第六章 特殊平行四边形-全章综合训练-【初中必刷题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(鲁教版 五四制)

数 学 八年级下册 LJ 1 2 第六章 特殊平行四边形 3 全章综合训练 4 刷中考 刷章测 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 中考 考点1 菱形的性质与判定 1.【2024湖北武汉中考】小美同学按如下步骤作四边形 （1）画；（2）以点 为圆心，1个单位长 为半径画弧，分别交，于点， ；（3）分别以点 ，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点 ；（4） C A. B. C. D. 连接，，.若 ，则 的大小是 ( ) 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 【解析】由作图步骤可知四边形是菱形，， ， ， .故选C. 思路分析 由作图步骤可知四边形 是菱形，然后根据菱形的性质和三角形内角和定理求 出答案即可. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 （第2题图） 2.【2024黑龙江绥化中考】如图，四边形 是菱形， ，，于点，则 的长是( ) A A. B.6 C. D.12 【解析】 四边形是菱形，， ， ，，， ， .在 中，由勾股定理得 ， 菱形 的面积为 ， .故选A. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 3.【2024内蒙古通辽中考】如图，的对角线，交于点 ，以下条件 不能证明 是菱形的是( ) （第3题图） D A. B. C. D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 【解析】，， 是菱形，故选项A不符合题意. 四边形是平行四边形，， ， ，，是菱形，故选项B不符合题意. 四边 形是平行四边形，， ， ，， 是菱形，故选项C不符合题意. ， ，， 不能证得 是菱形， 故选项D符合题意.故选D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 4.【2024四川甘孜州中考】如图，在菱形中，，则菱形 的周长 为___. 8 【解析】 四边形是菱形，， 菱形的周长是 .故答 案为8. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 5.【2024上海中考】在菱形中， ，则____ . 57 【解析】如图， 四边形是菱形， ， ， .故答案为57. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 6.【2024山东济南中考】如图，在菱形中， ，垂足为 ，，垂足为.求证： . 【证明】 四边形是菱形，， ， .在与中， 思路分析 根据菱形的性质得到，根据垂直的定义得到 ，根 据全等三角形的判定定理和性质定理即可得到结论. ，， ， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 考点2 矩形的性质与判定 7.【2024四川泸州中考】已知四边形 是平行四边形，下列条件中，不能判定 为矩形的是( ) D A. B. C. D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 【解析】 四边形是平行四边形， 当 时，平行四边形 是 矩形， 选项A可以判定为矩形，故选项A不符合题意. 四边形 是 平行四边形，， .当时， ， 此时为矩形， 选项B可以判定为矩形，故选项B不符合题意. 四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是矩形， 选项 C可以判定为矩形，故选项C不符合题意. 四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是菱形， 选项D不能判定为矩形， 选项D符合题意．故选D． 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.【2024吉林中考】如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点的坐标为.以，为边作矩形 .若将矩 形绕点顺时针旋转 ，得到矩形，则点 的坐 标为( ) C A. B. C. D. 【解析】 点A的坐标为，点C的坐标为，， 四边 形是矩形，.由旋转可得，， 点的坐标为 .故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 9.【2024黑龙江牡丹江中考】小明同学手中有一张矩形纸片 ， ， ，他进行了如下操作： 第一步，如图（1），将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕 ，将纸片 展平. 第二步，如图（2），再一次折叠纸片，把沿折叠得到， 交 折痕于点，则线段 的长为( ) B A. B. C. D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 【解析】 四边形是矩形， .由折叠可得 ，，，， 易知四 边形是矩形，，， ， ，.设，则 .在 中，根据勾股定理可得，即 ，解 得，即 ，故选B. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 10.【2024黑龙江牡丹江中考】矩形的面积是90，对角线，交于点 ， 点是边的三等分点，连接，点是的中点，，连接 ，则 的值为__________. 13或 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 【解析】当时，如图（1），由题意得点是的中点. 点是 的中 点， ,， 点是 边的三等分点， ， 矩形的面积是90， ， ，，；当 时，如 图（2），同理可得， 点是 边的三等分点， ， 矩形的面积是90， ， ，， .故答案为13或 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 关键点拨 分情况讨论：当时及当 时. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.【2024广东广州中考】如图，中， . （1）尺规作图：作边上的中线 （保留作图痕迹，不写作法）； 【解】如图（1），线段 即为所求. 图（1） 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 22 （2）在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转 得到，连接 ， .求证：四边形 是矩形. 【证明】如图（2）， 点是的中点， 将中线绕点 逆时针 旋转 得到，， 四边形是平行四边形. ， 四边形 是矩形. 图（2） 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 考点3 正方形的性质与判定 （第12题图） 12.【2024四川泸州中考】如图，在边长为6的正方形 中， 点，分别是边，上的动点，且满足，与 交于点，点是的中点，是边上的点， ，则 的最小值是( ) B A.4 B.5 C.8 D.10 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 24 【解析】 四边形是正方形，， .又 ，， ， ， 是直角三 角形. 点是 的 中点，如图所示，在延长线上截取 ，连接 ， ，， ， ， ， .当，D， 三点共线 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25 时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为 的长的一半. ，，，. 在 中，由勾股定理 得， 的最小值为5.故选B． 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.【2024福建中考】如图，正方形的面积为4，点，，， 分别为边 ，，，的中点，则四边形 的面积为 ___. 2 （第13题图） 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 【解析】如图，连接，交于点 四边形是正方形，且面积为4，，, 分别为边 ,的中点， 易得，.同理可得 ， ，， 四边形 的面积是 .故答案为2. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 28 考点4 直角三角形斜边中线的性质 14.【2024山东泰安中考】如图（1），在等腰中， ， ，点，分别在，上，，连接，，取中点 ，连 接 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 29 （1）求证：， ； 【证明】设与交于点.在和中， ， ，，， ， 是斜边的中点，， . ， , . ， , , . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 30 （2）将绕点 顺时针旋转到图（2）的位置. ①请直接写出与 的位置关系：_________； 【解】如图，延长到点，使 ， 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 31 连接，延长到点，使，连接并延长交于点 . ，，， ， ，， ， ， ， ，.在和中， ， ，，，是 中点，是中点，是的中位线， ， ， ， ， .故答案为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 32 ②求证： . 【证明】，， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 33 章测 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1.张师傅应客户要求加工4个菱形零件.在交付客户之前，张师傅需要对4个零件进 行检测.根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是( ) C A. B. C. D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 34 【解析】A选项，四条边相等的四边形是菱形，能判定菱形，不符合题意；B选项， 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形， 能判定菱形，不符合题意；C选项，不能判定四边形是菱形，符合题意；D选项， 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，能判 定菱形，不符合题意.故选C. 技巧总结 证明一个四边形是菱形时，关键是看已知条件，若是一般的四边形，则考虑证明 四条边都相等或对角线互相垂直平分；若是平行四边形，则考虑证一组邻边相等 或对角线互相垂直. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 35 2.斜边长为2的两个全等的直角三角板（含 角）按如图（1）所示拼成一个矩 形，将一个三角板保持不动，另一个三角板沿斜边向右下方滑动，如图（2），当 四边形是菱形时，平移距离 为( ) A A.1 B. C. D.2 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 36 【解析】 四边形是菱形， ， ，, ， , ，故选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 37 （第3题图） 3.【2024山东烟台质检】如图，两张等宽的矩形纸条交叉重叠 在一起，重叠的部分为四边形，若测得， 两点之间的距 离为，，两点之间的距离为 ，则这两张纸条的宽 为( ) C A. B. C. D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 38 【解析】如图，作于，于，连接， 交 于点.由题意知，， 四边形 是平行四 边形. 两个矩形等宽， ， ， 平行四边形是菱形， ， ， 点A，C之间的距离为，点B，D之间的距离为， ，， ， ， 这两张纸条的宽为 .故选C. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 39 关键点拨 隐含条件:两张纸条皆为矩形. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 40 （第4题图） 4.如图，在矩形中，，，为 的中点，连 接,,为上一动点，连接，为中点，连接 ， 则 的最小值是( ) C A.2 B.4 C. D. 【解析】如图，当点与点C重合时，点在处， ;当 点与点重合时，点在处，， 点 的运动轨迹是 线段， 当时， 取得最小值,易知此时垂足为 ，的最小值为的长.,， , ，的最小值是 . 故选C. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 41 （第5题图） 5.【2024重庆九龙坡区校级期末】如图，已知四边形 和四 边形都是正方形，点在线段上，连接，， 交 于点.若 ，则 ( ) D A. B. C. D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 42 【解析】过点作于点，作，交 的延长 线于 ， 设与交于点 ，如图所示，则 四边形和四边形 都 是正方形， ， ， ， ， ， 四 边形为矩形.， . 在和中， 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 43 ，， 矩形为正方形， ， ， ， 是正方形的对角线， ， ， ， .故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.【2023山东淄博淄川区调研】如图，在矩形中，，，点 从点向以每秒1个单位长度的速度运动，以为一边在 的左上方作正方形 ，同时垂直于的直线从点向 以每秒2个单位长度的速度运动，当点 落在直线上时，设运动的时间为秒，则 的值为( ) （第6题图） C A. B.4 C. D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 45 【解析】过点作，交的延长线于点 ，则 ，如图所示. 四边形 为矩形， ， 在正方形 中， ， ， ， . 在和中， ，.由题意得，解得 ， 故选C. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 46 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） （第7题图） 7.如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使 边与对 角线重合，点落在点处，折痕为，，则 的长为 ___. 6 【解析】由矩形的性质可得 .由折叠的性质可得 ，， ， 在 中，由勾股定理得 .在 中，由勾股定理得 ，即，解得 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 47 关键点拨 由折叠得到相等的边和角，再根据已知条件在直角三角形中运用勾股定理求解. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 48 （第8题图） 8.如图，在边长为4的正方形中，点是的中点， 于点，则 的长度为____.（提示：正方形的对角线长等于其边长 的 倍） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 49 【解析】连接交于点，如图.，是正方形 的对角线， .又， 点是的中点，是 的中位 线， 正方形的边长为4，， .故 答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 50 9.【2024山东东营期末】如图，已知正方形的顶点在直线上，点 在第一象限，若正方形的面积是34，则点 的坐标为_______. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 51 【解析】过点作轴交轴于点，过点作交的延长线于点 ， 交轴于点 正方形的顶点在直线上， 设 ， 正方形的面积是34， ， ,，， （负值舍去）， ，，轴，， ， 四边形 是矩形， ， ， ， .又 ，， ， ，.设，则 ， ，，， ， ， 点的坐标为.故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 52 10.【2024陕西榆林二模】如图，在矩形中，，点， 分别为边 ，的中点，连接，点为上一动点，连接，，的延长线交 于点，若，则 的长为___. 3 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 53 【解析】延长，，交于点，连接，如图所示.在矩形中， ， 则, 点为边的中点， ， ，.在矩形中， ，则 ，， ， ，，则， .在 中， ，则 ， 点为边的中点， 是 斜边上的中线，则 .故答案为3. 关键点拨 利用全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线的性质解题即可. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 54 三、解答题（本大题共2小题，共50分） 11.【2024山东济宁调研】如图，在菱形 中，对角线 ，交于点，过点作的垂线，垂足为点 ，延长 到点，使，连接 . （1）求证：四边形 是矩形； 【证明】 四边形是菱形，且 ， ，，， 四边形 是平 行四边形.， ， 四边形 是矩形. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 55 （2）连接，若，，求 的长. 【解】 四边形是菱形，， ， ， ， ， ，， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 56 12.【2024山东泰安质检】如图，在平面直角坐标系中，四边形 为矩形，点 ，.动点从点出发，以每秒1个单位长的速度沿射线 方向匀速运 动，设运动时间为 秒. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 57 （1）当 ____________________________________________________________ _______________________________________________________________________ __________________________________________________________ 时，以 ， 为邻边的平行四边形是菱形； （2）当点在的垂直平分线上时，求 的值； 【解】 动点在射线上，且点在的垂直平分线上， ， .在中，， . 【解】 点，，, 四边形 为 矩形，,.当以,为邻边的平行四边形是菱形时， 垂直平分，， .故答案为16. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 58 （3）已知为轴上的一点，若，关于直线对称，求 的值. 【解】,, ，，关于直线 对称， ,.当点在 轴正半轴上时，如图（1），则 ，.在 中，由勾股定理，得 ，解得.当点在 轴负半轴上时，如图（2），则 , . 在中，由勾股定理，得，解得.综上 或20. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 59 易错警示 （3）分点在 轴正半轴上和负半轴上两种情况进行讨论，并利用勾股定理建立 方程求解. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 60 $$