7.1复数的概念【8大题型】-2024-2025学年高一数学必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

7.1复数的概念 【考点梳理】 · 考点一：复数的概念 · 考点二：复数实部和虚部 · 考点三：根据相等条件求参数 · 考点四：复数的分类问题 · 考点五：已知复数的类型求参数 · 考点六：复数的坐标问题 · 考点七：复数的模的问题 · 考点八：复数的综合问题 【知识梳理】 知识点一　复数的有关概念 1.复数 (1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1. (2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部. 2.复数集 (1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集. (2)表示：通常用大写字母C表示. 知识点二　复数的分类 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 知识点三　复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 知识点四　复数的几何意义 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). 2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 知识点五 复数的模 1.定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值. 2.记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. 3.公式：|z|＝|a＋bi|＝. 知识点六　共轭复数 1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. 2.表示：z的共轭复数用表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi. 【题型归纳】 题型一：复数的概念 1．（2024高一·全国）给出下列命题： ①若R，则是纯虚数； ②若R且，则； ③若C，则复数的实部为a，虚部为b； ④i的平方等于. 其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】利用复数的概念逐一判断各个命题即得. 【详解】对于复数（R），当且时为纯虚数， 在①中，若，则不是纯虚数，①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，②错误； 在③中，只有当R时，复数的实部才为a，虚部为b，③错误； 在④中，i的平方等于，④正确. 故选：D 2．（22-23高一下·全国·课后作业）下列四种说法正确的是（    ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【答案】B 【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解. 【详解】对于A中，若，那么，所以A错误； 对于B中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B正确； 对于C中，若且时，复数，所以C不正确； 对于D中，由虚数单位，可得D错误. 故选：B. 3．（22-23高一下·湖南长沙）已知为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数 C．可能是实数 D．复数的虚部是 【答案】C 【分析】根据复数的概念即可求解. 【详解】A.，说法不正确； B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确； C.当时，是实数，说法正确； D.复数的虚部是1，说法不正确. 故选：. 题型二：复数实部和虚部 4．（23-24高一下·江苏苏州·期中）若复数满足(是虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的虚部概念求解. 【详解】z的虚部是. 故选：B. 5．（23-24高一下·广东湛江·期末）以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出的虚部，与的实部，即可得解. 【详解】复数的虚部为，又， 则的实部为， 所以新复数为. 故选：C 6．（23-24高一下·江苏镇江·期中）已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可知，结合倍角公式解方程即可. 【详解】由题意，可知， 所以， 解得或， 因为，所以或或. 故选：D 题型三：根据相等条件求参数 7．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知为虚数单位，为实数，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由复数相等可列出方程组求解. 【详解】由题意， 所以，解得，所以. 故选：D. 8．（2023·全国·模拟预测）已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由复数相等的条件列方程组求解出，从而可求出的值. 【详解】由题意得， 所以，得， 所以. 故选：A 9．（21-22高一·全国·课后作业）若，是虚数单位，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数相等可得，，进而即得. 【详解】因为， 所以，，即，， 所以． 故选：D． 题型四：复数的分类问题 10．（2024高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】对于①，当时，即可判断；对于②，两个虚数不能比较大小；对于③，当时，即可判断；对于④，由复数集与实数集的关系即可判断. 【详解】对于①，若，则不是纯虚数，则①错误； 对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误； 对于③，若，则，，此时不是纯虚数，则③错误； 对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确. 故选：. 11．（22-23高二上·浙江温州·期中）若a，，则“复数为纯虚数（是虚数单位）”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】复数为纯虚数，即，且，判断其与的推断关系. 【详解】复数为纯虚数，等价于，且， ，且可推出，但，不一定得到，且， 所以 “复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件． 