1.2.2 第1课时 等差数列的前n项和(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

2.2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和 　　 泰姬陵坐落于印度古都阿格拉,是17世纪莫卧儿皇帝沙·贾汗为纪念其爱妃所建,被评为世界新七大奇迹之一。它的主体建筑由纯白色大理石砌建而成,陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层(如图)。那么这个图案一共用了多少颗宝石呢?这就涉及到了本节所要学习的知识。 1.理解等差数列前n项和公式的推导过程; 2.掌握等差数列前n项和公式; 3.熟练掌握等差数列的五个量a1,d,n,an,Sn的关系。 等差数列的前n项和公式 等差数列{an}的前n项和公式为Sn=。 这个公式表明:等差数列前n项的和等于首末两项的和与项数乘积的一半。 将an=a1+(n-1)d代入上式,得Sn=na1+d。 微提醒 对于等差数列的前n项和公式应注意以下两点。 (1)推导方法为首尾配对求和法和倒序相加法,其中倒序相加法避开了分类讨论。 (2)Sn=与Sn=na1+d均为等差数列的前n项和公式,注意灵活选择、应用。当已知a1,an时,多用Sn=;当已知a1,d时,多用Sn=na1+d。 微思考 1.等差数列的前n项和公式中共含有几个基本量?你认为需要知几个量,才能求得其他量?判断的依据是什么? 提示:含有a1,d,an,n,Sn,共五个基本量。需要知道三个量,才能求得其他量。判断的依据是方程组思想。 2.等差数列前n项和公式中的意义是什么? 提示:=,即等差数列前n项的平均数。 3.若数列{an}是等差数列,则S2n+1与an+1有什么关系? 提示:S2n+1=(2n+1)an+1。 类型一 等差数列前n项和的计算 　　【例1】　(1)在等差数列{an}中,a4=9,a9=-6,若Sn=63,求n的值。 解　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 则解得 所以Sn=18n-n(n-1)=63, 解得n=6或n=7。 故n的值为6或7。 (2)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S12=84,S20=460,求S28。 解　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则Sn=na1+d。 将S12=84,S20=460分别代入, 得 解得 所以S28=28a1+d=28×(-15)+14×27×4=1 092。 　　等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1,d,n,an和Sn,这五个量可以“知三求二”。一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组,解出a1和d,便可解决问题。解题时注意整体代换的思想。 (2)结合等差数列的性质解题 等差数列的常用性质:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq,常与求和公式Sn=结合使用 【变式训练】　(1)(多选)在等差数列{an}中,d=2,an=11,Sn=35,则a1= (　　) A.5　　　　B.3　　　　C.7　　　　D.-1 解析　a1+(n-1)×2=11　①,Sn=na1+×2=35　②,由①②解得a1=3或a1=-1。 答案　BD (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,a8+a10=28,则S9= (　　) A.36 B.72 C.144 D.288 解析　解法一:因为a8+a10=2a1+16d=28,a1=2,所以d=,所以S9=9×2+×=72。 解法二:因为a8+a10=2a9=28,所以a9=14,所以S9==72。 答案　B 类型二 利用an与Sn的关系解决问题 　　【例2】　已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n,求这个数列的通项公式。这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 解　根据Sn=a1+a2+…+an-1+an可知,Sn-1=a1+a2+…+an-1(n>1,n∈N+), 当n>1时, an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2+(n-1)=2n-,　① 当n=1时,a1=S1=12+×1=,满足①式。 所以数列{an}的通项公式为an=2n-。 因为an+1-an=2(n+1)--2n-=2, 故数列{an}是以为首项,2为公差的等差数列。 　　一般地,an与Sn有如下关系 an= an=Sn-Sn-1并非对所有的n∈N+都成立,而只对n≥2的正整数成立。由Sn求通项公式an时,要分n=1和n≥2两种情形,然后验证n=1时是否满足n≥2的解析式,若不满足,则用分段函数的形式表示 【变式训练】　已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+1,试判断{an}是否是等差数列。 解　当n=1时,代入可得a1=S1=4, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1 =n2+2n+1-[(n-1)2+2(n-1)+1] =2n+1, 经验证当n=1时,a1=4不符合上式, 故an= 当n≥2时,an+1-an=2(n+1)+1-(2n+1)=2, 又a2-a1=1,所以{an}不是等差数列。 类型三 等差数列前n项和的实际应用 　　【例3】　某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1 150元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%。若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花费多少钱? 解　设每次交款数额依次为a1,a2,…,a20, 则a1=50+1 000×1%=60, a2=50+(1 000-50)×1%=59.5,… a10=50+(1 000-9×50)×1%=55.5, 即第10个月应付款55.5元。 由于{an}是以60为首项,以-0.5为公差的等差数列, 所以有S20=×20=1 105, 即全部付清后实际付款1 105+150=1 255(元)。 　　等差数列前n项和的实际应用的解题策略 建立等差数列的模型时,要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数 【变式训练】　《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女子不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今三十日织迄,问织几何。”其大意为:有个女子不善于织布,每天比前一天少织同样多的布,第一天织五尺,最后一天织一尺,三十天织完,问三十天共织布 (　　) A.30尺 B.90尺 C.150尺 D.180尺 解析　由题意知,该女子每天织布的数量构成等差数列{an},其中a1=5,a30=1,所以S30==90,即该女子三十天共织布90尺。 答案　B 1.在等差数列{an}中,S10=120,则a2+a9= (　　) A.12　　　　B.24　　　　C.36　　　　D.48 解析　S10==5(a2+a9)=120。所以a2+a9=24。 答案　B 2.已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+3n,若ak+1=-16,则k的值等于 (　　) A.9 B.8 C.7 D.6 解析　当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+3n+(n-1)2-3(n-1)=-2n+4。又a1=S1=2也适合上式,所以an=-2n+4(n∈N+),由ak+1=-16,得-2(k+1)+4=-16,解得k=9。 答案　A 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且2S3-3S2=12,则数列{an}的公差是　　　　。  解析　设数列{an}的公差为d。由2S3-3S2=2(3a1+3d)-3(2a1+d)=3d=12,解得d=4。 答案　4 4.在等差数列{an}中,an>0,a7=a4+4,Sn为数列{an}的前n项和,则S19=　　　　。  解析　因为在等差数列{an}中,an>0,a7=a4+4,所以a1+6d=(a1+3d)+4,解得a1+9d=a10=8,因为Sn为数列{an}的前n项和,所以S19=(a1+a19)=19a10=152。 答案　152 5.已知等差数列{an}中, (1)a5+a10=58,a4+a9=50,求S10。 (2)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求d。 解　(1)解法一:由已知条件,得 解得 所以S10=10a1+d=10×3+×4=210。 解法二:由已知条件,得 所以a1+a10=42, 所以S10==5×42=210。 (2)由Sn===-1 022, 解得n=4。 又由an=a1+(n-1)d, 即-512=1+(4-1)d, 解得d=-171。 学科网（北京）股份有限公司 $$