高二下学期第一次月考卷（考试范围：空间向量+计数原理）-2024-2025学年高二数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019选择性必修第二册）

高二第二学期第一次月考卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 考试范围：（空间向量+计数原理） 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知空间向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 2．在四棱锥中，底面为平行四边形，，分别为，的中点，为的中点，记，，，则（   ） A． B． C． D． 3．在的展开式中，常数项为（    ） A．60 B．15 C． D． 4．某多功能体育场馆决定承包举办马术，击剑，游泳，跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有（    ） A．16种 B．12种 C．8种 D．6种 5．如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（    ） A． B． C．1 D． 6．在平行六面体中，若，，，则的长度为（    ） A． B． C．3 D．5 7．北京故宫博物院成立于1925年10月10日，是在明朝、清朝两代皇宫及其收藏的基础上建立起来的大型综合性博物馆，也是中国最大的古代文化艺术博物馆．2025年北京故宫博物院将迎来建院100周年．用2025，100，2，0，2，5这6个数可以组成的不同的11位数的个数为（    ） A．594 B．300 C．294 D．297 8．下列说法正确的个数为（    ） ①180的正因数有16个②以正方体为顶点的三棱锥有70个③+9能被7整除 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．若，，则（    ） A． B． C． D． 10．2023宿迁马拉松赛事设置全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑（5.5公里）三个项目，每个项目均设置4000个参赛名额．在宿大学生踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑（5.5公里）三个项目进行志愿者活动，则下列说法正确的是（   ） A．若全程马拉松项目必须安排3人，其余两项各安排1人，则有20种不同的分配方案 B．若每个比赛项目至少安排1人，且每人均被安排，则有150种不同的分配方案 C．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法 D．已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法 11．在棱长为1的正方体中，E，F分别是棱AB，BC的中点，则（    ） A． B．三棱锥的体积为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点E到直线的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知，，，若、、共面，则 . 13．已知，则a被10除所得的余数为 . 14．在底面边长为2的正三棱柱中，异面直线与所成角的余弦值为，则该正三棱柱的体积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（1）设、均为正整数，求证：； （2）设为正整数，解不等式：. 16．如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 17．如图，在多面体中，.侧面为矩形，平面，平面， (1)求证： (2)求直线与平面所成角的正弦值 (3)求直线到平面的距离. 18．在的展开式中，把，，，叫做三项式的次系数列． （1）求的值； （2）根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如，利用上述思想方法，请计算值； （3）我们都知道方程无实数解，对于正整数你能否计算：的值（上标，，为不超过的3的倍数，结果请用含有的代数式表示）． 19．如图，在多面体中，，的中点为. (1)求证：四点共面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的大小. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二第二学期第一次月考卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 考试范围：（空间向量+计数原理） 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知空间向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为空间向量，，，设， 即，即，解得， 故选：D. 2．在四棱锥中，底面为平行四边形，，分别为，的中点，为的中点，记，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得, . 故选：D 3．在的展开式中，常数项为（    ） A．60 B．15 C． D． 【答案】A 【详解】二项式的展开式的通项为， 由，得，所以所求常数项为. 故选：A 4．某多功能体育场馆决定承包举办马术，击剑，游泳，跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有（    ） A．16种 B．12种 C．8种 D．6种 【答案】C 【详解】马术比赛和跑步比赛不相邻的情况为：种， 马术比赛和跑步比赛不相邻且游泳比赛在第一或最后一场的情况为：种， 故不同的比赛方式共有种. 故选：C. 5．如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】设，， 由， 所以， 因为， 所以， ， 所以，直线与BM所成角的正弦值为. 故选：C 6．在平行六面体中，若，，，则的长度为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【详解】在平行六面体中，，，， ，而， 所以 . 故选：B 7．北京故宫博物院成立于1925年10月10日，是在明朝、清朝两代皇宫及其收藏的基础上建立起来的大型综合性博物馆，也是中国最大的古代文化艺术博物馆．2025年北京故宫博物院将迎来建院100周年．用2025，100，2，0，2，5这6个数可以组成的不同的11位数的个数为（    ） A．594 B．300 C．294 D．297 【答案】D 【详解】因为首位数字不能为0，所以首先从2025，100，2，2，5这5个数中任选一个排首位，有5种排法，剩余5个数进行全排列，有种排法，又两个2交换位置所得的11位数相同，且2，0，2，5排列成2025的排法有种，所以用2025，100，2，0，2，5组成的不同的11位数的个数为. 故选：D． 8．下列说法正确的个数为（    ） ①180的正因数有16个②以正方体为顶点的三棱锥有70个③+9能被7整除 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【详解】因为，所以180的正因数有，共18个，①不正确； 以正方体为顶点的三棱锥，首先从8个顶点中选4个，共有 种结果， 在这些结果中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面，所以满足条件的结果有 个，故②不正确； 不能被7整除，③不正确； 正确的个数是0个. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，， 令，可得，故A正确； 对于B，，可得，故B错误； 对于C，令，可得，故C正确； 对于D，上述两式相加， 故，故D错误， 故选：AC. 10．2023宿迁马拉松赛事设置全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑（5.5公里）三个项目，每个项目均设置4000个参赛名额．在宿大学生踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑（5.5公里）三个项目进行志愿者活动，则下列说法正确的是（   ） A．若全程马拉松项目必须安排3人，其余两项各安排1人，则有20种不同的分配方案 B．若每个比赛项目至少安排1人，且每人均被安排，则有150种不同的分配方案 C．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法 D．已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法 【答案】ABD 【详解】对于A，先从5人中选3人安排到全程马拉松项目，有种方法， 然后剩下2人安排到其余两个项目，每个项目安排1人，有（种）， 则由分步乘法计数原理可知共有种分配方案，所以A正确． 对于B，将5个人分成3组，且每组至少1人，有两种分法， 分别为1，1，3和1，2，2，若为1，1，3，则不同的分配方案有（种）； 若为1，2，2，则不同的分配方案有（种）， 所以由分类加法计数原理可知，共有种不同的分配方案，所以B正确． 对于C，先将甲、乙捆绑在一起看成一个整体，再与剩下的3人进行全排列， 所以不同的站法有（种），所以C错误． 对于D，先选2人站前排有（种）， 然后剩下3人中身高最高的站后排的中间，剩下2人站后排两边有（种）， 所以由分步乘法计数原理可知共有种不同的站法，所以D正确． 故选:ABD． 11．在棱长为1的正方体中，E，F分别是棱AB，BC的中点，则（    ） A． B．三棱锥的体积为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点E到直线的距离为 【答案】ABD 【详解】解：对于A，因为E，F分别是棱AB，BC的中点， 所以 因为，所以，故A正确； 对于B，易知平面， 所以 ， 故B正确； 对于C，如图建立空间直角坐标系， 则， 所以， 所以 ， 故C错误； 对于D，， 则， 所以， 所以点E到直线的距离为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知，，，若、、共面，则 . 【答案】 【详解】若、、共面，则， 即， 则，解得. 故答案为： 13．已知，则a被10除所得的余数为 . 【答案】1 【详解】， ， 所以被10除所得的余数为1. 故答案为：1 14．在底面边长为2的正三棱柱中，异面直线与所成角的余弦值为，则该正三棱柱的体积为 ． 【答案】 【详解】设正三棱柱的高为h，以A为坐标原点，在底面内过点A作的垂线为x轴， 以所在直线为轴，建立空间直角标系， 则， 则， 因为异面直线与所成角的余弦值为， 故， 由于，即，解得， 故该正三棱柱的体积为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（1）设、均为正整数，求证：； （2）设为正整数，解不等式：. 【答案】（1）证明见解析；（2）原不等式的解集为. 【详解】（1）证明：左边右边,所以等式成立. （2）由第（1）问中证明所得结论得， ， ∴原不等式转化为，即 当时，， ∴，，严格递增， 又∵，， ∴的取值是，，，，，，，原不等式的解集为. 16．如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， 所以， ， 所以 17．如图，在多面体中，.侧面为矩形，平面，平面， (1)求证： (2)求直线与平面所成角的正弦值 (3)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）证明：为矩形, , 平面，平面， ， 又平面，平面，， 平面，又平面 ； （2）如图所示，以为原点，分别为轴、轴、轴建系. 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 得，取，则， 即， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值； （3）因为为矩形， 所以，又平面，平面， 所以平面， 直线到平面的距离即为点到平面的距离 . 18．在的展开式中，把，，，叫做三项式的次系数列． （1）求的值； （2）根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如，利用上述思想方法，请计算值； （3）我们都知道方程无实数解，对于正整数你能否计算：的值（上标，，为不超过的3的倍数，结果请用含有的代数式表示）． 【答案】（1）13；（2）0；（3）． 【详解】（1）由题知，在三项式中，把看做整体，即可参照二项式求得三项式的展开式的各项系数， 从而，， 故. （2）由知，， 两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，对于，其展开式中不含，即系数为0，则右侧展开式该项的系数也应为0， 即. （3）列出杨辉三角形类似的表， ，，， 则当n≥2时， 即三项式的系数和，令， 则 当n=1时，，满足条件，结论成立. 19．如图，在多面体中，，的中点为. (1)求证：四点共面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 连接，由为中点，得， 由，得，而平面， 则平面，同理平面， 又平面与平面有公共直线， 所以四点共面； （2）由（1）知，是二面角的平面角， 设， 由，得， 则，，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 设平面的法向量为，则， 取，得， 设直线与平面所成角为， 依题意，，即， 平方化简整理得， 而,则， 即，又，则， 所以平面与平面夹角的大小为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$