1.2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

§2　等差数列 2.1　等差数列的概念及其通项公式 第1课时　等差数列的概念及其通项公式 　　姚明是大家都熟悉的篮球运动员,若下面是姚明刚进NBA一周训练时投球的个数:第一天6 000,第二天6 500,第三天7 000,第四天7 500,第五天8 000,第六天8 500,第七天9 000。则得到数列:6 000,6 500,7 000,7 500,8 000,8 500,9 000。你发现这个数列有什么特点了吗? 1.通过生活实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义。 2.体会等差数列与一次函数的关系。 1.等差数列的概念 对于一个数列,如果从第2项起,每一项与它的前一项的差都是同一个常数,那么称这样的数列为等差数列,称这个常数为等差数列的公差,通常用字母d表示。 2.等差数列的通项公式 若首项是a1,公差是d,则等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d。 3.等差数列与函数 对于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),可将an记作f(n),它是定义在正整数集(或其子集)上的函数。其图象是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点,这些点的横坐标是正整数,其中公差d是该直线的斜率,即自变量每增加1,函数值增加d。 当d>0时,数列{an}为递增数列;当d<0时,数列{an}为递减数列;当d=0时,数列{an}为常数列。 4.等差中项 如果在a与b之间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项。如果A是a与b的等差中项,那么A-a=b-A,所以A=。 微提醒 1.等差数列的公差d即为相应直线的斜率,由斜率公式知d=(p,q∈N+且p≠q)。 2.n≥2时,在等差数列{an}中,an是an-1和an+1的等差中项,即2an=an-1+an+1。 微思考 1.如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差是常数,那么这个数列是等差数列吗? 提示:不一定。如数列1,2,4,7,10满足条件但不是等差数列,因此等差数列的定义中强调“差都等于同一个常数”。 2.任何两个数都有等差中项吗? 提示:任何两个数都有等差中项。 3.数列{an}的通项公式是an=2n+3,则数列{an}是等差数列吗? 提示:是等差数列,其公差是2。 类型一 等差数列的通项公式及应用 　　【例1】　在等差数列{an}中, (1)已知a5=-1,a8=2,求a1与d; (2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9。 解　(1)由题意, 知 解得 (2)由题意,知 解得 所以a9=a1+(9-1)d=1+8×2=17。 　　在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明显,则均可化成有关a1,d的方程,通过列方程组求解,但是要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量 【变式训练】　(1)在等差数列{an}中,a3+a6=11,a5+a8=39,则公差d为 (　　) A.-14　　　B.-7　　　C.7　　　　D.14 解析　因为a3+a6=11,a5+a8=39,则4d=28,解得d=7。 答案　C (2)在等差数列{an}中,已知a5+a10=12,则3a7+a9= (　　) A.12 B.18 C.24 D.30 解析　因为在等差数列{an}中,a5+a10=12,所以2a1+13d=12,3a7+a9=3(a1+6d)+a1+8d=4a1+26d=2(2a1+13d)=2×12=24。 答案　C 类型二 等差中项 　　【例2】　(1)已知a和2b的等差中项是5,3a和4b的等差中项是7,求2a和3b的等差中项。 (2)已知数列{an}的首项a1=3,通项公式为an=2np+nq(n∈N+,p,q为常数),且a1,a4,a5成等差数列。求p,q的值。 解　(1)因为a和2b的等差中项是5,所以a+2b=10,① 又因为3a和4b的等差中项是7, 所以3a+4b=14。② 由①②解得 所以2a和3b的等差中项为=6。 (2)由a1=3,得2p+q=3,① 又a4=24p+4q,a5=25p+5q, 且a1+a5=2a4, 得3+25p+5q=25p+8q,即q=1,② 将②代入①,得p=1。故p=1,q=1。 　　三数a,b,c成等差数列的条件是b=(或2b=a+c),可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题。如要证{an}为等差数列,可证2an+1=an+an+2(n∈N+) 【变式训练】　(1)已知a=,b=,则a,b的等差中项为 (　　) A. B. C. D. 解析　a,b的等差中项为×+=×(-++)=。 答案　A (2){an}是等差数列,a1与a2的等差中项为1,a2与a3的等差中项为2,则公差d= (　　) A.2 B. C.1 D. 解析　因为{an}是等差数列,a1与a2的等差中项为1,a2与a3的等差中项为2,所以a1+a2=2,a2+a3=4,两式相减得a3-a1=2d=2,解得d=1。 答案　C 类型三 等差数列的判定与证明 　　【例3】　判断下列数列是否为等差数列。 (1)在数列{an}中,an=3n+2; (2)在数列{an}中,an=n2+n。 