精品解析：山东省临沂市兰山区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024~2025学年度上学期期末质量检测试题 八年级数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题纸规定的位置.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 2.答题注意事项见答题纸，答在本试卷上不得分. 第Ⅰ卷（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中. 1. 下列国际组织的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 随着西方国家对芯片技术的封锁，华为集团立足本土，发扬中华民族不畏艰险，艰苦奋斗的精神，攻克芯片技术，自主研发的麒麟9020芯片已达到7纳米水平，已知7纳米就是0.000000007米，数据0.000000007用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 等腰三角形一个内角为，则顶角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 下列式子的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 若是关于的完全平方式，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 8. 若一个正多边形的每一个内角都是外角的2倍，则这个正多边形的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 《数书九章》是中国南宋时期的重要数学著作，提出了许多新的数学方法和理论．书中记载了这样一道题：“今有甲、乙两船，分别从A，B两地同时出发，相向而行，A，B两地相距120里、甲船顺流而下，乙船逆流而上，已知甲船在静水中的速度是乙船在静水中速度的倍，且水流速度为2里/时．若相遇时乙船行驶了48里，则甲乙两船的速度分别为多少？设乙船在静水中的速度为里/时，能列出的方程为：（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，平分交于点，，，若，则的长为（ ） A. 1 B. 4 C. 3 D. 2 11. 有两条长度相同的路：①为一条平坦的道路；②前一半路程为上坡，后一半路程为下坡，已知小明上坡平均速度为，下坡平均速度为，在平坦的道路上的平均速度为，则这两条路用时较少的是（ ） A. ①路 B. ②路 C. 用时一样 D. 无法判断 12. 如图，在等边中，，分别为和的中点，点为上一动点，若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 注意事项： 1.第Ⅱ卷分填空题和解答题. 2.第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题纸规定的区域内，在试卷上答题不得分. 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 若分式的值为0，则__________． 14. 点关于y轴的对称点的坐标是______． 15. 已知，，则的值为_____． 16. 如图，为等腰直角三角形，为外一点，，已知，，则_____. 三、解答题（本题7小题，共68分） 17. （1）计算：； （2）解分式方程：． 18. 将8个直角边长分别为和的直角三角形拼成如下图案. （1）该图案可以用来证明哪个等式是成立的； （2）请从代数的角度来证明（1）中的式子是成立的； （3）若已知，，求的值. 19. 先化简，再求值：，然后从0，1，2中选择一个你喜欢并且合理的数字代入求值． 20. 琅琊古城是一座以琅琊文化为主题的仿古建筑群，承载着临沂的历史记忆和文化传统，吸引着国内外众多游客来此观光游玩，领略琅琊文化.其门票分为成人票和儿童票.春节将至，为了增进亲子关系，小明同学建议古城推出亲子票（即一张成人票和一张儿童票捆绑销售，亲子票价格更优惠）.如果现将总价值为15000元的成人票和总价值为15000元的儿童票捆绑成亲子票销售（因成人票和儿童票数量不相等，部分无法捆绑的票，按原价销售），亲子票和无法捆绑的票全部售出后总收入为25500元.若亲子票的价格比成人票贵30元，比儿童票贵105元，试求三种门票的单价各为多少? 21. 如图，为等边三角形，点关于的对称点为点，连接，，点在上，点在上，，证明：. 22. 近年来，中国汽车发展势头迅猛，新能源汽车销量在全球遥遥领先．汽车的车门在开启时会受到限位器的束缚使车门固定在某个开启角度上，下图是某品牌汽车的俯视图（从上往下看），当车门开启到一级限位角时，车门与车身形成的夹角为，即．当开启到二级限位角时，车门与车身形成的夹角为，即．已知车门的长度为，成年男性肩膀宽度在至之间． （1）当车门开启到一级限位角时，一名成年男性能否在不侧身的情况下进入车内，并说明理由（当大于肩宽时可不侧身进入车内）； （2）若，当车门从一级限位角开启到二级限位角时，试求车门最外端和与车身之间的垂直距离增加的长度． 23. 观察下列等式： （1）猜想并写出：_____； （2）计算： ； （3）查阅相关资料得知： ，据此，求出下列式子的值，并写出计算过程： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度上学期期末质量检测试题 八年级数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题纸规定的位置.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 2.答题注意事项见答题纸，答在本试卷上不得分. 第Ⅰ卷（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中. 1. 下列国际组织的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的的定义，找到图形是否符合轴对称图形的定义是解题的关键， 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义逐项判定即可． 【详解】A．可以找到一条对称轴使两侧的图形重合，是轴对称图形，故选项不符合题意； 可以找到一条对称轴使两侧的图形重合，是轴对称图形，故选项不符合题意； B．找不到任何一条对称轴使两侧的图形不能重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； C．找不到任何一条对称轴使两侧的图形不能重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； D．找不到任何一条对称轴使两侧的图形不能重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：A． 2. 随着西方国家对芯片技术的封锁，华为集团立足本土，发扬中华民族不畏艰险，艰苦奋斗的精神，攻克芯片技术，自主研发的麒麟9020芯片已达到7纳米水平，已知7纳米就是0.000000007米，数据0.000000007用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故选：D． 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，熟练掌握和运用分式的性质是解决本题的关键． 根据分式的性质，逐一判定即可． 【详解】A． ，分子乘以b，分母乘以a，b与a不一定相等，故本选项项错误，不符合题意； B． ，分子、分母同时除以，故本项正确，符合题意； C． ，故本选项错误，不符合题意； D． ，分子、分母同时加上1，不符合分式的基本性质，只有当时等式才成立，并不是对任意a、b都成立，故本选项项错误，不符合题意； 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算及负指数幂，解题的关键是熟练运用整式的加减运算、乘除运算以及积的乘方运算，本题属于基础题型．根据整式的加减运算、乘除运算以及积的乘方运算即可求出答案． 【详解】解：A、，故A不符合题意． B、，故B符合题意． C、，故C不符合题意． D、，故D不符合题意． 故选：B． 5. 等腰三角形一个内角为，则顶角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，注意分类讨论思想的应用．分两种情况讨论：当角为等腰三角形的底角时；当角为等腰三角形的顶角时；分别计算即可． 【详解】解：当角为等腰三角形的底角时，顶角度数为； 当角为等腰三角形的顶角时，顶角度数为； 故选：C． 6. 下列式子的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，理解因式分解的定义是解题关键．因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式．根据因式分解的定义分析判断即可． 【详解】解：A. ，是多项式乘多项式，不符合题意； B. ，分解错误，故不符合题意； C. ，是因式分解，故符合题意； D. ，是多项式乘多项式且计算错误，不是因式分解，故不符合题意． 故选：C． 7. 若是关于的完全平方式，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 原式利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出a的值． 【详解】∵是关于的完全平方式 ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：A． 8. 若一个正多边形的每一个内角都是外角的2倍，则这个正多边形的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】设这个正多边的外角为，则内角为，根据内角和外角互补可得，解可得x的值，再利用外角和外角度数可得边数． 【详解】解：设这个正多边的外角为，由题意得： ， 解得：， ． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是计算出外角的度数，进而得到边数． 9. 《数书九章》是中国南宋时期的重要数学著作，提出了许多新的数学方法和理论．书中记载了这样一道题：“今有甲、乙两船，分别从A，B两地同时出发，相向而行，A，B两地相距120里、甲船顺流而下，乙船逆流而上，已知甲船在静水中的速度是乙船在静水中速度的倍，且水流速度为2里/时．若相遇时乙船行驶了48里，则甲乙两船的速度分别为多少？设乙船在静水中的速度为里/时，能列出的方程为：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设乙船在静水中的速度为里/时，则甲船在静水中的速度为里/时，根据相遇时乙船行驶了48里，可得乙船的航行时间为小时，甲船的航行时间为小时，即可得出关于的分式方程． 【详解】设乙船在静水中的速度为里/时，则甲船在静水中的速度为里/时，根据题意得， 即． 故选：B． 10. 在中，，平分交于点，，，若，则的长为（ ） A. 1 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】过点作，先由平分，，得出，再由平行线的性质得出，由等腰三角形判定得出，由直角三角形性质得出，最后由角平分线的性质解答即可． 【详解】解：如图所示，过点作， ∵平分，， ， ， ， ， ， ∴， ∵平分，，， ， 故选：D． 【点睛】此题考查含角的直角三角形，角平分线的性质，等腰三角形的判定及平行线的性质，关键是根据角平分线性质得出． 11. 有两条长度相同的路：①为一条平坦的道路；②前一半路程为上坡，后一半路程为下坡，已知小明上坡平均速度为，下坡平均速度为，在平坦的道路上的平均速度为，则这两条路用时较少的是（ ） A. ①路 B. ②路 C. 用时一样 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式运算的实际应用，分别表示出这两条路的时间，再利用作差法比较分式大小即可． 【详解】解：设两条路的长度为S， 在①路用时为， 在②路用时为， ， ∵， ∴， 由题意可知S、x、y都大于0， ∴，即， ∴， ∴①路用时较小． 故选：A． 12. 如图，在等边中，，分别为和的中点，点为上一动点，若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 连接交于点，连接，此时的值最小，设，则，然后根据三角形面积求出，再求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，连接．此时的值最小， ∵是等边三角形，E、F分别为边的中点， ∴，， 设，则，， ， ， ∴，， 是的垂直平分线， ， ． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 注意事项： 1.第Ⅱ卷分填空题和解答题. 2.第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题纸规定的区域内，在试卷上答题不得分. 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 若分式的值为0，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为的条件建立方程，利用平方根解方程可得的值，再结合分式的分母不能等于0即可得． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得或， 又∵，即， ∴． 14. 点关于y轴的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握对称点的坐标规律．根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 15. 已知，，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查同底数幂相乘的逆运算，幂的乘方的逆运算，由同底数幂相乘与幂的乘方可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为： 16. 如图，为等腰直角三角形，为外一点，，已知，，则_____. 【答案】32 【解析】 【分析】过点D作于点E，于点F，根据勾股定理得出，用等积法求出，根据勾股定理求出，证明四边形为矩形，得出，最后根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：过点D作于点E，于点F，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 故答案为：32． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握勾股定理． 三、解答题（本题7小题，共68分） 17. （1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解分式方程： （1）先利用乘法公式去括号，再合并，即可求解； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：方程两边同乘得 ， 解得， 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为． 18. 将8个直角边长分别为和的直角三角形拼成如下图案. （1）该图案可以用来证明哪个等式是成立的； （2）请从代数的角度来证明（1）中的式子是成立的； （3）若已知，，求的值. 【答案】（1） （2） 证明：左边， ， ， ， 右边， 原式成立. （3）1 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，解决本题的关键是熟练掌握乘法公式的几何意义． （1）分别用两种方法计算阴影部分的面积，再根据同一图形面积相等的性质分析，即可得出结论； （2）通过对整式的运算法则对（1）的等式进行证明即可； （3）运用前面的公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：该图案的阴影部分面积可以用表示，也可以用表示， 故得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）知， 所以 由题意得， ， . 19. 先化简，再求值：，然后从0，1，2中选择一个你喜欢并且合理的数字代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，涉及到平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算括号内的加法，再将除法转化为乘法约分，然后将使分式有意义的值代入即可求得出答案． 【详解】解： ． 取0或2时，原式无意义， 只能取1． 故当时，原式． 20. 琅琊古城是一座以琅琊文化为主题的仿古建筑群，承载着临沂的历史记忆和文化传统，吸引着国内外众多游客来此观光游玩，领略琅琊文化.其门票分为成人票和儿童票.春节将至，为了增进亲子关系，小明同学建议古城推出亲子票（即一张成人票和一张儿童票捆绑销售，亲子票价格更优惠）.如果现将总价值为15000元的成人票和总价值为15000元的儿童票捆绑成亲子票销售（因成人票和儿童票数量不相等，部分无法捆绑的票，按原价销售），亲子票和无法捆绑的票全部售出后总收入为25500元.若亲子票的价格比成人票贵30元，比儿童票贵105元，试求三种门票的单价各为多少? 【答案】成人票价格为150元，儿童票价格为75元，亲子票价格为180元. 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设亲子票的价格为元，则成人票价格为元，儿童票的价格为元，根据题意列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设亲子票的价格为元，则成人票价格为元，儿童票的价格为元， 由题意可得 解得， 经检验，是原分式方程的解且符合实际问题， 所以成人票价格为（元）， 儿童票价格为（元）， 答：成人票价格为150元，儿童票价格为75元，亲子票价格为180元. 21. 如图，为等边三角形，点关于的对称点为点，连接，，点在上，点在上，，证明：. 【答案】 证明：点关于的对称点为点， ，， 为等边三角形， ， ， 也为等边三角形， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了对称的性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，先由对称得，，再由等边三角形性质推出，，再证即可得出结论． 【详解】略 22. 近年来，中国汽车发展势头迅猛，新能源汽车销量在全球遥遥领先．汽车的车门在开启时会受到限位器的束缚使车门固定在某个开启角度上，下图是某品牌汽车的俯视图（从上往下看），当车门开启到一级限位角时，车门与车身形成的夹角为，即．当开启到二级限位角时，车门与车身形成的夹角为，即．已知车门的长度为，成年男性肩膀宽度在至之间． （1）当车门开启到一级限位角时，一名成年男性能否在不侧身的情况下进入车内，并说明理由（当大于肩宽时可不侧身进入车内）； （2）若，当车门从一级限位角开启到二级限位角时，试求车门最外端和与车身之间的垂直距离增加的长度． 【答案】（1） 能，理由如下： 由题意得， 在中，， ． ∵． 成年男性在不侧身的情况下能进入车内； （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质和全等三角形的判定，正确理解题意是解题关键． （1）利用含角的直角三角形性质求出 ．将其与成年男性最大肩宽比较，即可得出结论． （2）根据垂直的性质得 ．在中算出 ，进而通过证明，得出 ．用表示垂直距离增加量，最终得到增加长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， 在中， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 由（1）知， ． 即：车门最外端与车身之间的垂直距离增加了． 23. 观察下列等式： （1）猜想并写出：_____； （2）计算： ； （3）查阅相关资料得知： ，据此，求出下列式子的值，并写出计算过程： . 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查数字的变化类、分式的加减运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据题目中的式子可以写出第n个式子的结果； （2）根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值； （3）由，得到，再根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值． 【小问1详解】 解：∵，，，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：， . ， 原式的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $