分类加法计数原理和分步乘法计数原理 六大题型归纳讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【分类加法计数原理与分步乘法计数原理】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：分类加法计数原理与分步乘法的概念辨析】 知识讲解 分类加法计数原理 概念：完成一件事，有类办法，在第类办法中有种不同的方法，在第类办法中有种不同的方法……在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。 示例：从甲地到乙地，有趟火车，趟汽车，趟飞机。那么从甲地到乙地共有种不同的走法。这里每一种交通工具的走法都相互独立，都能单独完成从甲地到乙地这件事，所以用加法。 分步乘法计数原理 概念：完成一件事，需要分成个步骤，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法……做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。 示例：从地到地，中间要经过地，从地到地有条路，从地到地有条路。那么从地到地共有种不同的走法。这里必须依次经过从到、从到这两个步骤，才能完成从地到地这件事，所以用乘法。 两者的区别 分类加法计数原理：各类办法之间相互独立，每一类办法都能独立完成这件事，办法之间是“或”的关系。比如前面从甲地到乙地的例子，坐火车、坐汽车、坐飞机这三类办法是相互独立的，选择其中任何一类办法都可以到达乙地。 分步乘法计数原理：各个步骤之间相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成，步骤之间是“且”的关系。就像从地到地的例子，必须先从到，再从到，两个步骤都完成才能到达地，缺少任何一个步骤都不行。 例题精选 1．（24-25高二下·湖南·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题 B．分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情 C．分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题 D．求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分类计数问题 【答案】AC 【分析】根据分类加法计数原理、分步乘法计数原理的知识判断出正确答案. 【详解】对于A，从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题，故A正确. 对于B，分步乘法计数原理是指完成所有的步骤才是完成整件事情，故B错误. 对于C，分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题，故C正确. 对于D，求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分步计数问题，故D错误. 故选：AC. 2．（23-24高二下·云南迪庆·期中）一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物8本，英语类读物9本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（    ） A．3种 B．24种 C．48种 D．504种 【答案】B 【分析】由分类加法计数原理即可求解. 【详解】从书架上取一本书，由分类加法计数原理可知，不同的取法共有种． 故选：B 3．（23-24高二下·天津西青·期末）某影城有一些电影新上映，其中有2部科幻片、3部文艺片、2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法种数有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分类计数原理求解． 【详解】由分类计数原理得，不同的选法种数为：， 故选：A 4．（2024高三·全国·专题练习）两个计数原理 （1）分类加法计数原理：完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法……第n类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. （2）分步乘法计数原理：完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法. 【答案】 【分析】略 【详解】略 相似练习 5．（24-25高三·上海·随堂练习）某书店有5种杂志，分别是5元，4元，3元，2元，1元，小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是 （用数字作答）． 【答案】3 【分析】利用分类加法计数原理可得答案. 【详解】不同买法有，，． 故答案为：3. 6．（24-25高三·上海·随堂练习）设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，从中任选一幅画布置房间，有 种不同的选法． 【答案】14 【分析】根据分类加法原理即可求解. 【详解】根据分类加法原理可得从中任选一幅画布置房间的选法有. 故答案为： 7．（24-25高三·上海·课堂例题）将一枚骰子向桌面先后抛掷次，将两次获得的点数相加求和一共有（   ）种不同结果． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由列举法和分类加法原理求解即可. 【详解】抛掷次骰子，最小的两个点数是，最大的两个点数是， 实际上这些都有可能出现，只考虑点数之和不考虑其他的情况下可能是 ， ， 由分类加法原理，共有种不同的结果. 故选：B 8．（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙两位同学手中分别拿着一个标有数字1，2，3，4，5，6的正六面体，和标有数字3，4，5，6的正四面体，若两同学同时把几何体抛向桌面，则正六面体向上的数字与正四面体贴近桌面的面上的数字之和大于5，且数字之积小于30的情况有 种． 【答案】18 【分析】利用分类加法计数原理计算出各种情况的种类数即可得出结果. 【详解】可从正四面体角度分类： 若正四面体贴近桌面的面上的数字为3时，为满足条件，正六面体向上的数字可取3，4，5，6共4种情况； 若正四面体贴近桌面的面上的数字为4时，为满足条件，正六面体向上的数字可取2，3，4，5，6共5种情况； 若正四面体贴近桌面的面上的数字为5时，为满足条件，正六面体向上的数字可取1，2，3，4，5共5种情况； 若正四面体贴近桌面的面上的数字为6时，为满足条件，正六面体向上的数字可取1，2，3，4共4种情况； 由分类加法计数原理可得，满足条件的情况数有． 故答案为：18. 【题型二：分步乘法计数原理】 知识讲解 1. 分析问题：首先要明确需要完成的事件是什么，以及完成该事件需要分成哪些步骤。 2. 确定步骤：将完成事件的过程合理地分解为若干个相互独立的步骤。每个步骤都应该是一个明确的、可操作的子任务，且这些步骤必须依次完成，才能最终完成整个事件。 3. 计算每步方法数：针对每个步骤，确定完成该步骤有多少种不同的方法。这需要根据具体问题的条件和限制来进行分析和计算。 4. 应用原理计算：根据分步乘法计数原理，将每个步骤的方法数相乘，得到完成整个事件的总方法数。 例题精选 1．（21-22高二下·上海闵行·期末）现有5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（    ） A． B． C．20 D．9 【答案】A 【分析】将此事分为5步，每一步均为1名同学选择讲座，后由分步计数原理可得答案. 【详解】将完成此事分为5步.第1步为第一名同学完成选择，有4种方法；第2步为第二名同学完成选择，有4种方法；；第5步为第五名同学完成选择，有4种方法. 则由分步计数原理可知，不同选法的种数位为：. 故选：A 2．（20-21高二下·四川雅安·期中）甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100米比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名方法（    ） A．12 B．24 C．64 D．81 【答案】C 【分析】根据题意，可知三个同学中每人有4种报名方法，由分步计数原理即可得到. 【详解】甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100米比赛，每人限报一项, 每人有4种报名方法， 根据分步计数原理，可知共有种不同的报名方法. 故选：C 3．（2025·湖北武汉·二模）有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（    ） A．40 B．48 C．52 D．60 【答案】B 【分析】由题意，根据分步乘法原理，可得答案. 【详解】先从四对双胞胎中选出一对，有种选择； 然后从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎， 这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有种选择. 根据乘法原理，总共有种选法. 故选：B. 相似练习 4．（22-23高二上·上海杨浦·期末）有8种不同型号的手机供4位顾客选购，每人只购一台，则共有 种不同的选法. 【答案】 【分析】按分步计数原理计算可得. 【详解】由已知得，每位顾客都有8种选法， 所以共有种方法， 故答案为： 5．（2025·陕西榆林·模拟预测）乙巳蛇年，古城榆林燃动全国秧歌热潮，国内外共39支队伍汇聚榆林，舞动非遗年味.现有4名国际友人，每人从俄罗斯、保加利亚、榆林市直教育系统的三支秧歌队中选择观看一支，则不同的观看方式有 .（用数字作答） 【答案】81 【分析】利用分步乘法计数原理计算即可. 【详解】4名国际友人，每人有三种选择，所以种. 故答案为：81. 三、解答题 6．（2020高三·全国·专题练习）电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有或两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由个二进制位构成.问： （1）一个字节(位)最多可以表示多少个不同的字符？ （2）计算机汉字国标码(码)包含了个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？ 【答案】（1）256个；（2）2个. 【解析】（1）一个字节共有位，每位上有种选择，根据分步乘法计数原理，即可得解； （2）由（1）知，用一个字节能表示个字符，不够表示，继续利用分步相乘原理计算个字节可以表示的不同的字符，判断与的大小关系即可. 【详解】（1）一个字节共有位，每位上有种选择， 根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示个不同的字符； （2）由（1）知，用一个字节能表示个字符，，一个字节不够； 根据分步乘法计数原理，个字节可以表示个不同的字符， ，所以每个汉字至少要用个字节表示. 【点睛】关键点点睛：本题考查分步乘法计数原理，熟练掌握分步计数原理的概念及计算公式是解题的关键，考查学生的逻辑思维与运算能力，属于基础题. 【题型三：分类加法分步乘法的综合应用】 （类型一：与组数字有关的问题） 知识讲解 与数字有关的分步乘法计数原理解题时 1. 明确任务：清晰确定要完成的与数字相关的任务是什么，比如组成特定要求的数字、对数字进行排列组合等。 2. 分解步骤：将任务按照数字的各个数位或者数字的选取、排列等过程，合理地分解为若干个相互独立的步骤。 3. 确定每步方法数： 对于数位上数字的选择，要考虑数字的取值范围、是否有重复数字的限制等因素。例如，若组成三位数且百位不能为，那么百位有种选择（）；若允许数字重复，十位和个位通常各有$10$种选择（）。 若是涉及数字的排列，要根据排列的规则和已选数字的情况来确定每一步的方法数。比如从个不同数字中选个进行排列，第一步选第一个数字有种选法，第二步选第二个数字有种选法（因为选了一个数字后剩下个数字可选），第三步选第三个数字有种选法。 4. 计算总数：依据分步乘法计数原理，将每一步的方法数相乘，得到完成任务的总方法数。 例如，用、、、、这五个数字组成没有重复数字的四位数，可按以下步骤求解： 1. 明确任务：组成无重复数字的四位数。 2. 分解步骤：分四步确定千位、百位、十位、个位上的数字。 3. 确定每步方法数： 第一步，确定千位数字，有种选法（可从、、、、这个数字中任选一个）。 第二步，确定百位数字，此时千位已选走一个数字，还剩个数字可选，所以有种选法。 第三步，确定十位数字，千位和百位共选走两个数字，还剩个数字可选，因此有种选法。 第四步，确定个位数字，前面三位选走三个数字，只剩个数字可选，有种选法。 4. 计算总数：根据分步乘法计数原理，总共有种方法，即可以组成120个没有重复数字的四位数。 例题精选 1．（24-25高二下·甘肃兰州·开学考试）用0，1，…，9十个数字，可以组成无重复数字的三位数的个数为（    ） A．652 B．648 C．504 D．562 【答案】B 【分析】应用乘法原理计算求解. 【详解】用0，1，…，9十个数字， 先取百位数有9种情况，因为无重复数字再取十位数有9种情况，最后个位数字有8种情况。 所以可以组成无重复数字的三位数的个数为. 故选：B. 2．（24-25高二下·江苏南京·开学考试）从集合中任取两个不同的数组成复数，其中虚数有（    ） A．4个 B．9个 C．12个 D．16个 【答案】B 【分析】利用分步乘法计数原理计算即可求得结果. 【详解】根据题意可知，若复数表示虚数，则； 第一步，从中任取一个数作为，共有3种选法； 第二步，再从剩余的三个数任取一个作为，共有3中选法， 因此共有种. 故选：B 3．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“影弄花枝花弄影”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有共9个，若从三位数的回文数中任取一个数，则取出的数是奇数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分步乘法计数原理，结合古典概型，可得答案. 【详解】由题意三位的回文数中个位与百位的数字相同，十位与个位的数字不同， 由于三位数字首位即百位不能为0，故个位与百位相同且不为0，十位数字可以为0，但不能与个位（百位)相同. 若满足三位的回文数是奇数，则个位能选择的数字有，共种不同选择， 十位上的数字在个位数字确定之后只能从剩余的数字和0共9个数字中选择，就只有中选择， 根据乘法计数原理，是奇数的三位回文数共有个数字； 三位的回文数个位和百位相等不能为0，共有9种不同取法， 取定后，十位必须从其它的数字(包括0在内)任取一个，有9种不同的取法， 根据乘法计数原理，三位回文数共有个， 所以从三位数的回文数中任取一个数，取出的数为奇数的概率为. 故选：D. 【点睛】 二、填空题 4．（2025·青海海南·模拟预测）正整数19600的不同正因数的个数为 ． 【答案】45 【分析】由，令，结合乘法原理即可求解 【详解】易知，设为正整数19600的正因数， 故，其中， 故有种不同的可能， 则正整数19600的不同正因数的个数为45． 故答案为：45 相似练习 5．（24-25高二下·全国·课后作业）从集合中取两个不同的数分别作为对数的底数与真数，则不同的对数值的个数为 ． 【答案】52 【分析】先利用分步乘法计数原理得到个对数，再排除掉相等的对数值，得到答案. 【详解】第一步，取底数，有8种取法；第二步，取真数，有7种取法． 根据分步乘法计数原理，共得到个对数． 但在这些对数中，，，， ，所以可以得到个不同的对数值． 故答案为：52 6．（2025高三·全国·专题练习）用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成 个无重复数字的四位偶数．（用数字作答） 【答案】420 【分析】应用千位数字分奇数和偶数两类，再分别应用分步乘法原理，最后应用加法原理计算即可. 【详解】①第1类，当千位数字为奇数，即取1，3，5中的任意一个时，个位数字可取0，2，4，6中的任意一个，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字．根据分步乘法计数原理，有种法． ②第2类，当千位数字为偶数，即取2，4，6中的任意一个时，个位数字可以取除首位数字外的任意一个偶数数字，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字，根据分步乘法计数原理，有种取法． 所以根据分类加法计数原理，共可以组成个无重复数字的四位偶数． 故答案为：420. 7．（24-25高三·上海·课堂例题）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字，十位数字小于百位数字，则这样的数共有 个. 【答案】120 【分析】由分步乘法计数原理可得. 【详解】要得到一个这样的数，可以分为3个步骤： 第一步，从1、2、3、4、5、6中任选一个放在首位，有6种方法； 第二步，从余下5个数中任选一个放在万位，有5种方法； 第三步，从余下4个数中任选一个放在千位，有4种方法； 而其余数字定序，从小到大依次排在个、十、百位. 故由分步乘法计数原理可得，这样的六位数共有个. 故答案为：120. 三、解答题 8．（24-25高三·上海·课堂例题）用0、1、2、3、…、9十个数字可组成多少个不同的： (1)三位数； (2)无重复数字的三位数； (3)小于500且无重复数字的三位奇数． 【答案】(1)900 (2)648 (3)144 【分析】（1）（2）根据分步乘法计数原理，先确定百位上的数字，再分析十位与个位，进而计算出正确答案； （3）根据分类加法、分步乘法计数原理，分别分析个位数满足条件的数字计算出正确答案. 