7.2复数的四则运算【7大题型】-2024-2025学年高一数学必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

7.2复数的四则运算 【考点梳理】 · 考点一：复数加减法的代数运算 · 考点二：复数加减法的几何意义 · 考点三：复数代数形式的乘法除法运算 · 考点四：复数的和乘方 · 考点五：复数范围内解方程 · 考点六：共轭复数问题 · 考点七：复数的综合问题 【知识梳理】 知识点一　复数加法与减法的运算法则 1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 (1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2.对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝z2＋z1； (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 知识点二　复数加减法的几何意义 如图，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应. 知识点三　复数乘法的运算法则和运算律 1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 知识点四　复数除法的法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，则＝＝＋i(c＋di≠0). 【题型归纳】 题型一：复数加减法的代数运算 1．（23-24高一下·广东湛江·期末）若，则（    ） A．3 B． C．5 D． 2．（24-25高一下·全国）计算： (1)； (2)； (3)． 3．（23-24高一下·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 题型二：复数加减法的几何意义 4．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知复数，满足，且，则（    ） A． B． C．5 D． 5．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·河南郑州）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 题型三：复数代数形式的乘法除法运算 7．（24-25高一下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 8．（24-25高一下·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)． 9．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）计算 (1) (2) (3). 题型四：复数的乘方 10．（24-25高一下·全国·单元测试）已知，则的值为（    ） A．i B． C． D． 11．（24-25高一下·全国·期中）在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型五：复数范围内解方程 13．（23-24高一下·吉林·期中）已知复数是关于x的一元二次方程的一个根，则（    ） A． B． C．4 D．8 14．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知（i是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，那么p，q的值分别是（    ）． A． B． C． D． 15．（23-24高一下·河南安阳）已知p，q为实数，是关于x的方程的一个根，则的值为（   ） A．14 B．－14 C．38 D．－38 题型六：共轭复数问题 16．（23-24高一下·内蒙古）若，则z的共轭复数为（    ） A．3＋i B．3－i C．1＋3i D．1－3i 17．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）若复数，则复数在复平面所对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）若复数，共轭复数为，则（    ） A．－1 B．－i C．1 D．i 题型七：复数的综合问题 19．（23-24高一下·安徽黄山·期中）已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且． (1)求复数； (2)求复数； (3)若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根． 20．（23-24高一下·河北·期中）在复平面内复数，，其所对应的点为，，为坐标原点，是虚数单位． (1)求与； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根． 21．（24-25高一下·全国）已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数（是z的共轭复数）． (1)设复数，求； (2)设复数，且复数在复平面内所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 【高分演练】 一、单选题 22．（24-25高一下·全国·单元测试）复数（i为虚数单位）的虚部为（   ） A．1 B． C． D．0 23．（2025·广东广州·模拟预测）已知复数z在复平面内对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高一下·全国）复数在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 25．（24-25高三下·江西）若（为虚数单位）是关于方程的一个根，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 26．（23-24高一下·安徽黄山·期中）若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 27．（24-25高一下·全国）已知复数，，若所对应的点在实轴上，则的值为（    ） A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 28．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．是纯虚数 B．若，则是方程的一个复数根 C．若，则 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 29．（23-24高一下·云南昆明·期末）在复平面内，复数 （为虚数单位）的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 30．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知复数（为虚数单位），则（    ） A．8 B．9 C．10 D．100 31．（23-24高一下·湖北武汉·期中）复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 32．（24-25高一下·全国·课后作业）下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（   ） A． B． C．z的共轭复数为 D．z的虚部为 33．