6.3　特殊的平行四边形 第1课时　矩形的性质 课件 2024-2025学年 青岛版数学八年级下册

6.3　特殊的平行四边形 第1课时　矩形的性质 栏目导航 知识梳理 考点梳理 1.矩形的定义 有一个角是　　　　的平行四边形叫做矩形.  2.矩形的性质 (1)矩形是特殊的平行四边形,具有平行四边形的所有性质,即对边平行且相等,对角线互相　　　　,对角　　　　.  (2)矩形是轴对称图形,它有　 　　条对称轴,对称轴分别是经过两组对边　　　　的两条直线.  知识梳理 直角 平分 相等 两 中点 (3)矩形的性质定理 性质定理1:矩形的四个角都是　　　　.  性质定理2:矩形的对角线　　　　.  3.直角三角形的性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的　　　　.  直角 相等 一半 矩形的性质 考点梳理 [典例]如图所示,将矩形ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为点E,AE与CD交于点F. (1)求证:△DAF≌△ECF; (2)若∠FCE=40°,求∠CAB的度数. (2)解:∵△DAF≌△ECF,∴∠DAF=∠ECF=40°. ∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=90°, ∴∠EAB=∠DAB-∠DAF=90°-40°=50°. ∵∠EAC=∠CAB,∴∠CAB=25°. [变式1]如图所示,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E.若∠ODA=30°,则∠BOE的度数为　　　　.   75° [变式2]“美丽乡村”建设使农村住宅旧貌变新颜,如图所示为一农村居民住宅的侧面示意图,屋坡AF,AG分别架在墙体的点B,C处,且AB=AC,四边形BDEC为矩形.若测得∠FBD=55°,则∠A=　 　　°.  110 [变式3]如图所示,矩形ABCD和矩形AECF有公共顶点A和C,AE,BC相交于点G,AD,CF相交于点H.求证:△ABG≌△CDH. [变式4]如图所示,在矩形ABCD中,AE平分∠BAC,CF平分∠ACD.求证: △ABE≌△CDF. 矩形的性质 (1)矩形具有平行四边形的所有性质; (2)角:矩形的四个角都是直角; (3)边:矩形的邻边垂直; (4)对角线:矩形的对角线相等; (5)矩形是轴对称图形,它有两条对称轴,对称轴分别是经过两组对边中点的两条直线. 栏目导航 基础巩固练 能力提升练 素养培优练 矩形的性质 基础巩固练 1.(2024 合肥一模)如图所示,矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图,杯中水面与AD的交点为E,当水杯底面AB与水平面的夹角为37°时, ∠CED的度数为( ) A.27° B.37° C.53° D.63° C 2. 如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列说法不正确的是( ) A.若S△AOB=2,则S矩形ABCD=8 B.△AOB≌△COD C.OA≠OB D.△ABC≌△DCB≌△BAD≌△CDA C 3.如图所示,在矩形ABCD中,连接AC,延长BC至点E,使BE=AC,连接DE.若∠BAC=40°,则∠E的度数是( ) A.65° B.60° C.50° D.40° A 4.如图所示,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且∠AOD=120°,过点A作AE⊥BD于点E,则BE∶ED等于( ) A.1∶3 B.1∶4 C.2∶3 D.2∶5 A 直角三角形斜边上的中线的性质 5.如图所示,在四边形ABCD中,∠BCD=90°,AB⊥BD于点B,点E是BD的中点,连接AE,CE,则AE与CE的大小关系是( ) A.AE<CE B.AE=CE C.AE>CE D.AE=2CE C 65° 7.如图所示,已知∠ABC=∠ADC=90°,点O是线段AC的中点. (1)求证:OB=OD; (2)若∠ACD=60°,OB=6,求△OCD的周长. 能力提升练 8.如图所示,将矩形纸片ABCD沿BE折叠,使点A落在对角线BD上的点A′处.若∠DBC=24°,则∠A′EB等于( ) A.66° B.60° C.57° D.48° 9.如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F,若AB=3,BC=4,则图中阴影部分的面积为　 　.  C 6 10.如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥ BD,垂足为点E,若∠EAC=2∠CAD,则∠BAE=　 　.  22.5° 11.如图所示,△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,点D是AB的中点,点P是AB上的一个动点(点P与点A,B不重合),矩形PECF的顶点E,F分别在BC,AC上,连接DE,DF. (1)探究DE与DF的关系,并给出证明. ∵四边形PECF是矩形, ∴CE=FP,FP∥CB,PF⊥AC, ∴△APF是等腰直角三角形,∴AF=PF=EC. 又∵∠DCE=∠A=45°, ∴△DCE≌△DAF(SAS), ∴DE=DF,∠ADF=∠CDE. ∵∠CDA=90°,∴∠EDF=90°, ∴DE⊥DF. (2)当点P满足什么条件时,线段EF最短?(直接给出结论,不必说明理由) 解:(2)点P与点D重合时,线段EF最短. 素养培优练 12. 如图所示,在矩形ABCD中,AC是对角线. (1)实践与操作:利用尺规作线段AC的垂直平分线,垂足为点O,交边AD于点E,交边BC于点F(要求:尺规作图并保留作图痕迹,不写做法,标明字母). 解:(1)如图所示. (2)猜想与证明:试猜想线段AE与CF的数量关系,并加以证明. 谢谢观赏！ 28 (1)证明:由题意,得AD=BC=EC,∠D=∠B=∠E=90°. 在△DAF和△ECF中, ∴△DAF≌△ECF(AAS). 证明:∵四边形ABCD与四边形AECF都是矩形, ∴AB=CD,∠B=∠D=90°,AH∥GC,AG∥CH, ∴四边形AGCH是平行四边形,∴AG=CH. 在Rt△ABG与Rt△CDH中, ∴Rt△ABG≌Rt△CDH(HL). 证明:∵在矩形ABCD中,AB=CD,AB∥CD,∠B=∠D=90°,∴∠BAC=∠DCA. ∵AE平分∠BAC,∴∠EAC=∠BAE=∠BAC. ∵CF平分∠ACD,∴∠ACF=∠DCF=∠ACD,∴∠BAE=∠DCF. 在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(ASA). 6.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,点E在BC边上, CE=AB.若∠A=40°,则∠CED=　 　. (1)证明:∵∠ABC=∠ADC=90°, ∴△ABC与△ADC均为直角三角形. ∵点O是AC的中点, ∴OB=AC,OD=AC,∴OB=OD. (2)解:∵OB=6,OD=OB,∴OD=6. ∵∠ADC=90°,O为AC的中点, ∴OC=OD=AC. 又∵∠ACD=60°, ∴△OCD是等边三角形. ∴△OCD的周长是6×3=18. 解:(1)DE=DF,DE⊥DF. 证明如下:如图所示,连接CD. ∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,点D是AB的中点, ∴CD=AB=AD,CD⊥AD,∠A=45°. ∴∠DCE=45°. 解:(2)AE=CF.证明如下: ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO. ∵EF是AC的垂直平分线,∴AO=CO. 在△AOE和△COF中, ∴△AOE≌△COF(AAS), ∴AE=CF. $$