【详解】（1）由于0不能在首位，所以首位数字有9种选法， 十位与个位上的数字均有10种选法， 所以不同的三位数共有（个）； （2）百位数字有9种选法，十位数字有除百位数字以外的9种选法， 个位数字应从剩余8个数字中选取， 所以共有（个）无重复数字的三位数； （3）若个位为1或3，则小于500的三位奇数有（个）； 若个位为5或7或9，则小于500的三位奇数有（个）； 所以小于500的三位奇数有． （类型二：染色问题） 知识讲解 1.明确问题与对象 确定需要染色的区域或对象，比如图形中的各个区域、排列的元素等，明确染色的要求，如颜色的种类限制、相邻区域颜色不同等条件。 2.合理分步 通常按照区域的顺序或者元素的排列顺序进行分步。一般从某个特定的区域或元素开始，依次考虑其染色方法以及对后续区域或元素染色的影响。例如，对于一个有多个区域的图形，可按照顺时针或逆时针方向依次对每个区域进行染色分析。 3.确定每步的方法数 对于第一步，通常可以有多种颜色可供选择。例如，若有种颜色，第一个区域一般有种染色方法。 从第二步开始，要考虑与已染色区域的关系。如果当前区域与前面的某个区域相邻，且要求相邻区域颜色不同，那么当前区域可选择的颜色就会减少。比如，若某个区域与已经染了种不同颜色的个相邻区域相连，那么该区域就有种染色方法。 4.应用原理计算 根据分步乘法计数原理，将每一步的染色方法数相乘，得到总的染色方法数。 例题精选 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）如图，湖北省分别与湖南､安徽､陕西､江西四省交界，且湘､皖､陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（    ） A．540 B．600 C．660 D．720 【答案】D 【分析】由分步乘法计数原理按步骤去涂色即可. 【详解】第一步涂陕西有5种选择，第二步涂湖北有4种选择，第三步涂安徽有4种选择，第四步涂江西有3种选择，第五步涂湖南有3种选择,即共有种涂色方案. 故选：D 2．（24-25高二上·甘肃定西·期末）如图，给编号为1，2，3，…，6的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．60种 B．80种 C．100种 D．125种 【答案】A 【分析】由题意可得，只需确定区域1，2，3的颜色，即可确定所有区域的涂色．根据分步乘法计算原理运算求解. 【详解】由题意可得，只需确定区域1，2，3的颜色，即可确定所有区域的涂色． 先涂区域1，有5种选择；再涂区域2，有4种选择；最后涂区域3，有3种选择． 故不同的涂色方案有种． 故选：A. 二、填空题 3．（2025高三·全国·专题练习）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色，欲给如图所示的地图中南昌市及与它相邻的4个城市着色，要求相邻城市不涂同一颜色，则不同的涂色方法共有 种.    【答案】72 【分析】分两种情况讨论，运用分类计数原理、分步计算原理进行求解即可. 【详解】由地图可知，与南昌市相邻的4个城市为：九江市、上饶市、抚州市、宜春市， 先给南昌市着色，有4种方法，再给与南昌市相邻的四个城市涂色， 可分以下两类： ①九江市与抚州市涂同种颜色，方法数为：（种）； ②九江市与抚州市涂不同颜色，方法数为：（种）， 故不同涂色方法数为：. 故答案为：72 相似练习 4．（24-25高二下·全国·课后作业）现有A，B，C，D，E五个兴趣小组，在劳动实践课上制作的手工艺品，摆放到如图所示桌面上的四个区域，供学生参观，若要求相邻区域不可以放入同一个兴趣小组的手工艺品，每个区域内只能摆放一个兴趣小组的手工艺品，共有 种摆法． 【答案】260 【分析】分两类：第一类，2，3区域放同一兴趣小组的手工艺品，第二类，2，3区域摆放不同兴趣小组的手工艺品，每一类中运用分步计数原理可求每一类的方法数，进而可求总的方法数. 【详解】分两类：第一类，2，3区域放同一兴趣小组的手工艺品： 第一步，第1区域，有5种摆法， 第二步，第2，3区域有4种摆法， 第三步，第4区域有4种摆法，共计有种摆法； 第二类，2，3区域摆放不同兴趣小组的手工艺品： 第一步，第1区域，有5种摆法， 第二步，第2区域，有4种摆法， 第三步，第3区域，有3种摆法，第四步，第4区域，有3种摆法， 共计有5×4×3×3=180种摆法． 故共有80+180=260种摆法． 故答案为：260. 三、解答题 5．（24-25高二·全国·课堂例题）如图所示，要给“同”“步”“练”“测”四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法？ 【答案】 【分析】由乘法计数原理分四步解题即可； 【详解】“同”“步”“练”“测”四个区域依次涂色，分四步． 第1步，涂“同”区域，有3种选择； 第2步，涂“步”区域，有2种选择； 第3步，涂“练”区域，由于它与“同”“步”区域颜色不同，有1种选择； 第4步，涂“测”区域，由于它与“同”“练”区域颜色不同，有1种选择． 所以根据分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有（种） 6．（24-25高二下·全国·课后作业）将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ ① ② ④ ③ 【答案】180 【分析】分①④不同色；①④同色两种情况，结合分步乘法计数原理求出两种情况下的涂法，再相加得到答案. 【详解】依题意，可分两类情况：①④不同色；①④同色． 第一类：①④不同色，则①②③④所涂的颜色各不相同，我们可将这件事情分成四步来完成． 第一步涂①，从5种颜色中任选一种，有5种涂法； 第二步涂②，从余下的4种颜色中任选一种，有4种涂法； 第三步涂③与第四步涂④时，分别有3种涂法和2种涂法． 于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法为（种）． 第二类：①④同色，则①②③不同色，我们可将涂色工作分成三步来完成． 第一步涂①④，有5种涂法；第二步涂②，有4种涂法；第三步涂③，有3种涂法． 于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法有（种）． 综上可知，所求的涂色方法共有（种）． 故答案为：180 （类型三：以文化为背景的命题） 知识讲解 例题精选 1．（24-25高二上·全国·课后作业）根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数．算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示．如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的两位数有（    ） 1    2     3       4       5      6      7      8      9表示如下 纵式： 横式： A．81个 B．64个 C．18个 D．17个 【答案】B 【分析】首先根据分步计数原理计算不含0的所有两位数，再分类计算不满足条件的两位数，即可求解. 【详解】用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，共可以摆出（个）两位数， 其中个位和十位上的算筹都为1有（个）； 个位和十位上的算筹都为2有（个）； 个位和十位上的算筹都为3有（个）； 个位和十位上的算筹都为4有（个）； 个位和十位上的算筹都为5有（个）， 共有（个）， 所以个位和十位上的算筹不一样多的两位数有（个）. 故选：B 2．（2022·河南安阳·模拟预测）根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子（用竹子、木头、兽骨、象牙、金属等材料制成）以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹一样多的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出一共摆出的两位数的个数，再求出个位和十位上的算筹一样多的两位数的个数，利用古典概型概率公式计算即可. 【详解】用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式， 共可以摆出个两位数，其中个位和十位上的算筹都为1有种， 个位和十位上的算筹都为2有种，个位和十位上的算筹都为3有种， 个位和十位上的算筹都为4有种，个位和十位上的算筹都为5有种， 共有种，所以个位和十位上的算筹一样多的概率为. 故选：C 3．（22-23高一下·山东德州·期末）根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出一共摆出的两位数的个数，再求出个位和十位上的算筹不一样多的两位数的个数，利用古典概型概率公式计算即可. 