1.1.2 数列的函数特性(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

1.2　数列的函数特性 1.数列与函数的关系 可以把一个数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数,因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列,图象中每个点的坐标为(k,ak),k=1,2,3,…这个图象也称为数列的图象。 2.数列的单调性 一般地,一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它的前一项,即an+1>an,那么这个数列叫作递增数列。 如果从第2项起,每一项都小于它的前一项,即an+1<an,那么这个数列叫作递减数列。 如果数列{an}的各项都相等,那么这个数列叫作常数列。 微提醒 函数有三种表示法:列表法、解析法、图象法,因而数列也有上述三种表示方法。 细研深究·萃取知识精华 学生用书P004 　 类型一 数列的分类 　　【例1】　下列数列哪些是有穷数列?哪些是递增数列?哪些是递减数列?哪些是常数列? (1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018; (2)0,,,…,,…; (3)1,,,…,,…; (4)9,9,9,9,9,9。 解　(1)(4)是有穷数列;(1)(2)是递增数列;(3)是递减数列;(4)是常数列。 　　判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点。对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析;而是有穷数列还是无穷数列则看项的个数有限还是无限 【变式训练】　①2017~2024年某市普通高中生人数(单位:万人)构成数列82,93,105,119,129,130,132,135。 ②无穷多个构成数列, , , ,…。 ③-2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂、…构成数列-2,4,-8,16,-32,…。 其中,有穷数列是　　　　,无穷数列是　　　　,递增数列是　　　　,常数列是　　　　。  答案　①　②③　①　② 类型二 判断数列的单调性 　　【例2】　已知数列{an}的通项公式为an=,试判断该数列的单调性。 解　因为an+1-an=- = =, 由n∈N+,得an+1-an>0,即an+1>an。 所以数列{an}是递增数列。 　　单调性是数列的一个重要性质。判断数列的单调性,通常是运用作差或作商的方法判断an+1与an(n∈N+)的大小,若an+1>an恒成立,则{an}为递增数列;若an+1<an恒成立,则{an}为递减数列。用作差法判断数列增减性的步骤为:①作差;②变形;③定号;④结论。 【变式训练】　已知数列{an}的通项公式是an=,试判断数列{an}的单调性。 解　解法一:因为an=, 所以an+1==, 于是an+1-an=- = =, 因为n∈N+, 所以(2n+1)(2n+3)>0, 因此>0, 即an+1>an,故{an}是递增数列。 解法二:因为an=, 所以an+1==, 于是=× ==1+, 因为n∈N+, 所以>0, 因此1+>1,即>1, 又an>0,所以an+1>an, 即{an}是递增数列。 类型三 求数列的最大(小)项 　　【例3】　已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4。 (1)数列中有多少项是负数? (2)n为何值时,an有最小值?并求出最小值。 解　(1)由n2-5n+4<0,解得1<n<4。 因为n∈N+,所以n=2,3。 所以数列中有两项是负数。 (2)解法一:因为{an}的相应函数为f(x)=x2-5x+4=-,可知对称轴方程为x==2.5。 又因为n∈N+,故n=2或3时,an有最小值,且a2=a3,其最小值为22-5×2+4=-2。 解法二:设第n项最小,由 得 解这个不等式组,得2≤n≤3。 又因为n∈N+,所以n=2,3。 所以a2=a3且最小。 所以a2=a3=22-5×2+4=-2。 　　求数列{an}的最大项和最小项,一种方法是利用函数的最值法;另一种是不等式法,求最小项可由来确定n,求最大项可由来确定n。若数列是单调的,也可由单调性来确定最大或最小项 【变式训练】　已知数列{an}的通项公式an=(n+1)·(n∈N+),试问数列{an}有没有最大项?若有,求最大项和最大项的项数;若没有,说明理由。 解　假设数列{an}中存在最大项。 因为an+1-an=(n+2)-(n+1)·=·, 当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an; 当n=9时,an+1-an=0,即=an; 当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an, 故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…, 所以数列中有最大项,最大项为第9,10项,且a9=a10=。 