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知两个复数满足，且，则下面选项正确的是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高一下·安徽黄山·期中）已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（   ） A．复数的虚部等于 B． C． D．若是实数，是纯虚数，则 35．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 36．（24-25高三上·云南德宏）设，为复数，则下列说法中正确的有（   ） A．若，，其中，，，，且，，则 B．若（）为纯虚数，则 C．若关于的方程，，的一个虚根为，则 D．若，，则复数在复平面内对应的点位于第三象限 三、填空题 37．（24-25高一下·全国）若，且为纯虚数，则复数 ． 38．（24-25高一下·全国·）已知复数，，若，则实数的取值范围为 ． 39．（24-25高一·上海·课堂例题）若关于的方程有实根，则实数的值为 . 40．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为 ． 四、解答题 41．（24-25高一下·全国·单元测试）（1）计算：； （2）已知，求的模． 42．（24-25高一下·全国·单元测试）已知，复数． (1)若对应的点在第一象限，求的取值范围； (2)若的共轭复数与复数相等，求的值． 43．（24-25高一下·上海·单元测试）设为关于x的方程的虚根，i为虚数单位． (1)当复数时，求m，n的值； (2)若，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数所对应的点为Q，试求的取值范围． 44．（23-24高一下·湖北武汉·期中）知复数，复数在复平面内对应的点为 (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数. 45．（23-24高一下·山东菏泽）已知复数，，． (1)若，求角； (2)复数，对应的向量分别是，， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）存在使等式成立，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2复数的四则运算 【考点梳理】 考点一：复数加减法的代数运算 考点二：复数加减法的几何意义 考点三：复数代数形式的乘法除法运算 考点四：复数的和乘方 考点五：复数范围内解方程 考点六：共轭复数问题 考点七：复数的综合问题 【知识梳理】 知识点一　复数加法与减法的运算法则 1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 (1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2.对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝z2＋z1； (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 知识点二　复数加减法的几何意义 如图，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应. 知识点三　复数乘法的运算法则和运算律 1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 知识点四　复数除法的法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，则＝＝＋i(c＋di≠0). 【题型归纳】 题型一：复数加减法的代数运算 1．（23-24高一下·广东湛江·期末）若，则（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据题意求得，进而求模长. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一下·全国）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用复数的加法运算可得答案； （2）利用复数的加法运算可得答案； （3）利用复数的减法运算可得答案． 【详解】（1）； （2）； （3）． 3．（23-24高一下·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据题意由复数的加减法运算法则，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 题型二：复数加减法的几何意义 4．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知复数，满足，且，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的模长加减运算数形结合求解即可. 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为，且，由勾股定理逆定理知道， 为直角三角形，且. 作长方形，如图所示， 则对应的复数为，故. 故选：C. 5．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数加减运算的几何意义运算求解. 【详解】在复平面中，设分别与向量对应， 由题意可得，， 因为， 即，解得，即. 故选：B. 6．（22-23高一下·河南郑州）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据及向量的复数表示，运算得到答案. 【详解】复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为. 故选：D. 题型三：复数代数形式的乘法除法运算 7．（24-25高一下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用复数的乘法、乘方及除法运算求解即得. 【详解】（1）． （2）原式． 8．（24-25高一下·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的除法和乘法运算可得结果. （2）根据复数的除法和乘法运算可得结果. 【详解】（1）因为， 所以． （2）． 9．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）计算 (1) (2) (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据复数的加减法法则求解； （2）根据复数的乘除法法则求解； （3）根据复数的乘法法则求解. 【详解】（1）； （2） （3）. 题型四：复数的乘方 10．（24-25高一下·全国·单元测试）已知，则的值为（    ） A．i B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算，再由幂的运算求解即可. 【详解】因为，所以， 所以 故选：B 11．（24-25高一下·全国·期中）在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据复数的四则运算及几何意义直接可得解. 【详解】因为， 所以复数对应的点是，在第三象限， 故选：C. 12．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数乘方，除法法则化简得到，从而确定所在象限. 【详解】， 故在复平面内对应的点坐标为，位于第四象限. 故选：D 题型五：复数范围内解方程 13．（23-24高一下·吉林·期中）已知复数是关于x的一元二次方程的一个根，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据已知条件，复数和是关于x的一元二次方程的两个根，结合方程的根与系数关系即可求解. 