第六章 特殊平行四边形-3 正方形的性质与判定-课时2 正方形的判定-【初中必刷题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(鲁教版 五四制)

数 学 八年级下册 LJ 1 2 第六章 特殊平行四边形 3 3 正方形的性质与判定 课时2 正方形的判定 4 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 基础 知识点1 正方形的判定 1.一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便可得到正方形： 两组对边分别相等；一组对边平行且相等；一组邻边相等； 一个角 是直角. 顺次添加的条件：；； .其中正确的是( ) C A.仅① B.仅③ C.①② D.②③ 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 6 【解析】①由条件可得到四边形是平行四边形，添加 得到平行四边形是菱形， 再添加得到菱形是正方形，①正确；②由条件得到四边形是平行四边形，添加 得到平行四边形是矩形，再添加得到矩形是正方形，②正确；③由和 都可得到 四边形是平行四边形，再添加 得到平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形， ③不正确.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2.【2023山东济南莱芜区期末】如图，小明在学习了正方形之后，给同桌小文出 了道题，从下列四个条件：， ， ， 中任选两个作为补充条件，使 为正方形.现有下列四种选法， 你认为其中错误的是( ) A A.②③ B.①③ C.①② D.③④ 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 【解析】A选项， 四边形是平行四边形， 当 时，平行四 边形是矩形，而，这是矩形的性质，无法得出四边形 是正方 形，故此选项错误，符合题意； B选项， 四边形是平行四边形， 当 时，平行四边形是菱形，当时，菱形 是正方形， 故此选项正确，不合题意；C选项， 四边形是平行四边形， 当 时，平行四边形是菱形，当 时，菱形 是正 方形，故此选项正确，不合题意；D选项， 四边形是平行四边形， 当 时，平行四边形是矩形，当时，矩形 是正方形， 故此选项正确，不合题意.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 3.如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线 上，且 ， . 求证：四边形 是正方形. 【证明】 四边形是菱形，，， ， ， 四边形是菱形.， ， ， 菱形 是正方形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 知识点2 中点四边形 4.【2024北京期中】如图，点，，，分别是四边形 的边，，，的中点，下列说法：①若 ，则 四边形为矩形；②若，则四边形 为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与 互相平分；④若四 1 边形是正方形，则与 互相垂直且相等.其中正确的个数为___个. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 【解析】 点，，，分别是四边形的边，，， 的中点， ，，，，， ， ，， 四边形为平行四边形.①当时， ， 则四边形为菱形，①说法错误；②当时， ，则四边形 为矩形，②说法错误；③四边形一定是平行四边形，与 不一定 互相平分，③说法错误；④当四边形是正方形时，与 互相垂直且相等， ④说法正确.故答案为1. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 关键点拨 一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线相等时，中点四边形是菱形； 当对角线互相垂直时，中点四边形是矩形；当对角线相等且互相垂直时，中点四 边形是正方形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 知识点3 正方形的性质与判定的综合 5.【2024山东泰安校级期末】如图，已知四边形 和四边 形均是正方形，点在上，延长到点 ，使 ，连接，，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 （1）求证： ； 【证明】 四边形是正方形， ， .在和 中， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （2）求证：四边形 是正方形； 【证明】， ,， . 易得，， 四边形 是正方形. （3）若四边形的面积为10，，求点， 之间的距离. 【解】由（2）得, 四边形 的面积为10， ， ， ， ， ，故点， 之间的距离为5. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 刷易错 易错点 将特殊四边形的判定混淆导致出错 6.四边形的对角线,相交于点 ，请添加一些条件使其成为正方形. 丽丽同学认为若添加, ,可判定四边形 是正方形.她的 想法是否正确?若不正确，请给出一组正确的条件，并证明. 【解】不正确.条件：,, , .证明：当 ,， 时，四边形为矩形.再根据 ，可 判定四边形 为正方形.（答案不唯一，合理即可） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 易错警示 可按照四边形 平行四边形 矩形（菱形） 正方形的顺序依次添加条件，使 四边形 为正方形.不可混淆特殊四边形的判定. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 提升 1.