1.2.1 第2课时 等差数列的性质及应用(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

第2课时　等差数列的性质及应用 　　同学们,前面我们学习了等差数列的概念,明白了等差数列是一种特殊的函数。在学习过程中,我们发现了一个非常有意思的事情,比如说an=n,这是一个正整数数列,如果我们把所有的偶数拿出来,即2,4,6,8,10,…容易发现这也是一个等差数列,同样,如果我们把所有的奇数拿出来,也能构成一个新的数列。今天我们就具体研究等差数列有哪些性质。 1.能利用等差数列的定义推出等差数列的性质; 2.掌握等差数列的性质,并可以灵活运用性质解决问题。 等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列,且m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq。 ①特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N+)时,am+an=2ak。 ②对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和,即a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1。 (2)an=am+(n-m)d(m,n∈N+)。 (3)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列。 (4)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)是公差为md的等差数列。 类型一 an=am+(n-m)d的应用 　　【例1】　在等差数列{an}中,已知a2=5,a8=17,求数列的公差及通项公式。 解　设等差数列{an}的公差为d, 因为a8=a2+(8-2)d, 所以17=5+6d,解得d=2。 又因为an=a2+(n-2)d, 所以an=5+(n-2)×2=2n+1,n∈N+。 　　灵活利用等差数列的性质,可以减少运算量。令m=1,an=am+(n-m)d即变为an=a1+(n-1)d,可以减少记忆负担 【变式训练】　已知{bn}为等差数列,若b3=-2,b10=12,则b8=　　　　。  解析　解法一:因为{bn}为等差数列,所以可设其公差为d,则d===2,所以bn=b3+(n-3)d=2n-8。所以b8=2×8-8=8。 解法二:由=d,得b8=×(8-3)+b3=2×5+(-2)=8。 答案　8 类型二 其他性质的应用 　　【例2】　(1)已知等差数列{an},a5=10,a15=25,求a25的值。 解　解法一:设{an}的公差为d, 则解得 故a25=a1+24d=4+24×=40。 解法二:因为5+25=2×15, 所以在等差数列{an}中有a5+a25=2a15, 从而a25=2a15-a5=2×25-10=40。 解法三:因为5,15,25成等差数列, 所以a5,a15,a25也成等差数列, 因此a25-a15=a15-a5, 即a25-25=25-10,解得a25=40。 (2)已知等差数列{an},a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值。 解　由等差数列的性质, 得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9, 所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70, 于是a5=14,故a1+a9=2a5=28。 (3)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值。 解　令cn=an-bn, 因为{an},{bn}都是等差数列, 所以{cn}也是等差数列, 设其公差为d, 由已知,得c1=a1-b1=5,c7=17, 则5+6d=17,解得d=2, 故a19-b19=c19=5+18×2=41。 　　解决等差数列运算问题的一般方法:一是灵活运用等差数列{an}的性质;二是利用通项公式,转化为等差数列的首项与公差的求解,属于通用方法;三是兼而有之。这些方法都运用了整体代换与方程的思想 【变式训练】　(1)等差数列{an}中,已知a2+a3+a10+a11=36,则a5+a8=　　　　。  解析　根据等差数列的性质可得a5+a8=a2+a11,a5+a8=a3+a10,所以a5+a8=(a2+a3+a10+a11)=×36=18。 答案　18 (2)若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a=　　　　。  解析　设公差为d,则d==,所以c-a=2d=。 答案　 (3)已知数列{an}为等差数列,若a2+a5+a8=9,a3a5a7=-21,试求数列{an}的通项公式。 解　因为a2+a5+a8=9, 由a2+a8=2a5,得3a5=9。 所以a5=3。 又a3+a7=a2+a8,a3a5a7=-21。 所以 所以a3,a7是方程x2-6x-7=0的两个根。 解方程得x=-1或x=7。 所以a3=-1,a7=7或a3=7,a7=-1。 所以公差d==2或d=-2。 所以an=a3+(n-3)d=2n-7或an=-2n+13。 所以数列{an}的通项公式为an=2n-7或an=-2n+13。 类型三 等差数列的实际应用 　　【例3】　中国历法推测遵循以算为主、以测为辅的原则。例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中,冬至和夏至的晷影长是实测得到的,其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的。下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录,其中115.1寸表示115寸1分(1寸=10分)。 节气 冬至 小寒 (大雪) 大寒 (小雪) 立春 (立冬) 雨水 (霜降) 惊蛰 (寒露) 春分 (秋分) 晷影 长/寸 135.0 125. 115.1 105.2 95.3 85.4 75.5 节气 清明 (白露) 谷雨 (处暑) 立夏 (立秋) 小满 (大暑) 芒种 (小暑) 夏至 晷影 长/寸 65.5 55.6 45.7 35.8 25.9 16.0 　　已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸,夏至晷影长为14.8寸,那么《易经》中小寒与清明之间的晷影长之差为 (　　) A.105.6寸 B.48寸 C.57.6寸 D.67.2寸 解析　设晷影长构成等差数列{an},公差为d,则a1=130.0,a13=14.8,d==-9.6,故小寒与清明之间的晷影长之差即为a2-a8=-(a8-a2)=-6d=57.6。 答案　C 　　解决实际应用问题,首先要认真领会题意,根据题目条件,寻找有用的信息,若一组数按次序“定量”增加或减少时,则这组数成等差数列。 合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键,在解题过程中,一定要分清首项、项数等关键的问题 【变式训练】　古代中国数学辉煌灿烂,在《张丘建算经》中记载:“今有十等人,大官甲等十人官赐金,以等次差降之。上三人先入,得金四斤持出;下四人后入,得金三斤持出;中央三人未到者,亦依等次更给。问:各得金几何及未到三人复应得金几何?”则该问题中未到三人共得金　　　　斤。  解析　设十人得金按等级依次设为a1,a2,…,a10, 则a1,a2,…,a10成等差数列, 且 设等差数列a1,a2,…,a10的公差为d, 则解得d=-, 所以a4+a5+a6=(a1+a2+a3)+9d=。 答案　 1.在等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d等于 (　　) A.3　　　　B.-6　　　　C.4　　　　D.-3 解析　由等差数列的性质,得a8-a3=(8-3)d=5d,所以d==-6。 答案　B 2.在等差数列{an}中,已知a4=2,a8=14,则a15等于 (　　) A.32 B.-32 C.35 D.-35 解析　由a8-a4=(8-4)d=4d=14-2=12,得d=3,所以a15=a8+(15-8)d=14+7×3=35。 答案　C 3.在等差数列{an}中,已知a4+a5=15,a7=12,则a2等于 (　　) A.3 B.-3 C. D.- 解析　由等差数列的性质,得a4+a5=a2+a7,所以a2=15-12=3。 答案　A 4.在等差数列{an}中,若a3+a5+a7+a9+a11=100,则3a9-a13的值为　　　　。  解析　由等差数列的性质可知,a3+a5+a7+a9+a11=(a3+a11)+(a5+a9)+a7=5a7=100,所以a7=20。所以3a9-a13=2a9+a9-a13=(a5+a13)+a9-a13=a5+a9=2a7=40。 答案　40 5.在等差数列{an}中,已知a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,求a3+a6+a9的值。 解　解法一:因为(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=3d, (a3+a6+a9)-(a2+a5+a8)=3d, 所以a1+a4+a7,a2+a5+a8,a3+a6+a9成等差数列。 所以a3+a6+a9=2(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=2×33-39=27。 解法二:因为a1+a4+a7=a1+(a1+3d)+(a1+6d)=3a1+9d=39, 所以a1+3d=13,　① 因为a2+a5+a8=(a1+d)+(a1+4d)+(a1+7d)=3a1+12d=33。 所以a1+4d=11,　② 联立①②解得 所以a3+a6+a9=(a1+2d)+(a1+5d)+(a1+8d)=3a1+15d=3×19+15×(-2)=27。 学科网（北京）股份有限公司 $$