【详解】复数是关于x的一元二次方程的一个根， 则方程的另一根为， 故，解得. 故选：A. 14．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知（i是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，那么p，q的值分别是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入方程，即可求解. 【详解】由题意可知，， 则， 即，得，. 故选：A 15．（23-24高一下·河南安阳）已知p，q为实数，是关于x的方程的一个根，则的值为（   ） A．14 B．－14 C．38 D．－38 【答案】C 【分析】把根代入方程，利用复数相等可求答案. 【详解】由题意，即， ，解得，所以. 故选：C 题型六：共轭复数问题 16．（23-24高一下·内蒙古）若，则z的共轭复数为（    ） A．3＋i B．3－i C．1＋3i D．1－3i 【答案】A 【分析】计算出，利用复数乘法法则计算出，利用共轭复数的定义得到答案. 【详解】， 故，． 故选：A 17．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）若复数，则复数在复平面所对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】设，则，代入，利用复数的乘除计算即可． 【详解】解：设，则， ， 复数在复平面内对应的点在第二象限． 故选：B． 18．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）若复数，共轭复数为，则（    ） A．－1 B．－i C．1 D．i 【答案】C 【分析】先求出其共轭复数为，然后由复数的乘法运算求解即可. 【详解】复数，则其共轭复数为， 所以. 故答案为：C 题型七：复数的综合问题 19．（23-24高一下·安徽黄山·期中）已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且． (1)求复数； (2)求复数； (3)若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根． 【答案】(1) (2) (3)，，另一根为 【分析】（1）化简复数，再根据共轭复数的概念求解； （2）根据复数的除法的运算求解； （3）将代入方程运算求出，代回方程求解. 【详解】（1）， 所以复数的共轭复数为． （2）因为， 所以 所以. （3）若是关于的方程的一个根，则， 即， 所以 解得：，， 则，即， 所以方程另一根为． 20．（23-24高一下·河北·期中）在复平面内复数，，其所对应的点为，，为坐标原点，是虚数单位． (1)求与； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据条件，利用复数的运算，即可求出；再利用复数的几何意义，得，，即可求解； （2）设是方程的一个实根，利用复数相等，得到，即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，又， 得到，，所以． （2）设是方程的一个实根，则． 根据复数相等的意义知 解得：，，． 所以，当时，原方程有一实根． 21．（24-25高一下·全国）已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数（是z的共轭复数）． (1)设复数，求； (2)设复数，且复数在复平面内所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简，由其为纯虚数求出的值，将代入化简，从而可求出其模； （2）将代入化简，再由复数在复平面内所对应的点在第一象限，列不等式组可求出实数a的取值范围． 【详解】（1）， ． 又为纯虚数， ，解得， 所以， ． （2）由（1）知， ． 又复数在复平面内所对应的点在第一象限， ，解得， 即实数a的取值范围是． 【高分演练】 一、单选题 22．（24-25高一下·全国·单元测试）复数（i为虚数单位）的虚部为（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】由复数的除法运算和虚部的概念即可求解； 【详解】因为， 所以复数z的虚部为． 故选：B 23．（2025·广东广州·模拟预测）已知复数z在复平面内对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的乘法以及共轭复数的定义，可得答案. 【详解】由题意可得，则. 故选：D. 24．（24-25高一下·全国·课后作业）复数在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的四则运算化简，利用复数的几何意义即可得解. 【详解】由复数， 可得其在复平面内对应的点为，位于第二象限． 故选：B． 25．（24-25高三下·江西九江·阶段练习）若（为虚数单位）是关于方程的一个根，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】将代入方程，利用复数的运算法则和复数相等的概念求解即可. 【详解】因为是关于方程的一个根， 所以，整理得， 所以，解得， 故选：D 26．（23-24高一下·安徽黄山·期中）若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】由共轭复数的定义求出，再根据复数的几何意义求解. 【详解】由题，，对应的点在第一象限， 则，可得，又为整数，所以． 故选：B． 27．（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数，，若所对应的点在实轴上，则的值为（    ） A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 【答案】C 【分析】利用复数对应点的性质求解即可. 【详解】因为复数，， 所以， 因为所对应的点在实轴上，所以， 解得，故C正确. 故选：C 28．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．是纯虚数 B．若，则是方程的一个复数根 C．若，则 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 【答案】C 【分析】根据虚数运算法则和复数的分类，可判定A错误；根据复数的运算法则，可判定B错误；根据复数模的计算公式，可判定C正确；根据复数的几何意义，结合圆的面积公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，由，不是纯虚数，所以A不正确； 对于B中，由，可得， 因为， 所以不是方程的一个复根，所以B不正确； 对于C中，设复数，可得， 所以， 又由，所以，所以C正确； 对于D中，设，由，可得， 所以复数在复平面内对应的点构成的图形为一个圆环， 其中小圆的半径为，大圆的半径为，其面积为，所以D错误. 故选：C. 29．（23-24高一下·云南昆明·期末）在复平面内，复数 （为虚数单位）的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的四则运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：A. 30．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知复数（为虚数单位），则（    ） A．8 B．9 C．10 D．100 【答案】C 【分析】先得到，从而求得. 【详解】，所以， 故选：C. 31．