故选：B. 12．（2024高一下·江苏·专题练习）对于复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．i的平方等于1 【答案】C 【分析】根据纯虚数定义、复数相等的定义，结合虚数单位的性质、复数的分类逐一判断即可. 【详解】A：当时，显然是实数，因此本选项说法不正确； B：，因此本选项说法不正确； C：，，因此本选项说法正确； D：由虚数单位的定义可知：，因此本选项说法不正确， 故选：C 题型五：已知复数的类型求参数 13．（24-25高一下·全国·随堂练习）若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据纯虚数的定义即可列关系求解. 【详解】由于为纯虚数， 所以且， 解得， 故选：C 14．（24-25高一下·全国）设，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念分析判断即可. 【详解】当时，复数，为纯虚数； 当复数为纯虚数时，有，得或． 所以“”是“复数为纯虚数”的充分不必要条件． 故选：A． 15．（23-24高三上·山东德州）如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（    ） A．且 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据纯虚数得到，解得答案. 【详解】复数是纯虚数，则，解得. 故选：B 题型六：复数的坐标问题 16．（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义判断即可. 【详解】在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D 17．（2024高一下·江苏·专题练习）在复平面内，平行四边形ABCD的3个顶点A，B，C对应的复数分别是，0，则点D对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点D的坐标为，然后由题意得，从而可求出的值，进而可求得点D对应的复数. 【详解】由题知，点，设点D的坐标为， 则有，. 又因为四边形ABCD为平行四边形，所以， 即，得，所以点D对应的复数为. 故选：C. 18．（23-24高三上·江苏常州·期末）在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义判断即可. 【详解】由题意得，，， 则对应复数1. 故选：A． 题型七：复数的模的问题 19．（23-24高二下·云南·期末）已知i为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】利用复数的模的计算公式求解即可. 【详解】复数，则. 故选：C. 20．（23-24高一下·四川遂宁·阶段练习）复数，下列说法不正确的是（ ） A．的实部为2 B．的虚部为 C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的实部、虚部、共轭复数、模等知识确定正确答案 【详解】因为，所以实部为2，虚部为3，，. 故选：B 21．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知复数的实部与虚部相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由实部与虚部概念可得，代入计算可求出结果. 【详解】易知的实部为，虚部为， 由题意可知， 则. 故选：B 题型八：复数的综合问题 22．（24-25高一下·全国）设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数，，且，（其中），若可以与任意实数比较大小． (1)求向量对应的复数； (2)设中点为Z，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的表达式，根据为实数的条件求出的值，进而得到和，再根据向量与复数的对应关系求出向量对应的复数； （2）利用中点坐标公式求出中点对应的复数，最后根据复数的模的计算公式求出 【详解】（1）． 可与任意实数比较大小，为实数， ，解得．，， 向量对应的复数为． （2）的中点Z对应的复数为，． 23．（24-25高一下·全国）已知复数． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若z是纯虚数，求实数m的值． 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【分析】（1）根据复数为实数的充要条件列式求解即可. （2）根据复数为虚数的充要条件列式求解即可. （3）根据复数为纯虚数的充要条件列式求解即可. 【详解】（1）若z是实数，则，解得或． （2）若z是虚数，则，解得且． （3）若z是纯虚数，则解得． 24．（23-24高一下·陕西商洛·期末）已知，复数. (1)若为纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求整数的值. 【答案】(1)； (2)和 【分析】（1）由为纯虚数，求出的值，从而得到复数，求解模长即可； （2）在复平面内对应的点位于第二象限，求出的取值范围，进而得到整数的值即可. 【详解】（1）由于复数为纯虚数， 所以，解得，此时， （2）若在复平面内对应的点位于第二象限， 则，解得， 故整数的值有. 【高分达标】 一、单选题 25．（24-25高一下·全国）复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】依据题意化简复数，求出对应坐标后判断象限即可. 【详解】由题意得，对应点为， 它在第二象限，故B正确. 故选：B 26．（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为.若点A关于虚轴的对称点为点B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义结合已知条件直接求解即可. 【详解】因为复数对应的点为， 所以点A关于虚轴的对称点为， 所以对应的复数为. 故选：C 27．（23-24高一下·甘肃庆阳·期中）已知虚数是关于的方程的一个根，且，则（    ） A．3 B．2 C．4 D．7 【答案】D 【分析】法一：设，代入原方程，根据复数相等和可得到答案；法二：解关于的方程求出对应的含参数的虚数根，再由，求出的值. 【详解】法一：设，由 则 则解得； 法二：由有虚数根，可知且， 又由，有，解得． 故选：D． 28．（23-24高一下·福建福州·期末）若是纯虚数，则实数（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据纯虚数的定义，列出方程组，求解即可. 【详解】因为是纯虚数，所以，解得：， 故选：C 29．（23-24高一下·广东清远·期中）已知复数，则（    ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点在第三象限 【答案】C 【分析】根据复数虚部、共轭复数、模和对应点坐标所在象限的知识，选出正确选项. 【详解】复数的虚部为，故A不正确； ，故B不正确； ，故C正确； 在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故D不正确. 故选：C. 30．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）已知，，则“n为偶数”是“”（是虚数单位）的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由的运算性质可得答案. 【详解】当n为偶数时，，则“n为偶数”是“”（是虚数单位）的充分条件； 当n为奇数时，，则时，n为偶数，则“n为偶数”是“”（是虚数单位）的必要条件. 综上，“n为偶数”是“”（是虚数单位）的充要条件. 故选：C 31．（23-24高一下·安徽芜湖·期末）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义，结合向量的减法运算求解. 【详解】由题意可得，， 所以， 所以向量对应的复数为. 故选：. 32．（23-24高一下·湖北·期末）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的运算法则和复数的几何意义可得，结合即可下结论. 【详解】, 所以该复数在复平面所对应的点的坐标为， 又，所以， 所以点位于第四象限. 故选：D 二、多选题 33．（23-24高一下·四川达州·期中）下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【答案】ACD 【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可求解. 【详解】对A，当时，则是实数，故A错误； 对B，根据复数定义可知，故B正确； 对C，，那么是实数，故C错误； 对D，根据虚数，故D错误. 故选：ACD 34．（24-25高一下·全国·单元测试）在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】AB 【分析】先把复数整理成，根据复数对应的点位于第二象限列式，求出实数的取值范围，再逐一验证即可. 【详解】整理得，对应的点位于第二象限， 则，解得． 故选：AB 35．（23-24高一下·河南商丘·期中）已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点可能在第三象限 【答案】AB 【分析】根据复数的分类，即可列出方程或不等式，进而判断A,B;根据复数的几何意义，即可列出方程或不等式，进而可以判断C,D. 【详解】对于A，若为纯虚数，则，解得，A正确； 对于B，若为实数，则，所以，此时，B正确； 对于C，在复平面内对应的点为， 所以，即，解得或，C错误； 对于D，若在复平面内对应的点在第三象限，则无解， 所以在复平面内对应的点不可能在第三象限，D错误. 故选：AB. 36．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期末）已知复数，则（    ） A．z的共轭复数为 B．z是纯虚数 C．z的模是5 D．z在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AD 【分析】根据共轭复数的定义判断A选项，根据复数类型判断B选项，应用模长公式判断C选项，根据复数对应点判断D选项. 【详解】对于A，由共轭复数定义知的共轭复数为，故A正确； 对于B，纯虚数要求实部为0，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，z在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确． 故选：AD． 37．（23-24高一下·安徽铜陵·期末）已知复数，其中为实数，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若为虚数，则或 B．若复平面内表示复数的点位于第二象限，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BC 【分析】根据题意，根据复数的定义，以及复数的几何意义，以及复数的运算形式，逐项判定，即可求解. 【详解】由复数，其中为实数，为虚数单位， 对于A中，若为虚数，则满足，解得且，所以A不正确； 对于B中，若复平面内表示复数的点位于第二象限，则满足， 解得，所以B正确； 对于C中，若，可得，解得，所以C正确； 对于D中，当且，可得为虚数，为虚数，而，所以，所以D不正确. 故选：BC. 38．（23-24高一下·重庆·期末）已知复数在复平面内对应的点分别为，则（    ） A． B． C．满足的复数对应的点形成的图形的周长是 D．满足的复数对应的点形成的图形的面积是 【答案】BD 【分析】根据复数的几何意义可得.求得即可判断A；求得即可判断B；求得即可判断C；求得即可判断D. 【详解】由，得. A：，则，又， 所以，故A错误； B：，故B正确； C：设，则， 由，得，即， 所以复数对应的点形成的图形的周长为，故C错误； D：设，则， 又，所以，即， 所以满足的复数对应的点形成的图形的面积为，故D正确. 故选：BD 三、填空题 39．（24-25高一下·全国·随堂练习）在复平面内，复数，对应的点分别为A，B，若为线段的中点，则点对应的复数是 ． 【答案】 【分析】写出复数所对应点的坐标，有中点坐标公式求出的坐标，则答案可求． 【详解】因为复数，对应的点分别为，． 且为线段的中点，所以． 则点对应的复数是． 故答案为：． 40．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知i是虚数单位，复数z和均为纯虚数，则 . 【答案】 【分析】先利用待定系数法、纯虚数的概念求出，然后根据模的计算公式求解即可. 【详解】由题意设， 则是纯虚数当且仅当， 解得，所以. 故答案为：. 41．（2024·福建泉州·模拟预测）已知幂函数的图象过点，则复数（其中i为虚数单位）的模的大小= ． 【答案】 【分析】设出，代入，求出解析式，计算出，求出，计算出模长. 【详解】设幂函数，因为函数图象过点， 所以，解得，所以， 所以， ， . 故答案为：． 42．（23-24高一下·广东惠州·期中）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后，则所得向量对应的复数为 （用代数形式表示）. 【答案】 【分析】根据复数的几何意义，结合三角形计算即可. 【详解】 如图所示，复数对应的向量,则,, 绕原点按顺时针方向旋转90°，得向量,则,, 则向量,对应的复数为. 故答案为： 四、解答题 43．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）已知i是虚数单位，复数． (1)当复数z为虚数时，求m的取值范围； (2)当复数z在复平面对应的点在第二象限，求m的取值范围． 【答案】(1)且 (2) 【分析】（1）由虚数的概念列方程求解即可； （2）由复数的几何意义得，解不等式即可得解. 【详解】（1）因为复数虚数，所以 解得，且 （2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以， 解之得，得． 所以实数的取值范围为 44．（23-24高一下·江苏苏州·期末）复数，且在复平面上对应的点在第一象限． (1)若，求复数的模； (2)若复数的模为，复数的实部为，求锐角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由模的计算公式以及二倍角公式即可求解； （2）由题意求得，，，进一步由两角差的余弦公式即可求解. 【详解】（1）； （2）由题意，， 且由在复平面上对应的点在第一象限可知，， 不妨设是锐角，解得， 因为也是锐角，所以， 所以， 所以. 45．（23-24高一下·江苏苏州·期中）复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上．求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或或 (3) 【分析】（1）结合复数的几何意义与第四象限的点的特点计算即可得； （2）结合复数的几何意义与第一象限或第三象限的点的特点计算即可得； （3）由题意可得，计算即可得. 【详解】（1）由题意，复数在复平面内对应的点为． 当点位于第四象限时，则，即， 故或； （2）当点位于第一象限或第三象限时， 则， 即， 故或或． （3）当点位于直线上，则，解得． 46．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，4＋4i．－2＋4i． (1)求向量对应的复数； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）由复数的几何意义求解即可； （2）计算向量的模长，判断出为等腰三角形，求解其面积即可. 【详解】（1）对应的复数为． 对应的复数为． 对应的复数为； （2）因为，，，所以， 所以为等腰三角形． 所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1复数的概念 【考点梳理】 · 考点一：复数的概念 · 考点二：复数实部和虚部 · 考点三：根据相等条件求参数 · 考点四：复数的分类问题 · 考点五：已知复数的类型求参数 · 考点六：复数的坐标问题 · 考点七：复数的模的问题 · 考点八：复数的综合问题 【知识梳理】 知识点一　复数的有关概念 1.复数 (1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1. (2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部. 2.复数集 (1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集. (2)表示：通常用大写字母C表示. 知识点二　复数的分类 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 知识点三　复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 知识点四　复数的几何意义 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). 2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 知识点五 复数的模 1.定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值. 2.记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. 3.公式：|z|＝|a＋bi|＝. 知识点六　共轭复数 1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. 2.表示：z的共轭复数用表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi. 【题型归纳】 题型一：复数的概念 1．（2024高一·全国）给出下列命题： ①若R，则是纯虚数； ②若R且，则； ③若C，则复数的实部为a，虚部为b； ④i的平方等于. 其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 2．（22-23高一下·全国）下列四种说法正确的是（    ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 3．（22-23高一下·湖南长沙）已知为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数 C．可能是实数 D．复数的虚部是 题型二：复数实部和虚部 4．（23-24高一下·江苏苏州·期中）若复数满足(是虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·广东湛江·期末）以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏镇江·期中）已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（   ） A． B． C． D． 题型三：根据相等条件求参数 7．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知为虚数单位，为实数，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2023·全国·模拟预测）已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（21-22高一·全国·课后作业）若，是虚数单位，，则等于（    ） A． B． C． D． 题型四：复数的分类问题 10．（2024高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 11．（22-23高二上·浙江温州·期中）若a，，则“复数为纯虚数（是虚数单位）”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2024高一下·江苏·专题练习）对于复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．i的平方等于1 题型五：已知复数的类型求参数 13．（24-25高一下·全国·随堂练习）若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 14．（24-25高一下·全国）设，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（23-24高三上·山东德州）如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（    ） A．且 B． C． D．或 题型六：复数的坐标问题 16．（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．（2024高一下·江苏·专题练习）在复平面内，平行四边形ABCD的3个顶点A，B，C对应的复数分别是，0，则点D对应的复数是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高三上·江苏常州·期末）在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数是（   ） A．1 B． C． D． 题型七：复数的模的问题 19．（23-24高二下·云南·期末）已知i为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 20．（23-24高一下·四川遂宁·阶段练习）复数，下列说法不正确的是（ ） A．的实部为2 B．的虚部为 C． D． 21．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知复数的实部与虚部相等，则（    ） A． B． C． D． 题型八：复数的综合问题 22．（24-25高一下·全国）设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数，，且，（其中），若可以与任意实数比较大小． (1)求向量对应的复数； (2)设中点为Z，求． 23．（24-25高一下·全国）已知复数． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若z是纯虚数，求实数m的值． 24．（23-24高一下·陕西商洛·期末）已知，复数. (1)若为纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求整数的值. 【高分达标】 一、单选题 25．（24-25高一下·全国）复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 26．（24-25高一下·全国）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为.若点A关于虚轴的对称点为点B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一下·甘肃庆阳·期中）已知虚数是关于的方程的一个根，且，则（    ） A．3 B．2 C．4 D．7 28．（23-24高一下·福建福州·期末）若是纯虚数，则实数（   ） A． B． C．2 D． 29．（23-24高一下·广东清远·期中）已知复数，则（    ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点在第三象限 30．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）已知，，则“n为偶数”是“”（是虚数单位）的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 31．（23-24高一下·安徽芜湖·期末）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一下·湖北·期末）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、多选题 33．（23-24高一下·四川达州·期中）下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 34．（24-25高一下·全国·单元测试）在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 35．（23-24高一下·河南商丘·期中）已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点可能在第三象限 36．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期末）已知复数，则（    ） A．z的共轭复数为 B．z是纯虚数 C．z的模是5 D．z在复平面内对应的点位于第四象限 37．（23-24高一下·安徽铜陵·期末）已知复数，其中为实数，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若为虚数，则或 B．若复平面内表示复数的点位于第二象限，则 C．若，则 D．若且，则 38．（23-24高一下·重庆·期末）已知复数在复平面内对应的点分别为，则（    ） A． B． C．满足的复数对应的点形成的图形的周长是 D．满足的复数对应的点形成的图形的面积是 三、填空题 39．（24-25高一下·全国·随堂练习）在复平面内，复数，对应的点分别为A，B，若为线段的中点，则点对应的复数是 ． 40．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知i是虚数单位，复数z和均为纯虚数，则 . 41．（2024·福建泉州·模拟预测）已知幂函数的图象过点，则复数（其中i为虚数单位）的模的大小= ． 42．（23-24高一下·广东惠州·期中）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后，则所得向量对应的复数为 （用代数形式表示）. 四、解答题 43．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）已知i是虚数单位，复数． (1)当复数z为虚数时，求m的取值范围； (2)当复数z在复平面对应的点在第二象限，求m的取值范围． 44．（23-24高一下·江苏苏州·期末）复数，且在复平面上对应的点在第一象限． (1)若，求复数的模； (2)若复数的模为，复数的实部为，求锐角的余弦值． 45．（23-24高一下·江苏苏州·期中）复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上．求实数的取值范围． 46．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，4＋4i．－2＋4i． (1)求向量对应的复数； (2)求的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$