题知S偶-S奇=5d,所以d==3。 答案　C 2.一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为120°,公差为5°,那么这个多边形的边数n等于 (　　) A.12 B.16 C.9 D.16或9 解析　设凸多边形的内角组成的等差数列为{an},则an=120+5(n-1)=5n+115,由an<180,得n<13且n∈N+。由n边形内角和定理得,(n-2)×180=n×120+×5,解得n=16或n=9。因为n<13,所以n=9。 答案　C 3.若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N+),则数列{an}的前n项和数值最大时,n的值为 (　　) A.6 B.7 C.8 D.9 解析　因为an+1-an=-3,所以数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列,所以an=19+(n-1)×(-3)=22-3n。设前k项和最大,则有所以所以≤k≤。因为k∈N+,所以k=7。故满足条件的n的值为7。 答案　B 4.设项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,则这个数列的中间项是　　　　,项数是　　　　。  解析　设等差数列{an}的项数为2n+1,则S奇=a1+a3+…+a2n+1==(n+1)an+1,S偶=a2+a4+a6+…+a2n==nan+1,所以==,解得n=3,所以项数2n+1=7,S奇-S偶=an+1,即a4=44-33=11为所求中间项。 答案　11　7 5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2 020>0,S2 021<0,则当n=　　　　时,Sn最大。  解析　由等差数列的性质知,S2 021==2 021a1 011<0,所以a1 011<0。又S2 020==1 010(a1 010+a1 011)>0,所以a1 010+a1 011>0,而a1 011<0,故a1 010>0。因此当n=1 010时,Sn最大。 答案　1 010 学科网（北京）股份有限公司 $$