（23-24高一下·湖北武汉·期中）复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将复数化为一般形式，利用复数的几何意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】复数， 由此复数在复平面内对应的点在第四象限，有，解得. 故选：A. 二、多选题 32．（24-25高一下·全国·课后作业）下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（   ） A． B． C．z的共轭复数为 D．z的虚部为 【答案】BC 【分析】 算出，根据复数的基本概念即可判断答案. 【详解】 ， ，，z的共轭复数为，z的虚部为1. 故选：BC． 33．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知两个复数满足，且，则下面选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据复数的运算法则，模长的计算，以及共轭复数的求解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：，故A错误； 对B：，故B正确; 对C：，故，故C错误； 对D：，故D正确； 故选：BD. 34．（23-24高一下·安徽黄山·期中）已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（   ） A．复数的虚部等于 B． C． D．若是实数，是纯虚数，则 【答案】CD 【分析】先化简复数，然后根据复数的虚部概念，纯虚数，共轭复数，及复数的运算逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，复数， 对于A项：，所以复数的虚部等于，故A错误； 对于B项：，故B错误； 对于C项：，故C正确； 对于D项：因为是纯虚数且是实数，即为纯虚数，所以，解得，故D正确． 故选：CD. 35．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用复数的意义判断AD；由模的计算判断BC. 【详解】对于A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误； 设， 对于B，由，得，则， 因此，，B正确； 对于C，， ，C正确； 对于D，由，得都是实数，因此，D正确. 故选：BCD 36．（24-25高三上·云南德宏·阶段练习）设，为复数，则下列说法中正确的有（   ） A．若，，其中，，，，且，，则 B．若（）为纯虚数，则 C．若关于的方程，，的一个虚根为，则 D．若，，则复数在复平面内对应的点位于第三象限 【答案】BD 【分析】对于A：根据复数不能比较大小即可判断；对于B：根据纯虚数的概念列式求解；对于C：可知另一个虚根为，利用韦达定理运算求解；对于D：可得，结合复数的几何意义分析判断. 【详解】对于选项A：因为，可知，不可能均为实数，故不能比较大小，故A错误； 对于选项B：若（）为纯虚数， 则，解得，故B正确； 对于选项C：若关于的方程，，的一个虚根为， 则另一个虚根为， 可得，所以，故C错误； 对于选项D：若，，则， 复数在复平面内对应的点为，位于第三象限，故D正确； 故选：BD. 三、填空题 37．（24-25高一下·全国·课后作业）若，且为纯虚数，则复数 ． 【答案】 【分析】设（x，），然后根据题意列方程组可求出，从而可求出复数. 【详解】设复数（x，），则． 由题意知或． 故答案为： 38．（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据复数的加法运算结合复数的概念可得，运算求解即可. 【详解】由题意可得：， 因为，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 39．（24-25高一·上海·课堂例题）若关于的方程有实根，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】根据复数相等的定义求解． 【详解】设原方程的实根为，则，即， 所以，解得或， 故答案为：或． 40．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】令，，且，结合条件求参数，进而确定的位置关系及模长，即可求的面积. 【详解】令，，且， 由，则，即，故①， 由两点，连线的中点对应的复数为，则，即②， 联立①②，可得，且，即，， 由，即，故为直角三角形， 又，，故的面积为. 故答案为：8 四、解答题 41．（24-25高一下·全国·单元测试）（1）计算：； （2）已知，求的模． 【答案】（1）0；（2）． 【分析】根据复数代数形式的乘除运算以及乘方运算法则计算，结合模长定义即可解. 【详解】（1）原式． （2）， 的模为． 42．（24-25高一下·全国·单元测试）已知，复数． (1)若对应的点在第一象限，求的取值范围； (2)若的共轭复数与复数相等，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由实部虚部均大于0，联立关于的不等式组即可求解； （2）写出的共轭复数，再由复数与复数的实部与虚部相等，列方程组求解的值. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以的取值范围是． （2）因为， 所以， 因为与复数相等， 所以，解得． 43．（24-25高一下·上海·单元测试）设为关于x的方程的虚根，i为虚数单位． (1)当复数时，求m，n的值； (2)若，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数所对应的点为Q，试求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意可知：方程的两根分别为：，结合韦达定理分析求解； （2）设，利用韦达定理可得，设，，，根据两点间距离公式结合三角函数的最值分析求解. 【详解】（1）当时，则， 可得方程的两根分别为：， 则，解得，. （2）当时，方程为， 设，则，， 可得，为方程的两根， 则， 设，，， 由复数的几何意义可知：， 则， 其中，， 因为，可得， 所以的取值范围为． 44．（23-24高一下·湖北武汉·期中）知复数，复数在复平面内对应的点为 (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数. 【答案】(1)20 (2) 【分析】（1）将代入一元二次方程即可得到方程组，解出即可； （2）根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案. 【详解】（1）由题意得， 因为复数是关于的方程的一个根， 所以， ， ， 解得，所以. （2）， . 45．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）已知复数，，． (1)若，求角； (2)复数，对应的向量分别是，， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）存在使等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ），（ⅱ） 【分析】（1）利用复数相等的性质和特殊角的三角函数值，结合角度的范围即可求解； （2）（ⅰ）利用向量的数量积结合两角差的正弦公式，再由角度的范围即可求出的取值范围； （ⅱ）利用向量数量积的坐标运算化简等式，转化为和三角函数得表达式，求出三角函数的整体范围，进而计算的取值范围. 【详解】（1），，且， ，，即，， 又，故. （2）（ⅰ）由复数的坐标表示可得，，， ， 又，则. 当时，取最大值为，当时，取最小值为， 的取值范围为； （ⅱ），， ， 又，则， 化简得，， ，由小问（ⅰ）的结论可知， ，解得或， 综上所述，的取值范围为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$