第6章 大招专题9 构造中位线的方法-【初中必刷题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(北师大版)

数 学 八年级下册 BS 1 2 第六章 平行四边形 3 大招专 题9 构造中位线的方法 4 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 难关 母题学大招12 取一边中点构造三角形中位线 1.［中］如图，在中，延长至，使得 ，过 中点作（点位于点右侧），且 ，连接 .若，则 的长为( ) B A.3 B.4 C. D. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6 【解析】如图，取的中点，连接是 的中点， ，，.设 ，则 ，,， 四边形 是 平行四边形, .故选B. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 大招解读 取一边中点构造三角形中位线 根据定义可知，中位线是三角形任意两边中点的连线，因此最为直接的构造方式 就是连接两边中点.此种构造方式适用于已知三角形边上中点的情形，若仅已知其 中一边的中点，则可以在另一边上设定中点，进而构造出三角形中位线. 模型特征 操作方法 __________________ 条件：已知是 边的中点; 辅助线：取边的中点，连接 ; 结论：， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 思路分析 取的中点，连接.根据三角形中位线定理得到 .根据 ，，可得，然后可得 ，进而可得结论. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 子题练变式 （第2题图） 2.［中］如图，是的中位线，是的中点， 的延 长线交于点，若的面积为，则 的面积为 ( ) A A. B. C. D. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 【解析】如图，取的中点，连接是的中点，是 的中位 线,,是的中点， .又 ，,， .又 ， ， 故选A. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 （第3题图） 3.［中］如图，是的中线，是的中点，连接 并延 长交于点，若，则 __. 【解析】如图，取的中点，连接是 的中线， ，是的中点， 易知点 为 中点，，， . 故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.［中］如图，在中，是的中点，连接， ， 是的中点，连接交于点，若，则 的长为 ___. 2 【解析】取的中点，连接，，如图所示.为 的 中点，为的中点，， 四边形 是平行四边形，，为 的中点， ，，， 四边形 是平行四边形， ， ，故答案为2. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 5.［中］如图，在中， ，，，分别为， 上一点， 且，，分别为，的中点，求证： . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 【证明】 如图，取的中点，连接， . ，分别为，的中点，， ， ，,， ， 刷有所得 在解题时，如果中点出现在一般三角形中，那么就想能不能构造中位线；如果出 现在等腰三角形中，可以看是不是底边上的中点，能不能用三线合一的性质. ，，， ， 是等腰直角三角 形，, , . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 母题学大招13 在四边形中取对角线中点构造三角形中位线 6.［中］如图，在四边形中，与不平行，， 分 别是，的中点，，．对于 的长，给出了 四种猜测：；； ； ．猜测正确的是( ) C A.① B.② C.③ D.④ 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 【解析】如图，连接，取的中点，连接, . 点,分别是,的中点，是的中位线，是 的中位 线，，，，， .由三角形 三边关系得，， 猜测正确.故选C． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 大招解读 在四边形中取对角线中点构造三角形中位线 已知四边形两对边的中点，则可连接一条对角线并取其中点，此时可出现两条中位线. 模型特征 操作方法 __________________________________ 条件：已知， ; 辅助线：连接对角线，取的中点，连接， ; 结论：，，， ， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 思路分析 连接，取的中点，连接， .根据三角形的中位线平行于第三边并且 等于第三边的一半可得， ，再根据三角形的三边关系得出 ，即可得出结果． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 19 子题练变式 7.［中］如图，在四边形中，，分别是， 的中点. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 （1）若，， ， ，求 的长； 【解】如图，取的中点，连接, . ，分别是,的中点，，，，且 ， ，且 . 又 ， ， ， ， . 在中，由勾股定理得 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 21 （2）若 ，求证： . 【证明】如图，，分别是， 的中点， ，且，，且 ， ， . ， ， ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 22 母题学大招14 倍长线段构造三角形中位线 8.【2024湖北武汉调研，中】如图，在中， ， ， 为等腰直角三角形， ，为的中点，求证： ． ， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 23 【证明】 如图，延长到，使，连接， . 为等腰直角三角形， ， ，，垂直平分 ， ， ， , 是等腰 直角三角形. ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 24 在和中， ， . 为的中点，，是的中位线， ， ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 大招解读 倍长线段构造三角形中位线 倍长法是构造三角形中位线的常用方法，即通过作延长线，取倍长线段构造中点. 该方法适用于只知道一边中点的情形，同时出现“类中位线”的半缺三角形，此 时可以延长线段，设定中点，构建出中位线对应的三角形. 模型特征 操作方法 _____________________ 条件：已知是 边的中点; 辅助线：延长到，使，连接（也可倍长 ）; 结论：， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 26 思路分析 延长到，使，连接，.判断出垂直平分，可得 ， 再求出，利用“边角边”证明和 全等，根据全等三角 形对应边相等可得 ，再根据三角形的中位线等于第三边的一半可得 ，从而得到 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 27 子题练变式 9.【2024山东泰安调研，中】在中， ，，点 是直线 上的一动点（不与点，重合），连接，在的右侧以 为斜边作等腰直 角三角形，点是的中点，连接 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 28 【问题发现】 图（1） （1）如图（1），当点是的中点时，线段与 的数量关 系是___________，与 的位置关系是____________． ． 【解】， ，， ， , , 是等腰直角三角形， 为斜边， ， 点在线段上.， , ，， , .故答案为， ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 29 【猜想论证】 （2）如图（2），当点在边上且不是 的中点时，（1）中的结论是否仍然 成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由． 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 30 【解】结论仍然成立.理由：如图，延长到，使得 ， 连接，,， 是等腰直角三角 形，， ， ， ， . 又， ， ， . ， ， . ，，，，， ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 31 母题学大招15 角平分线与垂线组合构造三角形中位线 10.【2023山东泰安质检，中】如图，在中，平分， 于点 ，点是的中点，连接 ． 图（1） （1）如图（1），的延长线与边相交于点，求证： ； 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 32 【证明】平分 , . ， . 在和中， ， ， . ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 33 （2）如图（2），，，求线段 的长． 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 34 【解】如图，分别延长，交于点 . 同（1）可证明 ， ， . ， ， ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 大招解读 角平分线与垂线组合构造三角形中位线 对于其中一中点未知的情形，可以利用其他几何条件确定，根据“三线合一”性 质可知等腰三角形顶角的平分线、底边中线和高线所在直线为同一条直线，则垂 足即为底边的中点，因此对于给出“角平分线 垂直”的情况，可以构造等腰三角 形，确定其中的中点，进而构造三角形的中位线. 模型特征 操作方法 ____________________________________ 条件：已知是边的中点，平分， ; 辅助线：延长交于点 ; 结论：， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 36 子题练变式 11.［中］如图，在中，点为的中点， 为 的外角平分线，且，若， ，则 的长为_____． 7.5 【解析】如图，延长交的延长线于为 的平分 线，， ， ， ， ，，.又为 的中点， 是的中位线， ．故答案为7.5． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 37 思路分析 延长交的延长线于，根据证得,则， ， 再求出 的长，然后根据三角形的中位线定理解答即可． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 38 $$