解　(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N+),故该数列为等差数列。 (2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,故该数列不是等差数列。 　　用定义法判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本步骤为: (1)作差an+1-an; (2)对差式进行变形; (3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,而是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列 【变式训练】　已知数列{an}中,a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3)。 (1)判断数列{an}是否为等差数列,并说明理由; (2)求{an}的通项公式。 解　(1)当n≥3时,an=an-1+2,即an-an-1=2,而a2-a1=0不满足an-an-1=2, 所以{an}不是等差数列。 (2)a2=1,a3=3,a3-a2=2。所以当n≥2时,{an}是等差数列,公差为2。 当n≥2时,an=1+2(n-2)=2n-3, 又a1=1不适合上式, 所以{an}的通项公式为an= 　　【例4】　已知数列{an}满足a1=4,an=4-(n>1),记bn=。 (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式。 解　(1)证明:bn+1-bn=-=-=-==。 因为b1==, 所以数列{bn}是首项为,公差为的等差数列。 (2)由(1)知bn=+(n-1)·=。 因为bn=,所以an=+2=+2。 所以数列{an}的通项公式为an=+2。 　　判断等差数列的方法 (1)定义法:an+1-an=d(n∈N+)或an-an-1=d(n≥2,且n∈N+)⇔数列{an}是等差数列。 (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N+)⇔{an}为等差数列。 (3)通项公式法:数列{an}的通项公式an=pn+q(p,q为常数)⇔数列{an}为等差数列 【变式训练】　(1)已知数列{an}满足a1=2,an+1=,求通项公式an。 解　由an+1=两边取倒数,可得=, 即=+,所以-=, 因为a1=2,所以=,即数列是首项为,公差为的等差数列, 因此=+(n-1)=, 故an=。 (2)已知,,成等差数列,求证:,,也成等差数列。 证明　因为,,成等差数列, 所以=+,即2ac=b(a+c)。 因为+=====, 所以,,成等差数列。 等差数列的对称设元 【典例】　已知递增的等差数列{an}的前3项之和为21,前3项之积为231,则数列{an}的通项公式为　　　　。  【解析】　由于数列{an}为等差数列,因此可设前3项分别为a-d,a,a+d,可得即解得或因为数列{an}为递增数列,所以从而an=4n-1。 【答案】　an=4n-1 　　本题设项的方法称为对称项设法。如若所给等差数列的项数为4,则这个数列可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d,此数列的公差为2d;若所给等差数列的项数为5,则这个数列可设为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,此数列的公差为d。 其优点是:若有n个数构成等差数列,利用对称项设法设出这个数列,则其各项和为na 【变式训练】　成等差数列的四个数之和为26,第2个数和第3个数之积为40,求这四个数。 解　设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则由题意得 即解得或 所以所求四个数为2,5,8,11或11,8,5,2。 1.已知等差数列{an}的通项公式为an=3-2n,则它的公差为 (　　) A.2　　　　B.3 C.-2　　　 D.-3 解析　因为an=3-2n=1+(n-1)×(-2),所以d=-2。故选C。 答案　C 2.若数列{an}的通项公式是an=2(n+1)+3,则此数列 (　　) A.是公差为2的等差数列 B.是公差为3的等差数列 C.是公差为5的等差数列 D.不是等差数列 解析　an+1-an=[2(n+2)+3]-[2(n+1)+3]=2,故{an}是公差为2的等差数列。 答案　A 3.已知等差数列{an}中,a1=,a2+a5=4,an=33,则n等于 (　　) A.50　 　　B.49　 　　C.48　 　　D.47 解析　由题得2a1+5d=4,将a1=代入,得d=,则an=+(n-1)=n-,又an=33,所以n-=33,得n=50。故选A。 答案　A 4.在等差数列{an}中,已知a6=12,a18=36,则通项公式an=　　　　。  解析　由题意可得解得d=2,a1=2。所以an=2+(n-1)×2=2n。 答案　2n 5.已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn+r(p,q,r∈R,且p,q,r为常数)。当p,q,r满足什么条件时,数列{an}是等差数列? 解　欲使{an}是等差数列,则an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)+r]-(pn2+qn+r)=2pn+p+q应是一个与n无关的常数,所以只有2p=0,即p=0时,数列{an}是等差数列。此时q,r∈R。 学科网（北京）股份有限公司 $$