类型四 数列与函数的关系 　　【例4】　在数列{an}中,a1=2,a17=66,通项公式an的相应函数是一次函数。 (1)求{an}的通项公式; (2)88是不是数列{an}中的项? 解　(1)设an=kn+b,则 解得 所以an=4n-2(n∈N+)。 (2)令an=88,即4n-2=88, 解得n=22.5∉N+。 所以88不是数列{an}中的项。 　　求数列{an}的最大项和最小项,一种方法是利用函数的最值法;另一种是不等式法,求最小项可由来确定n,求最大项可由来确定n。若数列是单调的,也可由单调性来确定最大或最小项 【变式训练】　已知数列{an}的通项公式an=(n+1)·(n∈N+),试问数列{an}有没有最大项?若有,求最大项和最大项的项数;若没有,说明理由。 解　假设数列{an}中存在最大项。 因为an+1-an=(n+2)-(n+1)·=·, 当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an; 当n=9时,an+1-an=0,即=an; 当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an, 故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…, 所以数列中有最大项,最大项为第9,10项,且a9=a10=。 类型四 数列与函数的关系 　　【例4】　在数列{an}中,a1=2,a17=66,通项公式an的相应函数是一次函数。 (1)求{an}的通项公式; (2)88是不是数列{an}中的项? 解　(1)设an=kn+b,则 解得 所以an=4n-2(n∈N+)。 (2)令an=88,即4n-2=88, 解得n=22.5∉N+。 所以88不是数列{an}中的项。 　　(1)在用函数的有关知识解决数列问题时,要注意通项公式相当于函数中的函数解析式。它的定义域是N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})这一约束条件。 (2)判断一个数是否为该数列中的项,其方法是由通项公式等于这个数求方程的根,根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项 【变式训练】　已知数列{an}的通项公式为an=-n2+2n+1,该数列的图象有何特点?试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项。 解　由数列与函数的关系可知,数列{an}的图象是分布在二次函数y=-x2+2x+1图象上的离散的点,如图所示,从图象上可以看出该数列是一个递减数列,且前2项为正数项,从第3项往后各项为负数项。 忽视数列与函数的区别致误 　　【典例】　设数列{an}的通项公式为an=n2+λn,且对任意n∈N+,an<an+1恒成立,则实数λ的取值范围是　　　　。  【易错解法】　an=n2+λn=n+2-,由n∈N+,且an<an+1,知数列{an}是递增数列,所以-≤1,即λ∈[-2,+∞)。 【易错探因】　事实上,由二次函数图象的对称性知,函数f(x)=x2+λx在[1,+∞)上不单调照样可使得数列单调,即对称轴x=-满足-∈时,仍有a1<a2成立。 【正确解答】　解法一:由题意知,an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ>0恒成立,即λ>-(2n+1)恒成立。因为n∈N+,所以λ>-3。故实数λ的取值范围是(-3,+∞)。 解法二:an=n2+λn=-,由于n∈N+,且由an<an+1恒成立可知,数列{an}是递增数列,结合二次函数的图象有-<,解得λ>-3,故λ的取值范围是(-3,+∞)。 【答案】　(-3,+∞) 1.已知an+1-an-2=0,n∈N+,则数列{an}是 (　　) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.不能确定 解析　an+1=an+2>an,n∈N+,即该数列每一项均小于后一项,故数列{an}是递增数列。 答案　A 2.已知数列{an}的通项公式是an=,则这个数列是 (　　) A.递增数列 B.递减数列 C.有穷数列 D.常数列 解析　an=2-,an+1-an=->0。故选A。 答案　A 3.已知数列{an}的通项公式an=log(n+1)(n+2),则它的前30项之积是 (　　) A. B.5 C.6 D. 解析　a1·a2·…·a30=log23·log34·log45·…·log3132=log232=5。故选B。 答案　B 4.已知数列an=(m2-2m)(n3-2n)是递减数列,求实数m的取值范围。 解　因为数列{an}为递减数列,所以an+1<an。 所以an+1-an=(m2-2m)[(n+1)3-2(n+1)-n3+2n]=(m2-2m)(3n2+3n-1)<0。 因为n∈N+, 所以3n2+3n-1=3-≥5>0。 所以m2-2m<0,解得0<m<2。 故m∈(0,2)。 学科网（北京）股份有限公司 $$