6.3　特殊的平行四边形 第5课时　正方形的性质与判定课件 2024-2025学年 青岛版数学八年级下册

第5课时　正方形的性质与判定 栏目导航 知识梳理 考点梳理 1.正方形的定义 有一组邻边　　　,并且有一个角是　　　的平行四边形叫做正方形. 2.正方形的性质 正方形的四条边　　　,四个角都是　　　,对角线互相平分、　 　. 且相等.  3.正方形的判定方法 (1)有一组邻边相等的　　　　是正方形.  (2)有一个角是直角的　　　　是正方形.  (3)对角线互相　　　　且　　　　的平行四边形是正方形.  知识梳理 相等 直角 相等 直角 垂直 矩形 菱形 垂直 相等 正方形的性质 考点梳理 [典例1]如图所示,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在边AB,CD上,且四边形BEDF为正方形. (1)求证:AE=CF; (1)证明:∵四边形BEDF为正方形,∴DF=EB. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴DC=AB,∴DC-DF=AB-EB,∴AE=CF. (2)已知平行四边形ABCD的面积为20,AB=5,求CF的长. (2)解:∵平行四边形ABCD的面积为20,AB=5,四边形BEDF为正方形, ∴5DE=20,DE=EB,∴DE=EB=4, ∴AE=AB-EB=5-4=1. 由(1),知AE=CF,∴CF=1. [变式1]如图所示,正方形ABCD的对角线相交于点O,过点O作OE⊥OF分别交AB,BC于点E,F,若AE=8,CF=6,则EF的长是　　　　.  10 正方形的性质 (1)正方形的四条边都相等,四个角都是直角; (2)正方形的两条对角线相等,且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角; (3)正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质; (4)两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形,正方形是轴对称图形,有四条对称轴. 正方形的判定 混淆正方形与矩形、菱形的判定方法导致出错. [典例2]如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O. (1)若∠OAB=45°,求证:四边形ABCD是正方形; (2)请添加一个异于(1)中的条件,使矩形ABCD成为正方形,不用说明 理由. (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°. ∵∠OAB=45°,∴∠ACB=90°-∠OAB=45°=∠CAB, ∴AB=BC,∴矩形ABCD是正方形. (2)解:添加的条件是AB=AD.(答案不唯一) [变式2](2023雁塔模拟)如图所示,在矩形ABCD中,AE平分∠DAB交DC的延长线于点E,过点E作EF⊥AB,交AB的延长线于点F,求证:四边形ADEF是正方形. 证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=∠DAB=90°. ∵AE平分∠DAB,∴∠EAF=45°. ∵EF⊥AB,∴∠F=90°=∠D=∠DAF,∴四边形ADEF是矩形. ∵∠F=90°,∠EAF=45°,∴∠AEF=45°, ∴∠EAF=∠AEF,∴AF=EF, ∴矩形ADEF是正方形. 栏目导航 基础巩固练 能力提升练 素养培优练 正方形的性质 基础巩固练 1. 如图所示,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则图中的等腰直角三角形有( ) A.4个 B.6个 C.8个 D.10个 C 2.如图所示,四边形ABCD,CEFG均为正方形,其中正方形CEFG的面积为36 cm2,若图中阴影部分的面积为10 cm2,则正方形ABCD的面积为( ) A.6 cm2 B.16 cm2 C.26 cm2 D.46 cm2 B 3.如图所示,点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点,∠1=∠2,则∠BPC的度数为　 　°.  135 4.如图所示,在正方形ABCD的内部作等边三角形DCE,则∠BAE的度数是 　 　.  15° 正方形的判定 5.(2024安康期中)学习了特殊的平行四边形后,小海同学为了加强记忆,画出了如图所示关系图,并在箭头处填写了它们之间转换的条件,其中填写错误的是( ) A.③有一组邻边相等 B.②对角线互相垂直 C.④有一个角是直角 D.①一条对角线与其中一边相等 D 6.如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:①AB⊥AD,且AB=AD;②AB=BD,且AB⊥BD;③OB=OC,且OB⊥OC;④AB=AD,且AC=BD.其中正确的序号是　 　.  ①③④ 7.如图所示,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,AF⊥DE,且AF=DE, AF与DE相交于点G.求证:矩形ABCD为正方形. 证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=∠B=90°. ∵DE⊥AF,∴∠AGD=∠DAB=90°, ∴∠ADE+∠DAF=90°,∠BAF+∠DAF=90°,∴∠ADE=∠BAF. 又∵AF=DE,∴△ABF≌△DAE(AAS), ∴AD=AB, ∴矩形ABCD是正方形. 能力提升练 8.(2024保定二模)如图所示,将一张等腰直角三角形纸片沿斜边上的中线对折后再沿虚线剪开,得到①、②两部分,将①展开后的图形为 ( ) A.三角形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 D 9.如图所示,把含30°角的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中,∠PMN =30°,直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上,点M,N分别在边AB和CD上,MN与BD交于点O,且点O为MN的中点,则∠AMP的度数为( ) A.60° B.65° C.75° D.80° C 10.如图所示,四边形ACDF是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角,且E,A,B三点共线,AB=4,则图中阴影部分的面积是　 　.  8 11.如图所示,AD是△ABC的一条角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F. (1)求证:四边形AEDF是菱形; (1)证明:∵DE∥AC,DF∥AB, ∴四边形AEDF是平行四边形,∠EAD=∠ADF. ∵AD是△ABC的角平分线,∴∠EAD=∠FAD, ∴∠ADF=∠FAD,∴FA=FD, ∴平行四边形AEDF是菱形. (2)若∠B=35°,则当∠C为多少度时,四边形AEDF为正方形? (2)解:由(1)知四边形AEDF是菱形. 当∠BAC=90°时,菱形AEDF是正方形. ∵∠B=35°,∠BAC=90°, ∴∠C=55°. 素养培优练 12. 如图所示,E是矩形ABCD的边BC的中点,P是边AD上的动点,PF⊥AE,PH⊥DE,垂足分别为F,H. (1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时,四边形PHEF是矩形?请证明. 解:(1)当矩形ABCD的长是宽的2倍时,四边形PHEF是矩形. 证明如下:∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AB=CD. ∵E是BC的中点,∴BE=EC. 又∵BC=2AB, ∴AB=BE=EC=CD, ∴△ABE,△DCE均是等腰直角三角形, ∴∠AEB=∠DEC=45°, ∴∠AED=90°. 在四边形PHEF中, ∵∠PFE=∠FEH=∠EHP=90°, ∴四边形PHEF是矩形. (2)在(1)的条件下,动点P运动到什么位置时,矩形PHEF变为正方形?为什么? 解:(2)当点P运动到AD的中点时,矩形PHEF变为正方形.理由如下: 由(1)可得∠BAE=∠CDE=45°, ∴∠FAP=∠HDP=45°. 又∵∠AFP=∠DHP=90°,AP=DP, ∴△AFP≌△DHP,∴PF=PH, ∴矩形PHEF是正方形. 谢谢观赏！ 25 $$