1.1.1 数列的概念(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

第一章 数学 §1　数列的概念及其函数特性 　　观察下列图形: 1.三角形数 ① 2.正方形数 ② 上述图形都是由小方块按照一定顺序排列表示的一列数,这就是本节所要学习的数列。 1.通过日常生活和数学中的实例,了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)。 2.了解数列是一种特殊函数,会根据函数的单调性判断数列的增减性。 1.1　数列的概念 1.数列的相关概念 (1)按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项,数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,或简记为数列{an},其中a1是数列的第1项,也叫数列的首项;an是数列的第n项,也叫数列的通项。 (2)项数有限的数列,称为有穷数列;项数无限的数列,称为无穷数列。 2.通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an=f(n),那么这个式子就叫作这个数列的通项公式,数列的通项公式就是相应函数的解析式。 微提醒 1.不是所有数列都能写出通项公式。 2.通项公式的形式也不是唯一的。 微思考 数列2,3,4与数列2,4,3是同一个数列吗? 提示:不是。顺序不一样。 类型一 数列的概念 　　【例1】　(多选)下列叙述不正确的是 (　　) A.数列2,4,6,8和数列4,2,6,8是同一个数列 B.同一个数在数列中可能重复出现 C.数列是按一定顺序排列的有规律的一列数 D.数列的通项公式是不唯一的 解析　根据数列的定义,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列,A错误;数列中的数可以重复出现,B正确;数列中的数的排列不一定有规律,C错误;数列-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,也可以写成an=(-1)n+2,还可以写成分段函数的形式,D正确。 答案　AC 　　运用数列的定义判断一组元素是否为数列的一般步骤 (1)判断这组元素是否都是数。 (2)判断这组元素是否按照一定的顺序排列。 注意:按一定顺序不表示该数列具有规律性,即数列中的每一项可以是有规律的,也可以是无规律的 【变式训练】　下列数列中,为无穷数列的是 (　　) A.1,,, B.-1,-2,-3,-4 C.-1,-,-,-,… D.1,,,…, 解析　A,B,D是有穷数列,只有C符合题意。 答案　C 类型二 利用数列的前几项求通项公式 　　【例2】　根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,…; (2),2,,8,,…; (3)0.8,0.88,0.888,…; (4),,-,,-,,…; (5),1,,,…。 解　(1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5)。 (2)统一分母为2,则有,,,,,…,因而有an=。 (3)将数列变形为(1-0.1),(1-0.01),(1-0.001),…,所以an=。 (4)各项的分母分别为21,22,23,24,…,易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3。因此把第1项变为-,至此原数列可化为-,,-,,…,所以an=(-1)n·。 (5)将数列统一为,,,,…,对于分子3,5,7,9,…,是序号的2倍加1,可得分子的通项公式为bn=2n+1,对于分母2,5,10,17,…,联想到数列1,4,9,16,…,即数列{n2},可得分母的通项公式为cn=n2+1,所以可得原数列的一个通项公式为an=。 　　此类问题虽无固定模式,但也有规律可循,主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法。具体方法为:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征;⑤化异为同。对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系 【变式训练】　写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数: (1)-,,-,; (2),,,; (3)7,77,777,7 777。 解　(1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数,并且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式为an=,n∈N+。 (2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数,分子都是比序号大1的数的平方减1,所以它的一个通项公式为an=,n∈N+。 (3)这个数列的前4项可以变为×9,×99,×999,×9 999, 即×(10-1),×(100-1),×(1 000-1),×(10 000-1), 即×(10-1),×(102-1),×(103-1),×(104-1), 所以它的一个通项公式为an=×(10n-1),n∈N+。 类型三 数列通项公式的应用 　　【例3】　已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n。 (1)写出数列的第4项和第6项; (2)问-49和68是该数列的项吗?若是,是第几项?若不是,请说明理由。 解　(1)根据an=3n2-28n,a4=3×42-28×4=-64,a6=3×62-28×6=-60。 (2)令3n2-28n=-49,即3n2-28n+49=0,所以n=7或n=(舍)。 所以-49是该数列的第7项,即a7=-49。 令3n2-28n=68,即3n2-28n-68=0, 所以n=-2或n=。 因为-2∉N+,∉N+,所以68不是该数列的项。 　　(1)数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项。 (2)判断某数值是否为该数列的项,先假设是数列的项,列出方程,若方程的解为正整数(项数),则是该数列的项;若方程无解或解不是正整数,则不是数列的项 【变式训练】　根据下面数列的通项公式,写出它们的前5项。 (1)an=;(2)an=3n+2n。 解　(1)由通项公式an=,依次取n=1,2,3,4,5,得到数列的前5项分别为a1==,a2==,a3==,a4==,a5==。 (2)由通项公式an=3n+2n,依次取n=1,2,3,4,5,得到数列的前5项分别为a1=3×1+21=5,a2=3×2+22=10,a3=3×3+23=17,a4=3×4+24=28,a5=3×5+25=47。 　 1.数列2,3,4,5,…的一个通项公式为 (　　) A.an=n B.an=n+1 C.an=n+2 D.an=2n 解析　这个数列的前4项都比序号大1,所以,它的一个通项公式为an=n+1。 答案　B 2.已知数列{an}的通项公式为an=(-1)n+1,则该数列的前4项依次为 (　　) A.-,0,-,0 B.-,,-, C.,-,,- D.0,,0, 解析　当n分别等于1,2,3,4时,a1=,a2=-,a3=,a4=-。 答案　C 3.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-50,则-8是该数列的 (　　) A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.非任何一项 解析　n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去)。 答案　C 4.已知数列,,2,,…,则2是这个数列的 (　　) A.第6项 B.第7项 C.第11项 D.第19项 解析　设数列,,2,,…为{an},则an=,令=2,得n=7,故选B。 答案　B 5.已知数列{an}的通项公式an=,n∈N+,则a1=　　　　;an+1=　　　　。  解析　a1==1,an+1==。 答案　1　 学科网（北京）股份有限公司 $$