（二）一元二次方程-【初中必刷题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(沪科版)

数 学 八年级下册 HK 1 2 期末专项训练 3 （二） 一元二次方程 4 刷专项 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 专项 考点1 一元二次方程的相关概念 1.［中］若关于的方程是一元二次方程，则 的值是 ( ) D A. B. C.3 D. 【解析】 关于的方程是一元二次方程， 解得 ．故选D． 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 2.【2023安徽马鞍山花山区校级期中，中】若关于 的一元二次方程 的一个根是，则关于 的一元二次方程 必有一根为__________. 【解析】因为，所以 ，所 以此方程可看作关于的一元二次方程.因为关于 的一元二次方程 的一个根是，所以关于 的一元二次方程 的一个根是，解得 ，所以关 于的一元二次方程必有一根为 ，故答案为 . 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 考点2 一元二次方程的解法 3. 传统文化【2024安徽亳州期中，中】欧几里得的《几何 原本》中记载了形如 的方程根的 图形解法：如图，画，使 ， ， ，以为圆心，长为半径画圆，交射线于点， ， 则该方程较大的根是( ) D A.的长度 B.的长度 C.的长度 D. 的长度 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 【解析】， ，则 ，， ， ，.在中， ， ，，， 方程较大的根为 的长度，故选D. 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 4.［中］解方程： （1） （配方法）； 【解】, ， ， ， ，解得， . （2） （因式分解法）. 【解】 , ， 或，解得， ． 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 考点3 一元二次方程根的判别式 5.【2023安徽合肥蜀山区期末，中】有关于的两个方程： 与 ，其中 ，下列判断正确的是( ) B A.两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根 B.若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数 C.若两个方程都有实数根，则必有一根相等 D.若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【解析】两个方程的根的判别式都为， 两个方程根的情况相同， 故选项A错误.当两个方程都有实数根时，设方程 的一个实数根为 ,则,即,,, , .将代入方程 的左边,得 ,即是方程 的根， 此时两个方程必有一根互为相反数，故选项B正确.将 代入方程 的左边，得,即 不是方程 的根，故选项C错误.将代入方程 的左边，得 , 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 则只有当时，才是方程的根， 此时两个方程不一 定有一根互为倒数，故选项D错误.故选B. 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.［较难］已知，是关于 的一元二次方程 的两个实数根． （1）求 的取值范围； 【解】由题意得，且 ，化简得 ，解得且 . 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 （2）已知等腰的底边，若，恰好是 另外两边的边长，求 这个三角形的周长； 【解】由题意知，恰好是等腰 的腰长， ，是关于的一元二次方程 的两个实数根， ，解得， ， 解得 . ，的周长为 . 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 （3）阅读材料：若三边的长分别为，， ，那么根据秦九韶-海伦公式可 得，其中 .在（2）的条件下，如图， 若和的平分线交于点，根据以上信息，求 的面积． 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 【解】由（2）知 的三边长为3，3，4， ， . 如图，过分别作，，，垂足分别为，， . 由题意可知，是 角平分线的交点， ，，解得 ， ． 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 考点4 一元二次方程根与系数的关系 7.【2024安徽宣城调研，中】已知 ， 是方程 的两根，则代 数式 的值为( ) B A. B.0 C.1 D.2 【解析】 ， 是方程的两根， ， ，且，， ， .故选B. 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 8.［难］如果方程的两个根是，，那么 ， .请根据以上结论，解答下列问题： （1）已知关于的方程 ，写出一个一元二次方程，使它的 两个根分别是已知方程两根的倒数； 【解】设方程的两个根分别是， ，则 ， .若一个一元二次方程的两个根分别是已 知方程两根的倒数，则这个一元二次方程是 . 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 （2）已知，满足，，求 的值； 【解】,满足，，， 是 的两根. 当时，， ， ; 当时， . （3）已知，，满足，，求正数 的最小值． 【解】，，，，, 是方程 的根，，即 是正数， ，，， 正数 的最小值是4． 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 考点5 一元二次方程的应用 9.【2024安徽合肥庐阳区校级期中，中】机械加工需要用油进行润滑以减小摩擦， 某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，油的重复利用率为 ，按 此计算，加工一台大型机械设备的耗油率为 ，则实际耗油量为36千克，为了 建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际 耗油量进行攻关. （1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量减少到60千克， 油的重复利用率仍然为 .问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际 耗油量是多少千克？ 【解】根据题意得 （千克）. 答：甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是24千克. 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 （2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了油的重复利 用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每下降1千克，用油的重复利 用率将提高 ，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到14千克. 设乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了 千克. ①下降后的润滑用油量为_________千克，油的重复利用率提高为___________； （用含 的式子填空） 【解析】根据题意得下降后的润滑用油量为 千克，油的重复利用率提高为 . 故答案为， . 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 ②求乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克,油的重 复利用率是多少. 【解】根据题意得 ， 整理得 ， 解得， （不符合题意，舍去）， ， . 答：乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是70千克，油的重 复利用率是 . 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 10.【2023安徽马鞍山花山区校级期中，难】如图，在矩形中， ， .点从点出发，沿运动，速度为每秒2个单位长度；点 从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度.，两点同时出发，点 运动到 点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为（秒）.连接，， . 备用图 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 （1）点运动到点时，___；当点运动到终点时， 的长度为___； 6 4 【解析】 四边形是矩形，，，， 点 运动 到点C时，所走路程为，；当点运动到终点时， ， ,此时点回到的中点， .故答案为6,4. 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 （2）用含的代数式表示 的长； 【解】当时，；当时，；当 时， . （3）当的面积为9时，求 的值. 【解】当时，，，， ， ， ，（舍去）;当时， ， ，;当 时， ，， （舍去）. 综上所述，当的面积为9时,或 . 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 思路分析 从运动到时 从运动到时 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 从运动到时 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 $$