【详解】用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式， 共可以摆出个两位数，其中个位和十位上的算筹都为1有种， 个位和十位上的算筹都为2有种，个位和十位上的算筹都为3有种， 个位和十位上的算筹都为4有种，个位和十位上的算筹都为5有种， 共有种，所以个位和十位上的算筹不一样多的有种， 所以个位和十位上的算筹不一样多的概率为. 故选：B 4．（2023·湖北襄阳·模拟预测）算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国传统的计算工具：现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）.如果拨动图1算盘中的两枚算珠，则表示的数字大于50的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件分类探求出拨动两枚算珠的结果，从而得到表示不同整数的个数和表示的数字大于50的个数，再根据古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】拨动图1算盘中的两枚算珠，有两类办法， 第一类，只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法，表示的数字分别为； 第二类，在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法，表示的数字分别为， 所以表示不同整数的个数为8. 其中表示的数字大于50的有共3个， 所以表示的数字大于50的概率为. 故选：B 相似练习 5．（22-23高二下·浙江·期中）算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明.在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具.下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位､十位､百位､千位，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如，如图二，个位上拨动一粒上珠､两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17.现将算盘的个位､十位､百位､千位､万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的五位数至多含3个5的情况有（    ） A．10种 B．25种 C．26种 D．27种 【答案】C 【分析】分类情况讨论结合组合数的计算可得种类. 【详解】方法一：至多含3个5，有以下四种情况： 不含5，有种；含1个5，有种；含2个5，有种； 含3个5，有种，所以，所有的可能情况共有种 方法二：所有可能的情况有种，其中不符合条件有 含有4个5，有种；含有5个5，有种； 所以，所有的可能情况共有种 故选：C. 6．（22-23高三上·江苏南通·期末）在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把20200202这样的对称数叫回文数，如11，242，5225都是回文数，则用0，1，2，3，4，5这些数字构成的所有三位数的回文数中能被3整除的个数是（    ） A．8 B．10 C．11 D．13 【答案】B 【分析】根据回文数的定义，结合被3整除的性质进行分类讨论求解即可. 【详解】当三位数的三个数位上的数都相同时，有，共有5个； 当三位数的三个数位上的数有二个相同时，有，共有5个， 所以满足题意的回文数共有10个， 故选：B 7．（21-22高二上·全国·单元测试）核糖核酸（缩写为RNA），存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体，RNA由核糖核苷酸经磷酸二酯键缩合而成长链状分子，长链中每一个位置上都被一种称为碱基的化学成分所占据，RNA的碱基主要有4种，分别用A，C，G，U表示．在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA分子由100个碱基组成，则不同的RNA分子的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由100个碱基组成的长链共有100个位置，从A，C，G，U中任选1个依次填入这100个位置中，每个位置都有4种填充方法， 根据分步乘法计数原理，可得不同的RNA分子的种数为． 故选：B 二、填空题 8．（24-25高二上·全国·课后作业）古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为 ．    【答案】24 【分析】首先分情况，先确定两个顶点，再确定其他顶点，即可求解. 【详解】梯形的上、下底平行且不相等，如图，    若以AB为底边，则可构成2个梯形，根据对称性可知此类梯形有（个）， 若以AC为底边，则可构成1个梯形，此类梯形共有（个）， 所以梯形的个数是（个）． 故答案为：24 （类型四：与古典概型概率结合的命题） 知识讲解 1.确定试验和基本事件 明确所研究的随机试验是什么，例如掷骰子、摸球、抽取卡片等。 确定该试验的基本事件空间，即所有可能出现的结果。例如，掷一枚骰子，基本事件空间为，每个结果都是一个基本事件。 2.分析事件与分步 确定要求概率的事件，将事件的发生过程分解为若干个相互独立的步骤。例如，从装有个红球和个白球的袋子中依次取出个球，事件为“第一次取到红球且第二次取到白球”，可将其分为“第一次取球”和“第二次取球”两个步骤。 3.运用分步乘法计数原理计算事件包含的基本事件数 计算每个步骤的方法数。例如在上述取球例子中，第一步取到红球有种方法，第二步在剩下个球中取到白球有种方法。 根据分步乘法计数原理，将各步骤的方法数相乘，得到事件包含的基本事件数。在该例中，事件包含的基本事件数为种。 4.计算基本事件总数 运用分步乘法计数原理或其他计数方法，计算整个试验的基本事件总数。例如在取球例子中，第一次取球有种方法，第二次取球有种方法，所以基本事件总数为种。 计算概率 根据古典概型概率公式，计算事件的概率。 例题精选 1．（24-25高二下·全国·课后作业）现有某类病毒记作，其中正整数，（，）可以任意选取，则不同的选取种数为 ，，都取到奇数的概率为 ． 【答案】 63 【分析】利用分步乘法计数原理得到有可能的取值个数，并得到，都取到奇数的情况数，得到概率. 【详解】因为正整数，满足，，所以有可能的取值有（种）， 其中，都取到奇数，可从中选取，可从中选取， 故情况有（种），因此所求概率为． 故答案为：63， 2．（24-25高三下·广东广州·开学考试）在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则每个方格被选中的概率为 ；按要求选中的4个方格中的4个数之和的最小值是 . 8 27 32 62 3 23 37 63 6 27 38 66 4 26 39 66 【答案】 125 【分析】第一空，分布乘法原理算出选法总数和某个方格被选中的种类，再结合古典概率公式计算；第二空，先按列分析，利用列举法或分类加法原理写出所有可能结果，即可求解. 【详解】第一空， 在方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，可以从第一行选出一个方格，共有4种选法， 去掉相应的行和列后，再从剩下的方格表中用相同的方法选出第2个方格，共有3种选法，……， 选法总数为种，即. 某一方格被选中，可以先选定这个方格，去掉相应的行和列后，剩下的三个方格有：种选法， 令“某个方格被选中”，，则. 第二空， 方法一：先按列分析，每列必选出一个数，所选4个数的十位数字分别为0，2，3，6， 若选中方格中的4个数之和最小，则需要个位数之和最小， 每种选法可标记为，a，b，c，d分别表示第一、二、三、四列的个位数字， 则所有的可能结果为： ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， 此时最小为， 所以选中的方格中4，23，32，66的4个数之和最小为.答案为：125. 方法二：先按列分析，每列十位数字是相同的，4列数的十位数字分别为0，2，3，6， 再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最小值分别为2，3，6，4， 只要按规则所取的4个数的个位数为这4个数字其和必最小， 据此，可从第一行取32（取62则不能实现上述个位数的结果），从第二行取23，从第三行取66，从第四行选4，此时个位上的数字之和最小， 所以选中方格中的4个数之和的最小值为. 故答案为： 3．（24-25高三上·湖南株洲·期末）在箱子里有六张印有6名同学名字（名字都不相同）的卡片，6名同学随机在箱子中抽取一张卡片.为了使6名同学都能拿到自己的卡片，每次只有2名同学可以互换手中的卡片，则这6名同学至少进行5次互换才能都拿到自己名字的卡片的概率为 . 【答案】 【分析】记甲､乙､丙､丁､戊､己六位同学对应的位次分别为1，2，3，4，5，6，分析可知自己的名牌均不在自己手里，且交换过程中只存在最后一次互换两位同学都能拿到自己的名牌，进而可得结果. 【详解】因为同学们至少经过5次操作才能才能都拿到自己的名牌， 这里研究排序混乱到什么程度才需要“至少经过5次互换”六位同学才能都拿到自己的名牌，这里不妨记甲､乙､丙､丁､戊､己六位同学对应的位次分别为1，2，3，4，5，6， 首先，考虑一种情况：假设字母“甲”已经拿到自己的名牌，即排在1号位，其他名牌皆不在对应同学的手里， 易知把其他五个名牌换到对应同学的手里至少需要经过3次操作， 即第一次让“乙”归位，第二次让“丙”归位，第三次让“丁”归位，第四次将“戊”与“己”同时归位，这样仅需进行4次操作，不满足题意； 若甲､乙､丙､丁､戊､己六位同学的名牌均不在自己手里，但经过一次交换后，可使得两个字母同时归位，此时也不能满足“至少进行5次操作”的情况， 所以，要满足“至少进行5次操作”的情况，则自己的名牌均不在自己手里，且交换过程中只存在最后一次互换两位同学都能拿到自己的名牌， 综上，总的排序方法有种， 所有的随机情况有种，所以概率为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：假设字母“甲”已经拿到自己的名牌和甲､乙､丙､丁､戊､己六位同学的名牌均不在自己手里，分析可知均不成立，进而可知自己的名牌均不在自己手里，且交换过程中只存在最后一次互换两位同学都能拿到自己的名牌，进而得解. 相似练习 4．（24-25高三上·河北保定·期末）随机数选择器每次只能从、、、、、、、、这九个数字中选一个数，并且以相等概率做选择，那么在次选择后，选出的个数的乘积能被整除的概率为 . 【答案】 【分析】利用计数原理计算出全部的选择结果种数，以及“选出的个数的乘积能被整除”的选法种数，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】随机数选择器每次只能从、、、、、、、、这九个数字中选一个数， 选择次，每次都有种结果，共种结果， 若选出的个数的乘积能被整除，则其中有一次选择的数为，另一次选择的数为偶数， 则不同的选择结果有种， 由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为. 故答案为：. 5．（2024高二下·安徽·学业考试）某学校举办作文比赛，共设6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文．则甲、乙两位参赛同学抽到的主题不相同的概率为 ． 【答案】 【分析】利用古典概型计算即可. 【详解】由题意可知甲乙两人抽取主题的情况有种，不相同的情况有种， 所以其概率为. 故答案为： 6．（23-24高二下·山西长治·期中）用红、蓝两种颜色随机给一排4个格子染色，则至多有两个红色相邻的概率为 . 【答案】 【分析】设事件 “至多有两个红色相邻”，利用古典概型的概率公式求出，即可得解. 【详解】用红、蓝两种颜色随机给一排4个格子染色，共有种方法， 设事件 “至多有两个红色相邻”，则 “至少个红色相邻”， 则至少个红色相邻有种方法， 所以，则． 故答案为：． 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）编号为1，2，3，4的四位同学参观某博物馆，该博物馆共有编号为1，2，3，4的四个门，若规定编号为1，2，3，4的四位同学进入博物馆不能走与自己编号相同的门，则四位同学用不同的方式进入博物馆的方法种数为（    ） A．12 B．16 C．81 D．256 2．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（    ） A．24种 B．10种 C．9种 D．15种 3．（23-24高二下·贵州·期中）高二某班级4名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（    ） A．54 B．12 C．8 D．81 4．（23-24高二下·天津北辰·期中）若5名学生报名参加数学、物理、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．（23-24高二下·江苏镇江·期中）以下运算结果为的是（    ） A．3封不同的信投入4个不同的邮筒的投法 B．4个运动员争夺3个项目的冠军（每个项目只有一个冠军） C．3块地种植4种不同的蔬菜的种法 D．4个同学购买3种不同的书籍，每人购买1本的种数 6．（23-24高二下·河南商丘·期中）数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为（    ） A．147 B．112 C．65 D．50 7．（23-24高二下·山东青岛·期中）在如图所示的九宫格中填入数字和字母，已知三个字母：都填到九宫格中且不能在同一行同一列，其他每格只能从数字中选择一个填入，有公共边的两个格数字不相同，则不同的填法种数为（    ） A．5230 B．3619 C．4758 D．5184 8．（23-24高二下·山西长治·期中）3名同学报名参加学校运动会的跳高、跳远比赛项目，每人限报一项，不同的报法种数是（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 9．（23-24高二下·山西临汾·期中）核糖核酸（RNA）是存在于生物细胞及部分病毒、类病毒中的携带遗传信息的物质.参与形成RNA的碱基有4种，分别用A，C，G，U表示.在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA分子由20个碱基组成，则不同的RNA分子的种数为（    ） A．24 B．80 C． D． 二、多选题 10．（24-25高二上·四川成都·期中）一个袋子中有4个白球，个黄球，采用不放回的方式从中依次随机抽取2个球，已知取出的2个球颜色不同的概率为，则（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 三、填空题 11．（23-24高二下·贵州安顺·期中）如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有 . 12．（24-25高三上·广东汕头·期中）一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c．三位数中，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）若a，b，，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”共 个． 13．（23-24高二下·陕西西安·期中）一个口袋内装有4个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有小球的颜色互不相同．从两个袋子中取一个球，则不同的取法种数为 ． 14．（23-24高二下·山东菏泽·期中）某商场举行的“春节合家欢，砸蛋赢现金”活动中，在8个金蛋中分别有一、二、三等奖各1个，其余5个无奖．由4个人参与砸金蛋活动，每人砸2个，不同的获奖情况数为 ． 2024-2025高二下学期重难点题型归纳 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B A D C D B D AB 1．C 【分析】根据题意因不能走与自己编号相同的门，所以每人都可从其它3个门进入，再由分步乘法计数原理从而可求解. 【详解】因不能走与自己编号相同的门，安排编号为1的同学进入博物馆有3种选法； 同理编号为2，3，4的同学进入博物馆各有3种方法， 由分步乘法计数原理，共有种方法．故C正确. 故选：C. 2．D 【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】依题意可知，有两类衣服可选， 第一类：选择衬衣和裙子，共有种选择； 第二类：选择连衣裙，共有中选择； 所以共有种选择. 故选：D 3．B 【分析】直接由分步计数原理求解即可． 【详解】由甲同学不能报名足球，可得甲有2种报名方式， 乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同， 可得乙有3种报名方式，丙有2种报名方式，丁只有1种报名方式， 共分步计数原理可得共有种． 故选：B． 4．A 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式即得. 【详解】依题意，每名学生有4种报名方式，由分步乘法计数原理得不同的报名方式有种. 故选：A 5．D 【分析】由分步乘法运算逐一验证即可求解. 【详解】对于A，3封不同的信投入4个不同的邮筒的投法有种，故A错误； 对于B，4个运动员争夺3个项目的冠军（每个项目只有一个冠军），共有种可能，故B错误； 对于C，3块地种植4种不同的蔬菜的种法有种，故C错误； 对于D，4个同学购买3种不同的书籍，每人购买1本的种数有种，故D正确. 