9.4 矩形、菱形、正方形-课时2 矩形的判定-【初中必刷题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(苏科版)

数 学 八年级下册 苏科版 1 2 第9章 中心对称图形——平行四边形 3 9.4 矩形、菱形、正方形 课时2 矩形的判定 4 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 基础 知识点1 根据矩形的定义判定 1.【2024山东聊城质检】如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮 筋.若改变框架的形状，则 也随之变化，两条对角线长度也发生改变.那么当 ____时，活动框架是矩形. 【解析】根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可以得到 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 2.【2024江苏常州模拟】如图，已知 ， ，， . （1）求证： ； 【证明】， . ，，即 . 在与中， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 （2）求证：四边形 是矩形. 【解】 ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形. 又 ， 四边形 是矩形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 知识点2 根据直角的个数判定 （第3题图） 3.如图，在中， ，，，是 边 上的一点，作，，垂足分别为,，连接 ,则 长度的最小值是( ) C A.2 B.2.2 C.2.4 D.2.5 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 【解析】连接，如图. ，， ， ， 四边形 是矩形， .要使长度最小，只需长度最小即可.当 思路分析 先由直角的个数判定四边形是矩形，再利用矩形的性质将求 长度的最小 值转化为求 长度的最小值，最后利用垂线段最短和三角形面积公式求解即可. 时，长度最小.在中， ，， ，由勾股定理 得.由三角形面积公式得，，即 长度的 最小值为2.4. 故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （第4题图） 4.如图，在矩形中，为边的中点，为 边上一点， ，，当， 满足条件___________时，四边形 为矩形. 【解析】当时，四边形是矩形.理由： 在矩形中，为 边的中点，，， ， ， .又 ， ， ， 四边形 是矩形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 5.【2023广东广州越秀区调研】如图，平行四边形 的四个内角的平分线分别相交于点，，， .求证：四 边形 是矩形. 【证明】 四边形是平行四边形， ， . ，分别平分，，， ， ， .同理， ， 四边形 是矩形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 知识点3 根据对角线判定 6.【2023江苏无锡期中】如图所示，矩形的对角线 ， 相交于点，，，，分别是，，， 的中点， 求证：四边形 是矩形. 【证明】是的中点，是的中点， ， 四边形是矩形，，.同理可证 , 四边形是平行四边形.， ， .同理可证， 四边形 是矩形， ，， 四边形 是矩形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 7.【江苏连云港中考】如图，点是的中点，四边形 是平行四边形. （1）求证：四边形 是平行四边形. 【证明】 四边形是平行四边形，， 点是 的中 点，，.又， 四边形 是平行四边形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 （2）如果，求证：四边形 是矩形. 【解】 四边形是平行四边形，， 四 边形是平行四边形， 四边形 是矩形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 技巧总结 判定矩形的常用思路： 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 知识点4 两条平行线之间的距离 8.【2024江苏盐城质检】一种燕尾夹如图（1）所示，图（2）是在闭合状态时的 示意图，图（3）是在打开状态时的示意图（数据如图，单位： ）.则在图（3） 时，点，之间的距离为____ . 20 图（1） 图（2） 图（3） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 【解析】连接，， ， ，， 四边 是平行 四边形.又 ， 四边形是矩形， .故答案 为20. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 9.在同一平面内，设，，是三条互相平行的直线，已知直线与 之间的距离 为，直线与之间的距离为，则直线与之间的距离为______ . 5或3 【解析】当直线在直线,之间时，,,是三条互相平行的直线，直线， 之间的距离为，直线，之间的距离为， 直线， 之间的距离为 当直线不在直线，之间时，，， 是三条互相平行的直线， 直线，之间的距离为，直线，之间的距离为， 直线， 之间的距 离为综上所述，直线与之间的距离为或 . 易错警示 题目并未给出图形，故要注意分情况讨论，防止漏解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 提升 （第1题图） 1.［中］如图，四边形中，以对角线为斜边作 ， 连接，，，，相交于点 且互相平分.若 ，则 的长为( ) B A. B. C.3 D.4 【解析】连接，，互相平分， ， ， 四边形是平行四边形. 以为斜边作 ， ，，， 四边形是矩形，， ， ，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 （第2题图） 2.【2024江苏宿迁期中，中】如图，在中， ， ，连接，相交于点，为的中点，若 ， 则四边形 的面积为( ) C A. B. C. D. 【解析】，，，, ， ， ， 是矩形， 为的中点， ， ， 四边形 的面积为 . 故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 （第3题图） 3.［中］如图，线段的端点在直线上，过线段 上的一 点作的平行线，分别交和的平分线于点， ， 连接， .添加一个适当的条件：当_____________________ _______时，四边形 为矩形. 是的中点（答案不唯一） 【解析】添加条件为是的中点.理由如下： ， 平分，， ， .同理可证，.当是 的中点时， ，, 四边形 是平行四边形. ，，， 平行四边形 是矩形.故 答案为是 的中点（答案不唯一）. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 4.【2024江苏南京玄武区期中，中】如图，在平行四边形中，对角线 ， 相交于点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿方向运动，点 同时以每秒1个单位长度的速度从点出发沿方向运动.若， ， 则经过_______秒后，四边形 是矩形. （第4题图） 2或10 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 【解析】设运动的时间为秒. 四边形是平行四边形，， ， ， ， 或， 四边形是平行四边形， 当 时，四边形是矩形，，或， 或， 经过2秒或10秒后，四边形 是矩形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 5.【2023江苏南京鼓楼区期中，中】如图，在四边形 中， ， ，，，过 作 于，则 的长是___. 6 思路分析 注意到条件中的 ,则考虑过 作 于，构造矩形,得 ，再推导出 ,用含 角的直角三角形的性质求得，即可求出 的长. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 【解析】如图，过作于，则 ， ， 四边形 是矩形, , , , ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 6.【2023江苏常州质检，中】如图，在 中，对角线 与相交于点，点，分别为， 的中点，延长 至，使，连接 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 （1）求证： ； 【证明】 四边形是平行四边形，，， ， ， 点，分别为，的中点， , ，.在和 中， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 （2）当与满足什么数量关系时，四边形 是矩形？请说明理由. 【解】当时，四边形是矩形.理由如下： ， ，是的中点，， .同理， ，.由（1）得， ， ， 四边形是平行四边形. ， 四边形 是矩形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 思路分析 （1）由平行四边形的性质得出，，， ，由平 行线的性质得出，再由,分别为,的中点推出 ，即 可利用证明 ； （2）当时，可先推得，由等腰三角形的性质得出 ， 则 ，同理，，可得，易推得 ，从而判定四 边形是平行四边形，再由 可得四边形 是矩形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 7.【2024福建龙岩期中，较难】如图（1），四边形中， ， ， . 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 （1）求证：四边形 为矩形. 【证明】， ， 四边形 是平行四边形. ， . ， ， 四边形 是矩形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 （2）如图（2），为的中点，在上取一点，使 . ①若为中点，，求 的长； 【解】如图，延长，交于点 . 为 中点， ， . ， . 为的中点， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 在和中， ， . ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 ②若，，求 的长. 【解】如图，由①可知，， ， ， . 设.在中， . 在中， ， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 $$