【2024山东济宁校级质检,中】如图，在四边形 中， ，点，，，分别为边，，， 的中 点，连接，，相交于点，则 的值为( ) D A.32 B.41 C.36 D.49 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 【解析】如图，连接，，，，，， 分别是边 ，，，的中点，，分别是， 的中 位线，，分别是， 的中位线.根据三角形中位线 定理知，， ， ， 四边形是菱形，，， .在中，根据勾股定理得 ，则 ，，即 . 故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 2.【2023山东青岛校级调研，中】如图，正方形 ，，， 的边长分 别为2，4，6，4，四个正方形按照如图所示的方式摆放， 点，，分别位于正方形， ， 对角线的交点，则阴影部分的面积和为 ( ) C A.12 B.13 C.14 D.18 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 【解析】设正方形,， 中阴影 部分的面积分别为，，.如图，设与 交于 点，与交于点，过分别作 于 ，于，连接， 四边形 是正方形，是其对角线的交点，平分 ， 且是等腰直角三角形. ， ，.又 ， 四边形为正方形， 四边形 是正方形， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 ，.在与 中， ， ， ， .同理， ， ， 阴影部分的面积和为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 关键点拨 每两个相交正方形形成的阴影部分的面积都等于前一个正方形面积的四分之一. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 3.【2024山东济南期中，中】如图，已知四边形为正方形，，点 为 对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以， 为邻边 作矩形，连接，则下列说法：；②四边形 是正方 形；的大小随着点的运动不断改变； 的值是定值，其中正确 的有________（填序号）. ①②④ 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 【解析】如图，作于，于 ,则 点是正方形 对角线上的点， ，易得 ， .在和 中， ， 四边形是矩形， 矩形 是正 方形，故②正确.， ， ， ，故①正确. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 ， ，是定值，故③错误. ， ， ，是定值，故④正确.故答案为 ①②④. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 4.［较难］如图，在中， ，过点 的 直线，为边上一点，过点作 ，交直 线于点，垂足为，连接， . （1）求证： . 【证明】， . ，，，即， 四边 形是平行四边形， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 28 （2）当为的中点时，四边形 是什么特殊四边形？请说明理由. 【解】四边形 是菱形.理由如下： 为的中点，，， 四边形 是平行四边形. ，为 的中点， ， 四边形 是菱形. （3）在（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形 是正方形？请说 明你的理由. 【解】当是等腰直角三角形时，四边形 是正方形.理由如下： 是等腰直角三角形， ，为的中点， ， ， 四边形 是正方形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 29 刷素养 走向重高 5.核心素养 模型观念【2024福建福州质检，较难】如图（1），在平面直角坐标 系中，放置一个边长为5的正方形，使得它的两个顶点和恰好落在 轴正 半轴和轴正半轴上，为正方形对角线的交点，连接 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 30 （1）若点和点分别在轴、 轴的正半轴上滑动，求证：在这个运动过程中， 始终在第一象限的角平分线上. 【证明】作轴于点，作轴于 点，如图（1）所示，则四边形 是矩形， ， 四边形 是正方形，， ， . 在和中， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 31 ，， 四边形是正方形， 点 在 的平分线上， 在这个运动过程中， 始终在第一象限的角平分线上. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 32 （2）如图（2），若点运动到，求此时 点的坐标. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 33 【解】 点运动到， ， .作轴于点，作轴于 点，作 轴于点，如图（2）所示,则，四边形 是正方形， 四边形是正方形，， ， ， ， . 在和中， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 34 ，，.延长与 的延长线 交于点，.又， ， ，，，是 的中位线， ， ，点的坐标为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 刷有所得 连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于两底，并且等 于两底和的一半. 模型归纳 含 角的对角互补模型 基本模型 作垂线法 旋转法 ______________________ ______________________ ___________________________ 已知:， 结论:平分 ; ; 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 36 $$