第六章 特殊平行四边形-大招专题2 特殊平行四边形中的动点问题-【初中必刷题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(鲁教版 五四制)

数 学 八年级下册 LJ 1 2 第六章 特殊平行四边形 3 大招专题2 特殊平行四边形中的动 点问题 4 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 难关 母题学大招5 “将军饮马”求最值 （第1题图） 1.【2024浙江杭州调研，中】如图，菱形的对角线， 相交于点，且，，分别过点，作与 的平 行线相交于点.若点在直线上运动，则 的最小值为 _____. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 6 【解析】 四边形是菱形，，， 易知 四边形是矩形，， .易知 点关 于的对称点为点，如图，连接，交于点 ，则此时 大招解读 “将军饮马”求最值 求直线同侧两点与直线上一动点所连线段和的最小值时，作其中一点 关于直线的对称点，将两点转化到直线的两侧，利用两点之间线段最 短求最小值. 有最小值，即线段的长.在 中， ,的最小值为，故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 关键点拨 由菱形的性质可知点关于的对称点为，连接，交于 ，则此时 的值最小. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 子题练变式 （第2题图） 2.【2024北京朝阳区期中，较难】如图，在矩形 中， ，，点在上，点在上，且 ，连接 ，，则 的最小值为( ) D A.10 B.11 C.12 D.13 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【解析】如图，连接，.在矩形中， ， ， 四边形 是平行四边形. ， 四边形是矩形， ，则 .在的延长线上截取，连接 ， ，是的垂直平分线，， ， ， ， 的最小值为13．故选D． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 母题学大招6 根据垂线段最短求最值 3.【2024河南南阳质检，中】如图，在矩形中，， ，且有一 点从点出发，沿着往点移动，若过点分别作， 的垂线，垂足分别为 ，，则 的最小值为( ) A A. B. C.4 D.5 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 【解析】如图，连接，， 四边形 是矩形， ， 四边形为矩形，， 要求 的最小值就是求的最小值. 点从B点出发，沿着往D点移动， 当 时，取最小值.在中， ，， ， ， .的最小值为 .故选A. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 大招解读 根据垂线段最短求最值 在直角三角形中求线段的最小值时，通常利用矩形的对角线相等这一性质将所求 线段的最小值转化成直角顶点与斜边上动点连线的最小值，此时根据垂线段最短 即可求解. 思路分析 连接，依据，， ，可得四边形 为矩形，借 助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成求 的最小值，再结合垂线段最短， 将问题转化成求斜边上的高，利用面积法即可得解 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 母题学大招7 根据三角形三边关系求最值 4.【2024江苏南京鼓楼区质检，中】如图， ，矩形的顶点 ， 分别在射线，上滑动，，，在滑动过程中，点到点 的最 大距离为____. 12 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 【解析】如图，取的中点，连接，， 四边形 是矩形，，，， ， ， . ， 当，，三点共线时，点到点的距离最大， 的最 大值为 .故答案为12. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 大招解读 根据三角形三边关系求最值 求一条线段长度的最值时,可以根据题意构造三角形,利用三角形三边关系求最值； 求折线段的最值时，可以通过三角形三边关系“化折为直”，进而求最值；求两 条无公共端点的线段和的最值时，可以根据题目条件，通过平移、多边形性质等 将两条线段转化成有公共端点的折线段，再构造三角形，利用三角形三边关系求 最值. 关键点拨 根据三角形的三边关系判断出点，，三点共线时，点到点 的距离最大是解 题的关键． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 子题练变式 5.【2024江苏南京期末，中】如图，在矩形中， ， ，是上一动点，平行于交于，是 上一动 点，平行于交于，则 的最小值为___. 5 【解析】如图，设交于，连接，， 四边形 是矩形，，， 易得四边形 、四边形 是矩形，， ， ， ， 的最小值为5， 的最小值为5．故答案为5． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 母题学大招8 面积问题 6.【2024安徽合肥质检，中】如图（1），在矩形中，点是上一点，点 从点出发，沿着，，运动，到点停止，运动速度为， 的 面积为，点的运动时间为，与 之间的函数关系图象如图（2）. 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 （1）矩形的宽的长为___ ； 4 【解析】由题意得，当点从点运动到点时，的面积逐渐增大，当点 从 点运动到点时，的面积逐渐减小.结合图象可知当时，点与点 重 合，，此时的面积为 ， .故答案为4. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 （2）当点运动到点时，，则 的值为____. 12 【解析】由题意得，当时，的面积为，点 的运动路程为 ，而, 此时点与点 重合， ，， .故答案为12. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 大招解读 面积问题 先确定所求图形的形状，再表示出各边的长度，然后根据面积公式或割补法表示 出该图形的面积，最后求值. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 母题学大招9 图形存在性问题 7.【2024广东珠海期中，较难】如图，直线与直线交于点 ，直 线与轴交于点，点从点出发沿向终点 运动，速度为每秒1个单位， 同时点从点出发以同样的速度沿向终点运动，作 轴，交折线 于点，作轴，交折线于点，设运动时间为 秒. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 （1）求直线 的表达式； 【解】设直线的表达式为 . ， ， 解得 直线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 （2）在点、点运动过程中，当点，分别在， 上时，求证：四边形 是矩形. 【证明】， ， ，， ， 轴，轴， ， .由题意得，，， 四 边形是平行四边形. ， 平行四边形 是矩形. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 （3）点是平面内一点，在点的运动过程中，是否存在以点，，， 为顶点 的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】存在，点坐标为或或，.若以点，，， 为顶点的四 边形是菱形，则 是等腰三角形. 图（1） ①如图（1），当时， . 四边形是菱形，， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 图（2） ②如图（2），当时，由（2）可知，点与点 重合， 此时 四边形是菱形，对角线在轴上， 点 与点关于轴对称， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 26 图（3） ③如图（3），当时， ， ，解得，,. 四边形 是菱形，，，, . 综上可知，点的坐标为或或, . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 大招解读 图形存在性问题 要想知道坐标系中的某特殊四边形是否存在，需要先确定四边形的边或对角线， 当已知两个定点时，可以利用平行四边形对角线互相平分的性质求坐标，此时需 要先分情况讨论，即已知的线段是边还是对角线，然后代入中点坐标公式求值. 思路分析 （1）设直线的表达式为 ，利用待定系数法求解即可； （2）根据两点间的距离公式，得出，进而得到 ，由 平行线的判定得，再证明，得到 ，可证 四边形 是矩形； （3）若以点，，，为顶点的四边形是菱形，则 是等腰三角形，分三 种情况讨论：①当时；②当时；③当 时. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 28 子题练变式 8.【2024浙江金华质检，难】如图，边长为5的正方形的顶点 在坐标原点 处，点，分别在轴、轴的正半轴上，点是边上的点（不与点 重合）， ，且与正方形外角平分线交于点 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 29 （1）求证： . 【证明】如图（1），在上截取，连接 . 图（1） 四边形是正方形，, ， , 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 30 ， . 又， . ， . , ， ， . 平分, ， ，， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）若点坐标为 ， ①在轴上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点 的 坐标；若不存在，请说明理由. 图（2） 【解】存在.如图（2），过作交于，则点 即为 所求. 四边形是正方形，, 四边形为平行四边形， ， ， 易得， ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 32 ②在平面内是否存在点，使四边形为正方形？若存在，请直接写出 点坐 标；若不存在，请说明理由. 图（3） 【解】存在..如图（3），过点作的平行线，过点 作 的平行线，两平行线的交点即为所求点，过点作 于点 . 四边形是正方形，, ， . 又 ， . ， ，， ， ,，即点与点重合. , , ,三点共线，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 33 $$