故选：D. 6．C 【分析】根据给定条件，结合“凸数”的意义，利用分类加法计数原理求解即得. 【详解】最高位是5的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个； 最高位是6的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个； 最高位是7的“凸数”，中间数分别为8，9，分别有7，8个，共有15个； 最高位是8的“凸数”，中间数为9，有8个， 所以没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为. 故选：C 7．D 【分析】先填，再填1，2，3，由分步乘法计数原理求解即可. 【详解】先填，对于，有9个位置可以选择， 除去所在的行和列，有4个位置可以选择， 再除去所在的行和列，只剩1个位置， 故填共有种；再填1，2，3，如下图， ④ ⑤ ① ⑥ ② ③ 由于公共边的两个格数字不相同，从①号位置开始: ①有3种选择，②有2种选择，③有2种选择，④有3种选择，⑤有2种选择，⑥有2种选择， 故填1，2，3有种； 所以共有种. 故选：D. 8．B 【分析】根据分步乘法计数原理计算可得. 【详解】依题意每位同学均有种报名方法， 按照分步乘法计数原理可知一共有种不同的报法. 故选：B 9．D 【分析】根据分步乘法计数原理进行求解即可. 【详解】每个碱基有4种可能，根据分步乘法计数原理，可得不同的RNA 分子的种数为. 故选：D 10．AB 【分析】结合计数原理，根据古典概型的概率公式求解即可. 【详解】设从个球不放回地随机取出2个的可能总数为，事件“两次取出的球颜色不同”， 则，， 则，解得或. 故选：AB. 11．48 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】根据题意，对于区域A，有4种涂色方法，对于区域B，有3种涂色方法， 对于区域C，有2种涂色方法，对于区域D，有2种涂色方法， 则由分步乘法计数原理可得种涂色方法. 故答案为：48 12． 【分析】利用“有缘数”的定义，利用分类讨论的思想，求出所有的三位数． 【详解】解：根据题意知在中，能组成有缘数的组合有；； ；；； 由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，“有缘数”共6个； 同理：由1，3，4组成的三位数为“有缘数”是6个； 由1，4，5组成的三位数为“有缘数”是6个； 由2，3，5组成的三位数为“有缘数”是6个； 所以三位数为“有缘数”的个数为：个． 故答案为：． 13．10 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算即得. 【详解】根据分类加法计数原理，不同的取法种数为． 故答案为：10 14．60 【分析】根据题意，分两种情况讨论：①一人获得两张奖券，一人获得一张奖券，②三人各获得一张奖券，由加法原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ①一人获得两张奖券，一人获得一张奖券，有种获奖情况， ②三人各获得一张奖券，有种获奖情况， 故共有种获奖情况． 故答案为：60． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【分类加法计数原理与分步乘法计数原理】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：分类加法计数原理与分步乘法的概念辨析】 知识讲解 分类加法计数原理 概念：完成一件事，有类办法，在第类办法中有种不同的方法，在第类办法中有种不同的方法……在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。 示例：从甲地到乙地，有趟火车，趟汽车，趟飞机。那么从甲地到乙地共有种不同的走法。这里每一种交通工具的走法都相互独立，都能单独完成从甲地到乙地这件事，所以用加法。 分步乘法计数原理 概念：完成一件事，需要分成个步骤，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法……做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。 示例：从地到地，中间要经过地，从地到地有条路，从地到地有条路。那么从地到地共有种不同的走法。这里必须依次经过从到、从到这两个步骤，才能完成从地到地这件事，所以用乘法。 两者的区别 分类加法计数原理：各类办法之间相互独立，每一类办法都能独立完成这件事，办法之间是“或”的关系。比如前面从甲地到乙地的例子，坐火车、坐汽车、坐飞机这三类办法是相互独立的，选择其中任何一类办法都可以到达乙地。 分步乘法计数原理：各个步骤之间相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成，步骤之间是“且”的关系。就像从地到地的例子，必须先从到，再从到，两个步骤都完成才能到达地，缺少任何一个步骤都不行。 例题精选 1．（24-25高二下·湖南·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题 B．分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情 C．分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题 D．求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分类计数问题 2．（23-24高二下·云南迪庆·期中）一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物8本，英语类读物9本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（    ） A．3种 B．24种 C．48种 D．504种 3．（23-24高二下·天津西青·期末）某影城有一些电影新上映，其中有2部科幻片、3部文艺片、2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法种数有（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）两个计数原理 （1）分类加法计数原理：完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法……第n类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. （2）分步乘法计数原理：完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法. 相似练习 5．（24-25高三·上海·随堂练习）某书店有5种杂志，分别是5元，4元，3元，2元，1元，小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是 （用数字作答）． 6．（24-25高三·上海·随堂练习）设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，从中任选一幅画布置房间，有 种不同的选法． 7．（24-25高三·上海·课堂例题）将一枚骰子向桌面先后抛掷次，将两次获得的点数相加求和一共有（   ）种不同结果． A． B． C． D． 8．（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙两位同学手中分别拿着一个标有数字1，2，3，4，5，6的正六面体，和标有数字3，4，5，6的正四面体，若两同学同时把几何体抛向桌面，则正六面体向上的数字与正四面体贴近桌面的面上的数字之和大于5，且数字之积小于30的情况有 种． 【题型二：分步乘法计数原理】 知识讲解 1. 分析问题：首先要明确需要完成的事件是什么，以及完成该事件需要分成哪些步骤。 2. 确定步骤：将完成事件的过程合理地分解为若干个相互独立的步骤。每个步骤都应该是一个明确的、可操作的子任务，且这些步骤必须依次完成，才能最终完成整个事件。 3. 计算每步方法数：针对每个步骤，确定完成该步骤有多少种不同的方法。这需要根据具体问题的条件和限制来进行分析和计算。 4. 应用原理计算：根据分步乘法计数原理，将每个步骤的方法数相乘，得到完成整个事件的总方法数。 例题精选 1．（21-22高二下·上海闵行·期末）现有5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（    ） A． B． C．20 D．9 2．（20-21高二下·四川雅安·期中）甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100米比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名方法（    ） A．12 B．24 C．64 D．81 3．（2025·湖北武汉·二模）有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（    ） A．40 B．48 C．52 D．60 相似练习 4．（22-23高二上·上海杨浦·期末）有8种不同型号的手机供4位顾客选购，每人只购一台，则共有 种不同的选法. 5．（2025·陕西榆林·模拟预测）乙巳蛇年，古城榆林燃动全国秧歌热潮，国内外共39支队伍汇聚榆林，舞动非遗年味.现有4名国际友人，每人从俄罗斯、保加利亚、榆林市直教育系统的三支秧歌队中选择观看一支，则不同的观看方式有 .（用数字作答） 三、解答题 6．（2020高三·全国·专题练习）电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有或两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由个二进制位构成.问： （1）一个字节(位)最多可以表示多少个不同的字符？ （2）计算机汉字国标码(码)包含了个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？ 【题型三：分类加法分步乘法的综合应用】 （类型一：与组数字有关的问题） 知识讲解 与数字有关的分步乘法计数原理解题时 1. 明确任务：清晰确定要完成的与数字相关的任务是什么，比如组成特定要求的数字、对数字进行排列组合等。 2. 分解步骤：将任务按照数字的各个数位或者数字的选取、排列等过程，合理地分解为若干个相互独立的步骤。 3. 确定每步方法数： 对于数位上数字的选择，要考虑数字的取值范围、是否有重复数字的限制等因素。例如，若组成三位数且百位不能为，那么百位有种选择（）；若允许数字重复，十位和个位通常各有$10$种选择（）。 若是涉及数字的排列，要根据排列的规则和已选数字的情况来确定每一步的方法数。比如从个不同数字中选个进行排列，第一步选第一个数字有种选法，第二步选第二个数字有种选法（因为选了一个数字后剩下个数字可选），第三步选第三个数字有种选法。 4. 计算总数：依据分步乘法计数原理，将每一步的方法数相乘，得到完成任务的总方法数。 例如，用、、、、这五个数字组成没有重复数字的四位数，可按以下步骤求解： 1. 明确任务：组成无重复数字的四位数。 2. 分解步骤：分四步确定千位、百位、十位、个位上的数字。 3. 确定每步方法数： 第一步，确定千位数字，有种选法（可从、、、、这个数字中任选一个）。 第二步，确定百位数字，此时千位已选走一个数字，还剩个数字可选，所以有种选法。 第三步，确定十位数字，千位和百位共选走两个数字，还剩个数字可选，因此有种选法。 第四步，确定个位数字，前面三位选走三个数字，只剩个数字可选，有种选法。 4. 计算总数：根据分步乘法计数原理，总共有种方法，即可以组成120个没有重复数字的四位数。 例题精选 1．（24-25高二下·甘肃兰州·开学考试）用0，1，…，9十个数字，可以组成无重复数字的三位数的个数为（    ） A．652 B．648 C．504 D．562 2．（24-25高二下·江苏南京·开学考试）从集合中任取两个不同的数组成复数，其中虚数有（    ） A．4个 B．9个 C．12个 D．16个 3．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“影弄花枝花弄影”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有共9个，若从三位数的回文数中任取一个数，则取出的数是奇数的概率是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2025·青海海南·模拟预测）正整数19600的不同正因数的个数为 ． 相似练习 5．（24-25高二下·全国·课后作业）从集合中取两个不同的数分别作为对数的底数与真数，则不同的对数值的个数为 ． 6．（2025高三·全国·专题练习）用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成 个无重复数字的四位偶数．（用数字作答） 7．（24-25高三·上海·课堂例题）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字，十位数字小于百位数字，则这样的数共有 个. 三、解答题 8．（24-25高三·上海·课堂例题）用0、1、2、3、…、9十个数字可组成多少个不同的： (1)三位数； (2)无重复数字的三位数； (3)小于500且无重复数字的三位奇数． （类型二：染色问题） 知识讲解 1.明确问题与对象 确定需要染色的区域或对象，比如图形中的各个区域、排列的元素等，明确染色的要求，如颜色的种类限制、相邻区域颜色不同等条件。 2.合理分步 通常按照区域的顺序或者元素的排列顺序进行分步。一般从某个特定的区域或元素开始，依次考虑其染色方法以及对后续区域或元素染色的影响。例如，对于一个有多个区域的图形，可按照顺时针或逆时针方向依次对每个区域进行染色分析。 3.确定每步的方法数 对于第一步，通常可以有多种颜色可供选择。例如，若有种颜色，第一个区域一般有种染色方法。 从第二步开始，要考虑与已染色区域的关系。如果当前区域与前面的某个区域相邻，且要求相邻区域颜色不同，那么当前区域可选择的颜色就会减少。比如，若某个区域与已经染了种不同颜色的个相邻区域相连，那么该区域就有种染色方法。 4.应用原理计算 根据分步乘法计数原理，将每一步的染色方法数相乘，得到总的染色方法数。 例题精选 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）如图，湖北省分别与湖南､安徽､陕西､江西四省交界，且湘､皖､陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（    ） A．540 B．600 C．660 D．720 2．（24-25高二上·甘肃定西·期末）如图，给编号为1，2，3，…，6的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．60种 B．80种 C．100种 D．125种 二、填空题 3．（2025高三·全国·专题练习）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色，欲给如图所示的地图中南昌市及与它相邻的4个城市着色，要求相邻城市不涂同一颜色，则不同的涂色方法共有 种.    相似练习 4．（24-25高二下·全国·课后作业）现有A，B，C，D，E五个兴趣小组，在劳动实践课上制作的手工艺品，摆放到如图所示桌面上的四个区域，供学生参观，若要求相邻区域不可以放入同一个兴趣小组的手工艺品，每个区域内只能摆放一个兴趣小组的手工艺品，共有 种摆法． 三、解答题 5．（24-25高二·全国·课堂例题）如图所示，要给“同”“步”“练”“测”四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法？ 6．（24-25高二下·全国·课后作业）将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ ① ② ④ ③ （类型三：以文化为背景的命题） 例题精选 1．（24-25高二上·全国·课后作业）根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数．算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示．如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的两位数有（    ） 1    2     3       4       5      6      7      8      9表示如下 纵式： 横式： A．81个 B．64个 C．18个 D．17个 2．（2022·河南安阳·模拟预测）根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子（用竹子、木头、兽骨、象牙、金属等材料制成）以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹一样多的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·山东德州·期末）根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的概率为（    ）    A． B． C． D． 4．（2023·湖北襄阳·模拟预测）算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国传统的计算工具：现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）.如果拨动图1算盘中的两枚算珠，则表示的数字大于50的概率为（    ） A． B． C． D． 相似练习 5．（22-23高二下·浙江·期中）算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明.在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具.下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位､十位､百位､千位，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如，如图二，个位上拨动一粒上珠､两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17.现将算盘的个位､十位､百位､千位､万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的五位数至多含3个5的情况有（    ） A．10种 B．25种 C．26种 D．27种 6．（22-23高三上·江苏南通·期末）在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把20200202这样的对称数叫回文数，如11，242，5225都是回文数，则用0，1，2，3，4，5这些数字构成的所有三位数的回文数中能被3整除的个数是（    ） A．8 B．10 C．11 D．13 7．（21-22高二上·全国·单元测试）核糖核酸（缩写为RNA），存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体，RNA由核糖核苷酸经磷酸二酯键缩合而成长链状分子，长链中每一个位置上都被一种称为碱基的化学成分所占据，RNA的碱基主要有4种，分别用A，C，G，U表示．在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA分子由100个碱基组成，则不同的RNA分子的种数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25高二上·全国·课后作业）古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为 ．    （类型四：与古典概型概率结合的命题） 知识讲解 1.确定试验和基本事件 明确所研究的随机试验是什么，例如掷骰子、摸球、抽取卡片等。 确定该试验的基本事件空间，即所有可能出现的结果。例如，掷一枚骰子，基本事件空间为，每个结果都是一个基本事件。 2.分析事件与分步 确定要求概率的事件，将事件的发生过程分解为若干个相互独立的步骤。例如，从装有个红球和个白球的袋子中依次取出个球，事件为“第一次取到红球且第二次取到白球”，可将其分为“第一次取球”和“第二次取球”两个步骤。 3.运用分步乘法计数原理计算事件包含的基本事件数 计算每个步骤的方法数。例如在上述取球例子中，第一步取到红球有种方法，第二步在剩下个球中取到白球有种方法。 根据分步乘法计数原理，将各步骤的方法数相乘，得到事件包含的基本事件数。在该例中，事件包含的基本事件数为种。 4.计算基本事件总数 运用分步乘法计数原理或其他计数方法，计算整个试验的基本事件总数。例如在取球例子中，第一次取球有种方法，第二次取球有种方法，所以基本事件总数为种。 计算概率 根据古典概型概率公式，计算事件的概率。 例题精选 1．（24-25高二下·全国·课后作业）现有某类病毒记作，其中正整数，（，）可以任意选取，则不同的选取种数为 ，，都取到奇数的概率为 ． 2．（24-25高三下·广东广州·开学考试）在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则每个方格被选中的概率为 ；按要求选中的4个方格中的4个数之和的最小值是 . 8 27 32 62 3 23 37 63 6 27 38 66 4 26 39 66 3．（24-25高三上·湖南株洲·期末）在箱子里有六张印有6名同学名字（名字都不相同）的卡片，6名同学随机在箱子中抽取一张卡片.为了使6名同学都能拿到自己的卡片，每次只有2名同学可以互换手中的卡片，则这6名同学至少进行5次互换才能都拿到自己名字的卡片的概率为 . 相似练习 4．（24-25高三上·河北保定·期末）随机数选择器每次只能从、、、、、、、、这九个数字中选一个数，并且以相等概率做选择，那么在次选择后，选出的个数的乘积能被整除的概率为 . 5．（2024高二下·安徽·学业考试）某学校举办作文比赛，共设6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文．则甲、乙两位参赛同学抽到的主题不相同的概率为 ． 6．（23-24高二下·山西长治·期中）用红、蓝两种颜色随机给一排4个格子染色，则至多有两个红色相邻的概率为 . 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）编号为1，2，3，4的四位同学参观某博物馆，该博物馆共有编号为1，2，3，4的四个门，若规定编号为1，2，3，4的四位同学进入博物馆不能走与自己编号相同的门，则四位同学用不同的方式进入博物馆的方法种数为（    ） A．12 B．16 C．81 D．256 2．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（    ） A．24种 B．10种 C．9种 D．15种 3．（23-24高二下·贵州·期中）高二某班级4名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（    ） A．54 B．12 C．8 D．81 4．（23-24高二下·天津北辰·期中）若5名学生报名参加数学、物理、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．（23-24高二下·江苏镇江·期中）以下运算结果为的是（    ） A．3封不同的信投入4个不同的邮筒的投法 B．4个运动员争夺3个项目的冠军（每个项目只有一个冠军） C．3块地种植4种不同的蔬菜的种法 D．4个同学购买3种不同的书籍，每人购买1本的种数 6．（23-24高二下·河南商丘·期中）数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为（    ） A．147 B．112 C．65 D．50 7．（23-24高二下·山东青岛·期中）在如图所示的九宫格中填入数字和字母，已知三个字母：都填到九宫格中且不能在同一行同一列，其他每格只能从数字中选择一个填入，有公共边的两个格数字不相同，则不同的填法种数为（    ） A．5230 B．3619 C．4758 D．5184 8．（23-24高二下·山西长治·期中）3名同学报名参加学校运动会的跳高、跳远比赛项目，每人限报一项，不同的报法种数是（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 9．（23-24高二下·山西临汾·期中）核糖核酸（RNA）是存在于生物细胞及部分病毒、类病毒中的携带遗传信息的物质.参与形成RNA的碱基有4种，分别用A，C，G，U表示.在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA分子由20个碱基组成，则不同的RNA分子的种数为（    ） A．24 B．80 C． D． 二、多选题 10．（24-25高二上·四川成都·期中）一个袋子中有4个白球，个黄球，采用不放回的方式从中依次随机抽取2个球，已知取出的2个球颜色不同的概率为，则（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 三、填空题 11．（23-24高二下·贵州安顺·期中）如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有 . 12．（24-25高三上·广东汕头·期中）一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c．三位数中，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）若a，b，，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”共 个． 13．（23-24高二下·陕西西安·期中）一个口袋内装有4个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有小球的颜色互不相同．从两个袋子中取一个球，则不同的取法种数为 ． 14．（23-24高二下·山东菏泽·期中）某商场举行的“春节合家欢，砸蛋赢现金”活动中，在8个金蛋中分别有一、二、三等奖各1个，其余5个无奖．由4个人参与砸金蛋活动，每人砸2个，不同的获奖情况数为 ． 2024-2025高二下学期重难点题型归纳 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $$