第十七章 勾股定理全章题型总结【4个知识点14个题型】（必考点分类集训）-2024-2025学年八年级数学下册必考点分类集训系列（人教版）

第十七章 勾股定理全章题型总结【4个知识点14个题型】 【人教版】 【知识点1 勾股定理】 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.对任意的直角三角形，如果它的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么一定有a2+b2=c2，这种关系我们称为勾股定理. 2.数学语言：如右图所示，△ABC是直角三角形，其中较短的直角边a叫作勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦. 【题型1 勾股定理解三角形】 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD为AB边上的高，则CD的长为（　　） A．2 B．5 C． D． 【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据等面积法求出CD的长即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB10， 又CD为AB边上的高， ∴S△ABCAC•BC， ∴CD， 故选：D． 【变式1】如图，在△ABC中、，则△ABC的面积为（　　） A．28cm2 B．14cm2 C． D． 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据CD2＝AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2得出AD＝4，进而求得CD，最后根据三角形的面积公式，即可求解． 【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥AB于点D， ∵CD2＝AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2， ∴， 解得：AD＝4， ∴， ∴△ABC的面积为． 故选：B． 【变式2】如图，在Rt△AOB和Rt△COD中，AB＝CD＝25，OB＝7，AC＝4． （1）求OC的长； （2）求BD的长． 【分析】（1）在Rt△AOB中，利用勾股定理求出OA﹣＝24，可得答案； （2）在Rt△COD中，利用勾股定理求出OD＝15，可得答案． 【解答】解：（1）在Rt△AOB中， 由勾股定理得，OA24， ∵AC＝4． ∴OC＝OA﹣AC＝24﹣4＝20； （2）在Rt△COD中， 由勾股定理得，OD15， ∴BD＝OD﹣OB＝15﹣7＝8． 【变式3】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，BC，求： （1）Rt△ABC的面积； （2）斜边AB的长； （3）求AB边上的高CD的长． 【分析】（1）根据三角形 大面积公式即可得到结论； （2）根据勾股定理即可得到结论； （3）根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：∵∠C＝90°，AC，BC， ∴Rt△ABC的面积AC•BC（）（）＝4； （2）∵∠C＝90°，AC，BC， ∴AB2； （3）∵S△ABCAC•BCAB•CD， ∴CD， 故AB边上的高CD的长为． 【知识点2 勾股定理的验证】 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想、图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.利用面积相等证明勾股定理是最常见的一种方法，常见的几种证明方法如下 （1）弦图证明 内弦图 外弦图 ∴ ∴ （2）“总统”法（半弦图） 如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形： ，∴ 【题型2 勾股定理的验证】 【例1】勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中能证明勾股定理的是（　　） A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【分析】分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【解答】解：在①选项中，大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2， 以上公式为完全平方公式，故①不能说明勾股定理； 在②选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴， 整理可得a2+b2＝c2，故②可以证明勾股定理； 在③选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得a2+b2＝c2，故③可以证明勾股定理； 在④选项中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ∴， 整理得a2+b2＝c2，故④可以证明勾股定理． ∴能证明勾股定理的是②③④． 故选：D． 【例2】如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③x+y＝9；④xy+4＝49；其中说法正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答． 【解答】解：①∵△ABC为直角三角形， ∴根据勾股定理：x2+y2＝AB2＝49， 故本选项正确； ②由图可知，x﹣y＝CE2， 故本选项正确； ③由2xy+4＝49可得2xy＝45①， 又∵x2+y2＝49②， ∴①+②得，x2+2xy+y2＝49+45， 整理得，（x+y）2＝94， x+y9， 故本选项错误； ④由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为4xy+4＝49， 即2xy+4＝49； 故本选项错误． ∴正确结论有①②． 故选：A． 【变式2】我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明．如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（　　） A．a2+b2+4ab B． C． D． 【分析】分别根据图1、图2求出几何图形的面积，即可求解． 【解答】解：根据图1可得该几何图形的面积为：， 根据图2可得该几何图形的面积为：c2， ∴， 故选：B． 【变式2】下面图形中可以用来验证勾股定理的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】用两种不同的方法表示出梯形的面积，可以判断图1可以验证勾股定理；根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理可以判断2可以验证勾股定理． 【解答】解：图1∵，， ∴， ∴a2+2ab+b2＝ab+ab+c2， ∴a2+b2＝c2，故图1可以验证勾股定理； 图2：图形的总面积可以表示为：， 也可以表示为：， ∴c2+ab＝a2+b2+ab， ∴a2+b2＝c2，故图2可以验证勾股定理； 图3的条件不充足，不可以验证勾股定理， 综上，图1、图2可以验证勾股定理，共2个， 故选：C． 【变式3】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝22，大正方形的面积为17，则小正方形的边长为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】根据大正方形的面积和勾股定理推出a2+b2＝13，然后结合完全平方公式的变形得出（a﹣b）2＝5，最后由小正方形的面积为EF2＝（a﹣b）2，即可得出结论． 【解答】解：如图所示，由题意，ED＝a，AE＝b， ∵大正方形的面积为17， ∴AD2＝17， ∵AD2＝AE2+ED2＝a2+b2， ∴a2+b2＝17， ∵（a+b）2＝22， ∴（a﹣b）2＝2（a2+b2）﹣（a+b）2＝2×17﹣22＝12， ∵EF＝ED﹣EF＝a﹣b， ∴小正方形的边长为EF＝2（负值舍去）， 故选：D． 【知识点3 勾股定理的逆定理】 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边长c所对的角为直角. 2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形 （1）先比较三角形三边长的大小，找到最长边： （2）计算两条较短边的平方和与最长边的平方； （3）比较二者是否相等； （4）若相等，则这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则这个三角形不是直角三角形. 【题型3 判断一个三角形是直角三角形的条件】 【例1】在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A﹣∠B＝90°；③AB：AC：BC＝1：3：；④（AC+BC）（AC﹣BC）＝AB2中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ②∵∠A﹣∠B＝90°， ∴∠A＝90°+∠B， ∴△ABC不是直角三角形； ③∵AB：AC：BC＝1：3：， ∴设AB＝a，则AC＝3a，BCa， ∵AB2+AC2＝a2+（3a）2＝10a2，BC2＝（a）2＝10a2， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形； ④∵（AC+BC）（AC﹣BC）＝AB2， ∴AC2﹣BC2＝AB2， ∴AC2＝AB2+BC2， ∴△ABC是直角三角形； 所以，上列条件，能确定△ABC是直角三角形的条件有3个， 故选：C． 【例2】在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是直角三角形，则这样的格点C的个数是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可． 【解答】解：如图所示： 格点C的个数是8， 故选：C． 【变式1】若a，b，c为△ABC的三边，下列条件中：①∠B＝∠A﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝1：，则能判定△ABC是直角三角形的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答． 【解答】解：①∵∠B＝∠A﹣∠C， ∴∠B+∠C＝∠A， ∵∠B+∠C+∠A＝180°， ∴2∠A＝180°， ∴∠A＝90°， ∴能判定△ABC是直角三角形； ②∵a2＝（b+c）（b﹣c）， ∴a2＝b2﹣c2， ∴a2+c2＝b2， ∴能判定△ABC是直角三角形； ③∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠B+∠C+∠A＝180°， ∴∠C＝180°75°， ∴不能判定△ABC是直角三角形； ④∵a：b：c＝1：， ∴设a＝k，bk，ck， ∵a2+b2＝k2+（k）2＝3k2，c2＝（k）2＝3k2， ∴a2+b2＝c2， ∴能判定△ABC是直角三角形； 所以，能判定△ABC是直角三角形的个数有3个， 故选：C． 【变式2】下列由三条线段a、b、c构成的三角形：①a＝2mn，b＝m2﹣n2，C＝m2+n2（m＞n＞0），②a＝2n+1，b＝2n2+2n+1，c＝2n2+2n（n＞0），③a＝3k，b＝4k，c＝5k（k＞0），④1：：2，其中能构成直角三角形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】判断一组数能否成为直角三角形的三边，就是看是否满足两较小边的平方和等于最大边的平方，将题目中的各题一一做出判断即可． 【解答】解：①∵（m2﹣n2）2+（2mn）2＝m4+n4﹣2m2n2+4m2n2＝m4+n4+2m2n2＝（m2+n2）2， ∴能成为直角三角形的三边长； ②∵（2n）2+（2n2+2n）2＝（2n2+2n+1）2， ∴能成为直角三角形的三边长； ③（3k）2+（4k）2＝（5k）2， ∴能成为直角三角形的三边长； ④∵（）2+（）2＝（）2， ∴，，能成为直角三角形的三边长， 但a，b，c不成直角三角形的 ∴中能构成直角三角形的有3组， 故选：C． 【变式3】如图，在5×5的正方形网格中，已知线段a，b和点P，且线段的端点和点P都在格点上，在网格中找一格点Q，使线段a，b，PQ恰好能构成直角三角形，则满足条件的格点Q有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据题意画出符合条件的图形即可求解． 【解答】解：如图所示： 则满足条件的格点Q有4个． 故选：C． 【题型4 勾股定理的逆定理的应用】 【例1】如图，∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m． （1）试判断以点A，B，C为顶点的三角形的形状，并说明理由； （2）求该图的面积． 【分析】（1）根据勾股定理求出AC长，再根据勾股定理的逆定理判断即可； （2）分别求出△ACB和△ADC的面积，再相减即可． 【解答】解：（1）以点A，B，C为顶点的三角形的形状是直角三角形， 理由是：连接AC， ∵∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m， ∴由勾股定理得：AC5m， ∵AB＝13m，BC＝12m， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， 即以点A，B，C为顶点的三角形的形状是直角三角形； （2）图形的面积S＝S△ACB﹣S△ADC24（m）2． 【变式1】如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝AD＝2，，CD＝4．求∠ADC的度数． 【分析】连接BD，根据等边三角形的性质求出BD，根据勾股定理的逆定理判断∠CDB＝90°，计算即可． 【解答】解：连接BD， ∵∠A＝60°，AB＝AD＝2， ∴∠ADB＝60°，BD＝2， ∴BD2＝4， 在△CDB中，BC2﹣CD2＝（2）2﹣42＝4， ∴BC2﹣CD2＝BD2，即BC2＝BD2+CD2， ∴∠CDB＝90°， ∴∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝150°． 【变式2】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2﹣AE2＝AC2． （1）求证：∠A＝90°； （2）若AC＝3，BD＝2.5，求AE的长． 【分析】（1）连接CE，由线段垂直平分线的性质可求得BE＝CE，再结合B E2﹣E A2＝A C2可求得EC2＝EA2+AC2，可证得结论； （2）设EB＝EC＝x，则AE＝4﹣x，根据勾股定理列出方程解答即可． 【解答】（1）证明：连接CE， ∵D是BC的中点，DE⊥BC， ∴EB＝EC， ∵B E2﹣E A2＝A C2， ∴EC2﹣EA2＝AC2， ∴EC2＝EA2+AC2， ∴∠A＝90°． （2）解：∵D是BC的中点，BD＝2.5， ∴BC＝2BD＝5， ∵∠A＝90°，AC＝3， ∴， ∵EB＝EC， ∴设EB＝EC＝x，则AE＝4﹣x， 在Rt△EAC中 ∴32+（4﹣x）2＝x2， 解得： ∴． 【变式3】如图，在△ABC中，AD、AE分别是高和角平分线． （1）若∠BAC＝86°，∠C＝32°，求∠DAE的度数； （2）若AB＝15，AC＝20，AD＝12，求证：∠BAC是直角． 【分析】（1）求出∠DAC，∠EAC，可得结论； （2）利用勾股定理的逆定理证明即可． 【解答】（1）解：∵AE平分∠ABC， ∴∠EAC∠BAC＝43°， ∵AD⊥BC， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝58°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝58°﹣43°＝15°． （2）证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴BD9，CD16， ∴BC＝BD+DC＝9+16＝25， ∵AB2+AC2＝152+202＝625，BC2＝625， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴∠BAC＝90°． 【知识点4 勾股数】 1.定义：像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 2.满足条件：①三个数都是正整数；②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方. 3.勾股数的整数倍仍为勾股数，如3,4,5的2倍6,8,10仍为勾股数. 4.常见形式：①n2-1，2n，n2+1（n为大于1的整数）；②4n，4n2-1，4n2+1（n为正整数）等. 【题型5 勾股数】 【例1】下列各组数据是勾股数的有（　　） ①5，12，13； ②0.3，0.4，0.5； ③4，7，5； ④1，2，． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【分析】利用勾股定理的逆定理及勾股数的定义逐一判断即可求解． 【解答】解：①∵52+122＝169＝132， ∴5、12、13是勾股数； ②因为勾股数是正整数，因此0.3，0.4，0.5不是勾股数； ③∵42+52＝41≠72＝49， ∴4，7，5不是勾股数； ④因为勾股数是正整数，因此1，2，不是勾股数， ∴是勾股数的有1组， 故选：A． 【例2】在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如表格中．则当a＝24时，b+c的值为（　　） a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … A．162 B．200 C．242 D．288 【分析】根据表格中数据确定a、b、c的关系，然后再代入a＝24求出b、c的值，进而可得答案． 【解答】解：根据表格中数据可得：a2+b2＝c2，并且c＝b+2， 则a2+b2＝（b+2）2， 当a＝24时，242+b2＝（b+2）2， 解得：b＝143， 则c＝143+2＝145， ∴b+c＝143+145＝288， 故选：D． 【变式1】有下列说法： ①∵0.6，0.8，1不是勾股数，∴三边长分别为0.6，0.8，1的三角形不是直角三角形； ②∵三边长分别为1，2，的三角形是直角三角形，∴1，2，是勾股数； ③若整数a，整数b，整数c分别是直角三角形的三边长，则0.1a，0.1b，0.1c必定不是勾股数． 其中错误的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【分析】根据勾股数的定义及勾股定理的知识分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：①虽然0.6，0.8，1不是勾股数，但是0.62+0.82＝12，所以以0.6，0.8，1为边的三角形是直角三角形，故①说法错误； ②因勾股数必须都是整数，故②说法错误； ③若整数a，整数b，整数c分别是直角三角形的三边长，则0.1a，0.1b，0.1c有可能是勾股数，故③说法错误． 故选：A． 【变式2】当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个正整数为勾股数． （1）若a，b为一个直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，a，b，c为勾股数，且a＝n+7，c＝n+8，n为正整数，求b的值（用含n的式子表示），并直接写出符合题意的最小的b值． （2）当n是大于1的整数时，判断2n，n2﹣1，n2+1是否是勾股数，并说明理由． 【分析】（1）根据勾股数的定义得到（n+7）2+b2＝（n+8）2，结合n，b都为正整数，求出最小b值即可； （2）分别表示出2n，n2﹣1，n2+1的平方，得到（2n）2+（n2﹣1）2＝（n2+1）2即可做出判断． 【解答】解：（1）a，b，c为勾股数，c为斜边长， ∴a2+b2＝c2， ∵a＝n+7，c＝n+8， ∴（n+7）2+b2＝（n+8）2， ∴b2＝2n+15，， ∵n，b都为正整数， ∴当n＝5时，， ∴最小的b值为5； （2）∵（2n）2＝4n2，（n2﹣1）2＝n4﹣2n2+1，（n2+1）2＝n4+2n2+1， ∴（2n）2+（n2﹣1）2＝（n2+1）2， ∴2n，n2﹣1，n2+1是勾股数． 【变式3】以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等． （1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数； （2）用含n（n≥2且n为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明． 【分析】（1）根据给出的四组数以及勾股数的定义即可得出答案； （2）根据给出的四组数以及勾股数的定义即可得出答案． 【解答】解：（1）上述四组勾股数组的规律是：32+42＝52，62+82＝102，82+152＝172，102+242＝262， 即（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2， 所以第六组勾股数为14，48，50． （2）勾股数为n2﹣1，2n，n2+1，证明如下： （n2﹣1）2+（2n）2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2． 【题型6 勾股定理与方程思想】 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．在边BC上有一点P，连接AP，且PA＝PB，若AC＝2，CB＝5，求PA的长． 【分析】设PA＝x＝PB，则CP＝5﹣x，在Rt△APC中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【解答】解：设PA＝x＝PB，可得：CP＝5﹣x， ∵根据勾股定理可得：AC2+CP2＝PA2， ∴22+（5﹣x）2＝x2， ， ∴PA的长为． 【变式1】如图，等腰三角形ABC中AB＝AC，CD⊥AB，且CD＝4cm，BD＝3cm． （1）求AD的长； （2）求△ABC的面积． 【分析】（1）设AD＝x cm，AB＝AC＝（x+3）cm，在Rt△ADC中，由勾股定理列出方程，解方程即可； （2）根据三角形的面积公式列式计算即可． 【解答】解：（1）设AD＝x cm，则AB＝AC＝（x+3）cm， ∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝90°， 在Rt△ACD中，根据题意得：x2+42＝（x+3）2， 解得：x， 答：AD的长为cm； （2）由（1）可知，AB＝AC3（cm）， ∵CD⊥AB， ∴S△ABCAB•CD4（cm2）， 答：△ABC的面积为cm2． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，求线段AD的长． 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，易得，根据角平分线的性质得出CD＝DE，通过证明Rt△BCD≌Rt△BED（HL），得出BC＝BE＝6，则AE＝AB﹣BE＝4，设AD＝x，则CD＝DE＝8﹣x，在Rt△ADE中，DE2+AE2＝AD2，据此列出方程求解即可． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E， ∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴， ∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴CD＝DE， 在Rt△BCD和Rt△BED中， ， ∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL）， ∴BC＝BE＝6， ∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4， 设AD＝x，则CD＝DE＝8﹣x， 在Rt△ADE中，DE2+AE2＝AD2， 即（8﹣x）2+42＝x2， 解得：x＝5， ∴AD＝5． 【变式3】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD为△ABC的中线，FE垂直平分AC交AD于点G，则AG＝ 　 　． 【分析】如图，连接CG．利用勾股定理求出AD，再证明AG＝GC，设AG＝GC＝x，利用勾股定理构建方程求解． 【解答】解：如图，连接CG． ∵AB＝AC＝10，AD是中线， ∴AD⊥BC，BD＝CD＝6， ∴AD8， ∵EF垂直平分线段AC， ∴AG＝GC， 设AG＝GC＝x，则有x2＝（8﹣x）2+62， ∴x， ∴AG． 故答案为：． 【题型7 勾股定理与分类讨论思想】 【例1】已知△ABC中，∠A＝45°，，BC＝5，则AC＝ 　 　． 【分析】过点B作BD⊥AC，分高线在三角形的内部和外部两种情况，讨论求解即可． 【解答】解：过点B作BD⊥AC， ①当BD在三角形内部时： ∵∠A＝45°， ∴△ADB为等腰直角三角形， ∴， ∴AD＝BD＝4， ∴， ∴AC＝AD+CD＝7； ②当BD在三角形外部时： 同法可得：AC＝AD﹣CD＝1； 故答案为：1或7． 【变式1】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为射线BC上一点，当△ABD是以BD为腰的等腰三角形时，CD的长为 　 　． 【分析】先由勾股定理求出AB＝10，当AB＝BD＝10时，可直接计算出CD的长；当AD＝BD时，设AD＝BD＝x，则CD＝x﹣6，由勾股定理求出x，即可得出答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB10， 如图1，当AB＝BD＝10时， 则CD＝BD﹣BC＝10﹣6＝4； 如图2，当AD＝BD时， 设AD＝BD＝x，则CD＝x﹣6， 在Rt△ACD中，AD2＝CD2+AC2， 即x2＝（x﹣6）2+82， 解得：x， ∴CD6； 综上所述，CD的长为4或， 故答案为：4或． 【变式2】在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为 　 　． 【分析】根据题意，分类讨论，第一种情况，锐角三角形，则边BC上的高AD在三角形内部；第二种情况，钝角三角形，则边BC上的高AD在三角形外部；图形结合分析，即可求解． 【解答】解：①如图所示，AB＝15，AC＝13，AD⊥BC，AD＝12， 在Rt△ABD中，， 在Rt△ACD中，， ∴BC＝BD+CD＝9+5＝14， ∴； ②如图所示， 在Rt△ABD中，， 在Rt△ACD中，， ∴BC＝BD﹣CD＝9﹣5＝4， ∴； 综上所述，△ABC的面积为84或24， 故答案为：84或24． 【变式3】在等边△ABC中，点D在BC的延长线上，BC＝6，CD＝2，点E在直线AC上，连接AD，BE．当BE＝AD时，AE的长为 　 　． 【分析】分别过点A，B作AF⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为F，G，根据等边三角形的性质和勾股定理求出BE，分两种情况画图解答即可． 【解答】解：在等边△ABC中，AC＝BC＝6， 分别过点A，B作AF⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为F，G， ∴BF＝CF＝AG＝CG＝3， ∴AF＝BGCG＝3， ∵CD＝2， ∴FD＝CF+CD＝5， ∴BE＝AD， 因为点E在直线AC上，分两种情况画图： 如图1，当点E在AC延长线上时， 在Rt△BGE中，根据勾股定理得：GE5， ∴AE＝AG+GE＝3+5＝8； 如图2，当点E在CA延长线上时， AE＝GE﹣AG＝5﹣3＝2， 综上所述：AE的长为8或2． 故答案为：8或2． 【题型8 勾股定理与全等】 【例1】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，BE⊥CD交AC于点E，若BE＝3，则CD的长为（　　） A． B．3 C． D． 【分析】根据三角形内角和求出∠ACB的度数，根据CD平分∠ACB，可以得到∠BCD和∠ECD的度数，再根据直角三角形的性质和全等三角形的判定以及性质，得到BC的长，最后根据勾股定理即可得到CD的长． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠A＝30°， ∴∠ACB＝60°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝30°， ∵BE⊥CD，CD平分∠ACB， ∴∠COB＝∠COE＝90°，∠BCO＝∠ECO＝30°， 在△CBO和△CEO中， ， ∴△CBO≌△CEO（ASA）， ∴BO＝CO， ∵BE＝3， ∴BO＝CO＝1.5， ∵∠BCO＝30°，∠COB＝90°， ∴BC＝2OB＝3， ∵∠CBD＝90°，∠DCB＝30°， ∴CD＝2BD， 设BD＝x，则CD＝2x， 由勾股定理得：BD2+BC2＝CD2， x2+32＝（2x）2， 解得x或x（不合题意，舍去）， ∴2x＝2， 即CD的长为2， 故选：C． 【例2】在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点E，点D为BC中点，连接DE，∠BED＝45°，，则AE＝ 　 　． 【分析】先导角证得CD＝CE，再根据D是BC中点构造倍长中线全等，延长ED到点F，使DF＝DE＝2，易证△CDE≌△BDF（SAS），再利用等腰+45°构造等腰直角三角形，过B作BG⊥DF于点G，求出BE和BD，进而得到CB和CE，最后利用勾股定理在Rt△ABE中和Rt△ABC中分别表示出AB，建立方程求解即可． 【解答】解：设∠ABE＝α，则∠CBE＝α， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACB＝90°﹣2α， ∵∠BED＝45°， ∴∠CDE＝∠CBE+∠BED＝45°+α， 在△CDE中，∠DEC＝180°﹣∠CDE﹣∠ACB＝45°+α， ∴CD＝CE， 延长ED到点F，使DF＝DE＝2， ∵D为BC中点， ∴BD＝CD， 在△CDE和△BDF中， ， ∴△CDE≌△BDF（SAS）， ∴BF＝CE＝CD＝BD， 过B作BG⊥DF于点G，则DG＝FGDF， ∴EG＝DE+DG＝3， ∵∠BDE＝45°， ∴△BGE为等腰直角三角形， ∴BE， 在Rt△BGD中，BD2， ∴CB＝2BD＝4，CE＝BD＝2， 设AE＝x，则AC＝2x， 在Rt△ABE中，AB2＝BE2﹣AE2＝36﹣x2， 在Rt△ABC中，AB2＝BC2﹣AC2＝80﹣（2x）2， ∴36﹣x2＝80﹣（2x）2， 解得x， 即AE， 故答案为：． 【变式1】如图，四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接DE、BE，若∠BAD＝∠CED＝60°，AB＝BD，DE：EC＝2：3，AC＝6，，BE⊥AC，则△BEC的面积＝　 　． 【分析】在AC上截取AF＝DE，连接BF，利用三角形的外角性质求得∠BAF＝∠ADE，证明△BAF≌△ADE（SAS），推出BF＝AE，∠BFE＝60°，得到，利用勾股定理以及直角三角形的性质可求得，再由AC＝6，DE：EC＝2：3，求得，据此求解即可． 【解答】解：在AC上截取AF＝DE，连接BF， ∵∠BAD＝60°，AB＝BD， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB＝AD， ∵∠BAD＝∠CED＝60°， ∴∠BAF+∠CAD＝∠ADE+∠CAD＝60°， ∴∠BAF＝∠ADE， ∴△BAF≌△ADE（SAS）， ∴BF＝AE，∠BFA＝∠AED＝180°﹣∠CED＝120°， ∴∠BFE＝60°，∠FBE＝30°， ∴， ∵， ∴BF2＝BE2+FE2，即， 解得， ∵AC＝6， ∴， ∵DE：EC＝2：3，即AF：EC＝2：3， ∴， ∴△BEC的面积， 故答案为：． 【变式2】如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝120°，∠CBA＝60°，BC＝4，AB＝10，则对角线BD的长是 　 　． 【分析】延长BA到点E，使得AE＝CB，连接DE，证明△BCD≌△EAD，得到BD＝ED，过点D作DF⊥AB，垂足为F，得∠BDE＝120°，∠DBE＝∠DEB＝30°，运用勾股定理可求出对角线BD的长． 【解答】解：延长BA到点E，使得AE＝CB，连接DE， ∵四边形的内角和为360°， ∴∠BCD+∠CBA+∠BAD+∠CDA＝360°， ∵∠CBA＝60°，∠ADC＝120°， ∴∠BCD+∠BAD＝180°， ∵∠EAD+∠BAD＝180°， ∴∠EAD＝∠BCD， ∵， ∴△BCD≌△EAD（SAS）， ∴∠BDC＝∠EDA，BD＝ED， ∵∠BDC+∠BDA＝120°， ∴∠EDA+∠BDA＝120°， ∴∠DBE＝∠DEB＝30°，∠BDE＝120°， ∵AB＝10，BC＝4， ∴BE＝AB+AE＝AB+CB＝10+4＝14， 过点D作DF⊥AB，垂足为F， 则， 设DF＝x，则BD＝2x， ∵BD2﹣DF2＝BF2， 故（2x）2﹣x2＝72， 解得， 故， 故答案为：． 【变式3】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CE⊥BC，交线段BD于点E，AF⊥BD于点F，若，CE＝DE，AB＝BE，，则线段DF的长为　 　． 【分析】证明△BCE≌△AFB（AAS），得到BC＝AF，，设AB＝BE＝x，进而DF＝BE+DE﹣BF＝x，根据勾股定理，在Rt△ABF中，AF2＝AB2﹣BF2＝x2﹣7，在Rt△ADF中，AD2＝AF2+DF2＝2x2﹣7，根据得到，从而，求解即可解答． 【解答】解：∵CE⊥BC，AF⊥BD， ∴∠BCE＝∠AFB＝90°， ∴∠BAF+∠ABF＝90°， ∵∠ABF+∠CBE＝∠ABC＝90°， ∴∠BAF＝∠CBE， 在△BCE和△AFB中 ， ∴△BCE≌△AFB（AAS）， ∴BC＝AF，， ∴， 设AB＝BE＝x， 在Rt△ABF中，AF2＝AB2﹣BF2＝x2﹣7， ∵， ∴在Rt△ADF中，AD2＝AF2+DF2＝x2﹣7+x2＝2x2﹣7， ∵ ∴， 即， 解得x1＝4，x2＝﹣4（舍去）， ∴DF＝x＝4． 故答案为：4． 【题型9 勾股树衍生图与规律问题】 【例1】如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第五代勾股树图形中正方形的个数为（　　） A．31 B．51 C．53 D．63 【分析】由已知图形观察规律，结合有理数的乘方运算即可得到第四代勾股树中正方形的个数． 【解答】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2＝3（个）， 第二代勾股树中正方形有1+2+22＝7（个）， 第三代勾股树中正方形有1+2+22+23＝15（个）， ∴第四代勾股树图形中正方形的个数有1+2+22+23+24＝31（个）； ∴第五代勾股树图形中正方形的个数有1+2+22+23+24+25＝63（个）； 故选：D． 【变式1】有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形（如图1），且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了图2，如此继续“生长”下去，则“生长”第k次后所有正方形的面积和为（　　） A．k B．k+1 C．k2 D．（k+1）2 【分析】根据勾股定理，发现：经过一次生长后，两个小正方形的面积和等于第一个正方形的面积，故经过一次生长后，所有正方形的积之和等于2；依此类推，经过k次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（k+1）倍，进而得问题答案． 【解答】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c． 根据勾股定理，得a2+b2＝c2， 即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1 所有正方形的面积之和为2＝（1+1）×1； 正方形E的面积+正方形F的面积＝正方形A的面积， 正方形M的面积+正方形N的面积＝正方形B的面积， 正方形E的面积+正方形F的面积+正方形M的面积+正方形N的面积， ＝正方形A的面积+正方形B的面积 ＝正方形C的面积 ＝1， 所有正方形的面积之和为3＝（2+1）×1， … 推而广之，“生长”了k次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（k+1）×1＝k+1． 故选：B． 【变式2】如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2……依此法继续作下去，得OP2024＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理找到规律即可． 【解答】解：由勾股定理，得OP4， OP1；OP2，OP3，OP4.....． ∴以此类推可得 OPn， ∴OP2024． 故选：D． 【变式3】如图所示，是由北京国际数学家大会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次连接而成，其中∠MA1A2＝∠MA2A3＝⋯＝∠MAnAn+1＝90°，（n为正整数），若M点的坐标是（﹣1，2），A1的坐标是（0，2），则A8的坐标为（　　） A．（4，﹣6） B．（6，﹣8） C．（8，﹣8） D．（7，﹣6） 【分析】根据图形可发现第一个等腰直角三角形的直角边为1，第二个等腰直角三角形的边长为 ，…，第n个等腰直角三角形的边长为 ，据此可推出结果． 【解答】解：∵M点的坐标是 （﹣1，2），A1 的坐标是（0，2）， ∴MA1＝A1A2＝1， ∴A2（0，3）， ∴， ∴MA3＝2， ∴根据图形可发现第一个等腰直角三角形的直角边为1， 第二个等腰直角三角形的边长为 ，…， 第 n个等腰直角三角形的边长为 ， ∴第7个等腰直角三角形的边长为 ， ∴由图可知MA7＝A7A8＝8， ∴A8（7，﹣6）， 故选：D． 【题型10 勾股树衍生图与面积问题】 【例1】勾股定理是我国古代的伟大数学发明之一．如图，以Rt△ABC（∠ACB＝90°）的各边向外作正方形，得到三块正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，重叠部分的面积记作S1，左下不重叠部分的面积记作S2，若S1＝3，则S2的值是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【分析】设Rt△ABC的直角边AC＝a，BC，BA＝c．得到S2＝（c﹣a）（c﹣b）＝c2﹣（a+b）c+ab，S1＝（a+b﹣c）2＝3，由完全平方公式，勾股定理，即可求解． 【解答】解：设Rt△ABC的直角边AC＝a，BC＝b，BA＝c． ∴a2+b2＝c2， ∵面积为S2的矩形的长和宽分别是c﹣a，c﹣b， ∴S2＝（c﹣a）（c﹣b）＝c2﹣（a+b）c+ab， ∵面积为S1的正方形的边长是a﹣（c﹣b）＝a+b﹣c， ∴S1＝（a+b﹣c）2＝3， ∴a2+b2+c2+2ab﹣2ac﹣2bc＝3， ∴2c2+2ab﹣2ac﹣2bc＝3， ∴c2﹣（a+b）c+ab＝1.5， ∴S2＝1.5． 故选：B． 【变式1】如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，S1，S2，S3，S4分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则S1﹣S2+S3﹣S4的值为 　 　． 【分析】由图形可得出S1＝64+a，S2＝a+b，S3＝b+c，S4＝c+9．则可得出答案． 【解答】解：如图， ∵图案由若干个正方形和直角三角形构成， ∴S1＝64+a，S2＝a+b，S3＝b+c，S4＝c+9． ∴S1﹣S2+S3﹣S4＝64+a﹣（a+b）+b+c﹣（c+9）＝55． 故答案为：55． 【变式2】勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1＝2，S2＝4，S3＝6，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为 　 　． 【分析】设直角三角形的斜边BC的长为a，较长直角边AB的长为c，较短直角边AC的长为b，由勾股定理得a2＝c2+b2，求出S阴影＝S四边形DEFG，即可得出答案． 【解答】解：设直角三角形的斜边BC的长为a，较长直角边AB的长为c，较短直角边AC的长为b， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：a2＝c2+b2， ∴a2﹣c2﹣b2＝0， ∴S阴影＝a2﹣c2﹣（b2﹣S四边形DEFG）＝a2﹣c2﹣b2+S四边形DEFG＝S四边形DEFG， ∴S四边形DEFG＝S1+S2+S3＝2+4+6＝12， 故答案为：12． 【变式3】如图1，以直角三角形的各边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在大正方形内，已知四边形CDEG的面积为4，则图中阴影部分面积为 　 　． 【分析】设大正方形的面积为c，中正方形的面积为b，小正方形的面积为a，四边形ABCD的面积为S1，四边形CDEG的面积为S2，四边形GFKH的面积为S3，四边形CGHP面积为S4，根据S1+S阴影b，S1+S2（c﹣a），再证明S1+S阴影＝S1+S2，则S阴影＝S2＝4，即可得到结论． 【解答】解：设大正方形的面积为c，中正方形的面积为b，小正方形的面积为a，四边形ABCD的面积为S1，四边形CDEG的面积为S2，四边形GFKH的面积为S3，四边形CGHP面积为S4， ∵S1+S阴影b，S1+S2（c﹣a）， ∵a+b＝c， ∴b＝c﹣a， ∴S1+S阴影＝S1+S2， ∴S阴影＝S2＝4， 故答案为：4． 【题型11 勾股定理与新定义三角形】 【例1】如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”， （1）如图△ABC中，AB＝AC，BC＝2，求证：△ABC是“美丽三角形”； （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长． 【分析】（1）过点A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质求出BD，根据勾股定理求出AD，根据“美丽三角形”的定义证明； （2）分AC边上的中线BD等于AC，BC边上的中线AE等于BC两种情况，根据勾股定理计算． 【解答】（1）证明：过点A作AD⊥BC于D， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BDBC＝1， 由勾股定理得，AD2， ∴AD＝BC，即△ABC是“美丽三角形”； （2）解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图2， BC3， 当BC边上的中线AE等于BC时， AC2＝AE2﹣CE2，即BC2﹣（BC）2＝（2）2， 解得，BC＝4， 综上所述，BC＝3或BC＝4． 【变式1】定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． （1）若△ABC是近直角三角形，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝　20°　． （2）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，若CD是∠ACB的平分线． ①求证：△BDC为近直角三角形． ②求BD的长． 【分析】（1）∠B不可能是α或β，当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°； （2）①如图1，设∠ACD＝∠DCB＝β，∠B＝α，则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”； ②过点D作DM⊥BC于点M，证明Rt△ACD≌Rt△MCD（HL），得出AC＝CM＝4，由勾股定理可得出答案． 【解答】解：（1）∠B不可能是α或β， 当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立； 故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°， 故答案为：20°； （2）①如图1，设∠ACD＝∠DCB＝β，∠B＝α， 则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”； ②如图2，过点D作DM⊥BC于点M， ∵CD平分∠ACB，DM⊥BC，DA⊥CA， ∴AD＝DM． 在Rt△ACD和Rt△MCD中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△MCD（HL）． ∴AC＝CM＝4． ∵AB＝3，AC＝4， ∴BC5． ∴BM＝1． 设AD＝DM＝x， ∵DM2+BM2＝DB2， ∴x2+12＝（3﹣x）2， ∴x， ∴BD＝AB﹣AD＝3． 【变式2】定义：我们把三角形某边上的中点到这条边上的高的距离称为三角形某边的“中偏度值”． （1）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，求△ABC中AB边的“中偏度值”； （2）在△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上的高AD＝12，求△ABC中BC边的“中偏度值”． 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出△ACB中AB边上的高和该边上的中点到CD的距离，即可求解； （2）分两种情况：当高AD在△ACB内部时，当高AD在△ACB外部时分别计算即可． 【解答】解：（1）作△ACB的中线CE， ∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵CE为Rt△ABC斜边AB上的中线，AB＝5， ∴， ∴， 即点E到CD的距离为， 则△ABC中AB边的“中偏度值”为； （2）①当高AD在△ACB内部时， 作△ACB的中线AE，如图： ∵AD⊥BC，AD＝12，AC＝13，AB＝15， ∴，， ∴BC＝BD+CD＝14， ∵AE为△ABC的中线， ∴， ∴ED＝CE﹣CD＝7﹣5＝2， 即点E到AD的距离为2， 则△ABC中BC边的“中偏度值”为2； ②当高AD在△ACB外部时， 作△ACB的中线AE，如图： ∵AD⊥BC，AD＝12，AC＝13，AB＝15， ∴，， ∴BC＝BD﹣CD＝4， ∵AE为△ABC的中线， ∴， ∴ED＝CE+CD＝2+5＝7， 即点E到AD的距离为7， 则△ABC中BC边的“中偏度值”为7； 综上所述，△ABC中BC边的“中偏度值”为2或7． 【变式3】我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫黑神话悟空三角形． （1）①根据“黑神话悟空三角形”的定义，请判断：等边三角形一定 　 　（选填“是”或“不是”）黑神话悟空三角形； ②若三角形的三边长分别是4，，，则该三角形 　 　（选填“是”或“不是”）黑神话悟空三角形； （2）若Rt△ABC是黑神话悟空三角形，∠C＝90°，，求AB的长． 【分析】（1）①设等边三角形的边长为a，则a2+a2＝2a2，在由“黑神话悟空三角形”的定义即可得出结论； ②由，即可得出结论； （2）分AB2+AC2＝2BC2；AB2+BC2＝2AC2；AC2+BC2＝AB2≠2AB2三种情况进行讨论即可得出答案． 【解答】解：（1）①设等边三角形的边长为a， ∵a2+a2＝2a2， ∴等边三角形一定是“黑神话悟空三角形”， 故答案为：是； ②∵， ∴该三角形是“黑神话悟空三角形”， 故答案为：是； （2）解：∵Rt△ABC是直角三角形，∠C＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2，即BC2＝AB2﹣AC2． ∵Rt△ABC是黑神话悟空三角形，， ∴有三种情况： ①AB2+BC2＝2AC2，即AB2+AB2﹣AC2＝2AC2． ∴2AB2＝3×18． ∴（负值已舍去）； ②AB2+AC2＝2BC2，即AB2+AC2＝2（AB2﹣AC2）． ∴AB2＝3×18． ∴（负值已舍去）； ③AC2+BC2＝AB2≠2AB2，此种情况不成立． 综上，AB的长为或． 【题型12 勾股定理与立体图形最短路径问题】 【例1】如图，教室墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA米，AB＝2米，点P到AF的距离是4米，一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（　　）米． A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】可将教室的墙面ADEF与地面ABCD展开，连接PB，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB， 此时PB的长为这只蚂蚁从点P爬到点B的最短行程， ∵米，AB＝2米，点P到AF的距离是4米， ∴PG＝4米， ∴（米）， ∴BG＝GA+AB＝1+2＝3（米）， ∴（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是5米． 故选：C． 【例2】如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C为6cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（　　） A．5cm B．25cm C．2cm D．4cm 【分析】求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【解答】解：如图所示，将长方体展开，连接AB， 根据题意可知，BD＝6+10＝16（cm），AD＝20cm， 由勾股定理得：AB4（cm）； 如图所示，将长方体展开，连接AB， 根据题意可知，AC＝10+20＝30（cm），BC＝6cm， 由勾股定理得：AB2（cm）； 如图所示，将长方体展开，连接AB， 根据题意可知，BE＝20+6＝26（cm），AE＝10cm， 由勾股定理得：AB2（cm）； 因为， 所以需要爬行的最短距离是4cm． 故选：D． 【变式1】如图，圆柱底面半径为，高为24cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（　　） A． B．26cm C．30cm D． 【分析】根据题意，把圆柱展开，将长方形平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短，即AD+DE+EB，运用勾股定理即可求解． 【解答】解：如图所示，圆柱的展开图中，将长方形平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短， 最短路线为AD+DE+EB， ∵圆柱的半径为，圆柱的高为24cm， ∴，， ∴在Rt△ACD中，， ∴， 故选：D． 【变式2】如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm．A和B是台阶两个相对的端点，在B点有一只蚂蚁，想到A点去觅食，那么它爬行的最短路程是（　　） A．60cm B．80cm C．100cm D．140cm 【分析】首先根据题意画出台阶的侧面展开图，分别得到两直角的长；然后根据勾股定理求出AB的长即可得到小蚂蚁沿着台阶面从A到B最短爬行路程． 【解答】解：如图：展开图中AB的距离即为蚂蚁爬行的最短路程，且∠AOB＝90°． ∵每级台阶长、宽、高分别为60cm，30cm，10cm， ∴OA＝30+10+30+10＝80（cm），OB＝60cm． ∵∠AOB＝90°，OA＝80cm，OB＝60cm， ∴AB100（cm）． 故最短爬行路程是100cm． 故选：C． 【变式3】有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝50cm，水深AE＝40cm，在水面上紧贴内壁的G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且FG＝30cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为（　　）cm． A．100 B．110 C． D． 【分析】作出A关于BC的对称点A′，连接A′G，与BC交于点Q，此时AQ+QG最短；A′G为直角△A′EG的斜边，根据勾股定理求解即可． 【解答】解：如图所示作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC与点Q，小虫沿着A→Q→G的路线爬行时路程最短． 在直角△A′EG中，A′E＝60cm，EG＝80﹣30＝50（cm）， ∴AQ+QG＝A′Q+QG＝A′G10（cm）． ∴最短路线长为10cm． 故选：D． 【题型13 勾股定理与几何最值问题】 【例1】如图，在△ABC中，AB＝3，∠BAC＝30°，AC＝2，点O是△ABC内一点，则点O到△ABC三个顶点的距离和的最小值是 　 　． 【分析】分别以OA和AB边向外作等边三角形AOE和等边三角形ABD，连接DE、CD，证明△AED≌△AOB（SAS），得DE＝OB，则OA+OB+OC＝OE+DE+OC，当点C，O，E，D四点共线时，OE+DE+OC的值最小，此时OA+OB+OC＝OE+DE+OC＝CD，再证明∠DAC＝90°，然后由勾股定理求出CD的长，即可得出结论． 【解答】解：如图，分别以OA和AB边向外作等边三角形AOE和等边三角形ABD，连接DE、CD， ∵△ABD和△AOE都是等边三角形， ∴AE＝AO，AD＝AB＝3，∠OAE＝∠BAD＝60°， ∴∠DAE＝∠BAO， 在△AED和△AOB中， ， ∴△AED≌△AOB（SAS）， ∴DE＝OB， ∴OA+OB+OC＝OE+DE+OC， 当点C，O，E，D四点共线时，OE+DE+OC的值最小， 此时OA+OB+OC＝OE+DE+OC＝CD， ∵∠BAC＝30°，∠BAD＝60°， ∴∠DAC＝180°﹣30°﹣60°＝90°， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：CD， 即点O到△ABC三个顶点的距离和的最小值是， 故答案为：． 【例2】在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点D在线段BC上从点C向点B移动，同时，点E在线段AB上由点A向点B移动，当点D与点B重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接AD，CE，则AD+CE的最小值为 　 　． 【分析】由题意可知，△ABC为直角三角形，则∠ACB＝90°，作CF⊥AB交AB于F，作∠BCH＝∠BAC，并使得CH＝AC＝8，过点A作AG⊥HC交HC延长线于点G，连接AH，利用互余可证得∠BCH＝∠BAC＝∠BCF，∠ACF＝∠ACG，进而证明△ACF≌△ACG（AAS），得CG＝CF，AG＝AF，利用，可得，由勾股定理可得，可知，即可求得，由题意可知CD＝AE，进而可证△ACE≌△CHD（SAS），得CE＝DH，由，当点D在AH上时，取等号，即可求解． 【解答】解：∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，则AB2＝BC2+AC2， ∴△ABC为直角三角形，则∠ACB＝90°， 作CF⊥AB交AB于F，作∠BCH＝∠BAC，并使得CH＝AC＝8，过点A作AG⊥HC交HC延长线于点G，连接AH，则∠G＝∠AFC＝90°，∠BAC+∠ACF＝90°， ∵∠ACF+∠BCF＝90°， ∴∠BCH＝∠BAC＝∠BCF， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACG+∠BCH＝90°， ∴∠ACF＝∠ACG， ∵AC＝AC， ∴△ACF≌△ACG（AAS）， ∴CG＝CF，AG＝AF， 又∵， ∴， 则，， ∴， ∵点D，点E运动速度相同， ∴CD＝AE， 又∵∠BCH＝∠BAC，CH＝AC， ∴△ACE≌△CHD（SAS）， ∴CE＝DH， ∴，当点D在AH上时，取等号， ∴AD+CE的最小值为：． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝5，点D是AC边上的动点，点E是BC边上的动点，且保持CD＝BE，则（AE+BD）2的最小值为 　 　． 【分析】过点B作BF∥AC，且使BF＝BC，连接EF，AF，先证明△CDB≌△BEF（SAS），可得BD＝EF，得出AE+BD＝AE+EF，所以当A，E，F三点共线时，AE+BD的值最小，即（AE+BD）2的值最小，再求解即可． 【解答】解：过点B作BF∥AC，且使BF＝BC，连接EF，AF， ∵BF∥AC， ∴∠C＝∠EBF， 又∵BC＝BF，CD＝BE， ∴△CDB≌△BEF（SAS）， ∴BD＝EF， ∴AE+BD＝AE+EF， ∴当A，E，F三点共线时，AE+BD的值最小， ∵， ∴， ∵BF∥AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABF＝90°， ∴， ∴（AE+BD）2的最小值为， 故答案为：43． 【变式2】在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值 　 　． 【分析】如图作CK∥AB，使得CK＝CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G．首先证明EK＝CD，可得CD+BE＝EK+EB≥BK，推出CD+BE的最小值为BK的长； 【解答】解：如图作CK∥AB，使得CK＝CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G． ∵CK∥AB， ∴∠KCE＝∠A， ∵CK＝CA，CE＝AD， ∴△CKE≌△CAD， ∴CD＝KE， ∵CD+BE＝EK+EB≥BK， ∴CD+BE的最小值为BK的长， 在Rt△BCG中，∵∠G＝90°，BC＝8， ∴CGBC＝4，BG＝4， 在Rt△KBG中，BK2． 故答案为2． 【变式3】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC，D，E分别为射线BC与射线AC上的两动点，且BD＝AE，连接AD，BE，则AD+BE最小值为 　 　． 【分析】过点B作FG⊥BC，使得BF＝AB＝5，过点A作AG⊥GF于点G，连接DF，证明△ABE≌△BFD得出BF＝BEAD+BE＝AD+DF≥AF，则当D在线段AF上时，AD+BE取的最小值，最小值为AF的长． 【解答】解：如图，过点B作FG⊥BC，使得BF＝AB＝5，过点A作AG⊥GF于点G，连接DF， 在△ABE和△BFD中， ， ∴△ABE≌△BFD（SAS）， ∴DF＝BE， ∴AD+BE＝AD+DF≥AF， 则当D在线段AF上时，AD+BE取的最小值，最小值为AF的长， ∵∠BAC＝90°，AB＝5，， ∴ ∵， ∴， 在Rt△ABG中，， ∴FG＝GB+BG＝4+5＝9， ∴， 故答案为：． 【题型14 勾股定理的实际应用】 【例1】中国高铁已经进入飞速发展的阶段，草原明珠——美丽的赤峰坡也如愿开通高铁，如图，高铁线路MN和临潢大街PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，在A处有一所中学．AP＝120米．此时有一辆高速列车在MN上沿PN方向以每秒6米的速度行驶，假设高速列车行驶时周围70米以内有噪音影响．（参考数值：3.61，11.40） （1）学校是否会受到影响？请说明理由． （2）如果受到影响，则影响时间是多长？ 【分析】（1）过点A作AB⊥MN于B，由含30°角的直角三角形的性质得ABAP＝60米，再比较即可； （2）设从点E开始学校受到影响，点F结束，则AE＝AF＝70米，由等腰三角形的性质得BE＝BF，再由勾股定理求出BE，即可解决问题． 【解答】解：（1）学校会受到影响，理由如下： 如图，过点A作AB⊥MN于点B， ∵AP＝120米，∠QPN＝30°， ∴ABAP120＝60（米）， ∵60米＜70米， ∴学校会受到噪音影响； （2）设从点E开始学校受到影响，点F结束，则AE＝AF＝70米， ∵AB⊥MN， ∴BE＝BF， 在Rt△ABE中，由勾股定理得BE1010×3.61＝36.1（米）， ∴EF＝2BE＝2×36.1＝72.2（米）， ∵高速列车的速度为6米/秒， ∴学校受影响的时间为12.3（秒）． 【例2】港珠澳大桥是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长55km，现有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为5m的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子BC的长为13m．（假设绳子是直的，结果保留根号） （1）若工作人员以1.5m/s的速度收绳．4s后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少m？ （2）若游轮熄灭发动机后保持0.8m/s的速度匀速靠岸，10s后船移动到E点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 【分析】（1）在Rt△ABC中，运用勾股定理算出AB＝12，根据题意得出CD＝13﹣1.5×4＝7（m），再在Rt△ACD中运用勾股定理即可求解； （2）根据勾股定理算出CE即可求解． 【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m， ∴， ∵此人以1.5m/s的速度收绳，4s后船移动到点D的位置， ∴CD＝13﹣1.5×4＝7（m）， ∴Rt△ACD中，， ∴游轮距离岸边还有； （2）由题知，AE＝AB﹣BE＝12﹣0.8×10＝4m， ∴， ∴绳子被收上来． 【变式1】中国红色旅游博览会在于都举办，全国各地游客追随而来，纷纷走进长征源头、红色圣地于都，开展红色主题研学活动，开启红色文化之旅．在江西馆门口离地面一定高度的墙上D处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口2.4m及2.4m以内时，门铃就会自动发出“于都欢迎您”的语音．如图，一个身高1.6m的学生刚走到B处（学生头顶在A处），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃与地面的距离和到该生头顶的距离相等． （1）请你计算迎宾门铃距离地面多少米？ （2）若该生继续向前走1.4m，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？ 【分析】（1）过点A作AE⊥CD于点E，则CE＝AB＝1.6m，AE＝BC＝2.4m，设迎宾门铃距离地面x m，则AD＝CD＝x m，DE＝（x﹣1.6）m，在Rt△AED中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）MN为该生向前走1.4m后的位置，则AN＝1.4m，NE＝1m，由（1）可知，DE＝1m，然后在Rt△NED中，由勾股定理求出DN的长即可． 【解答】解：（1）由题意知，AD＝CD，BC＝2.4m，AB＝1.6m，∠ABC＝∠DCB＝90°， 如图1，过点A作AE⊥CD于点E， 则CE＝AB＝1.6m，AE＝BC＝2.4m， 设迎宾门铃距离地面x m，则AD＝CD＝x m，DE＝（x﹣1.6）m， 在Rt△AED中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2， 即2.42+（x﹣1.6）2＝x2， 解得：x＝2.6． 答：宾门铃距离地面2.6m； （2）如图2，MN为该生向前走1.4m后的位置， 则AN＝1.4m， ∴NE＝AE﹣AN＝2.4﹣1.4＝1（m）， 由（1）可知，DE＝x﹣1.6＝1（m）， 在Rt△NED中，由勾股定理得：DN（m）， 答：此时迎宾门铃距离该生头顶． 【变式2】【综合实践】 【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯AB长25m斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离OB＝20m，∠AOB＝90°． 【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面OA的长度． 【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到A′位置上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到B′位置上，若AA′＝8m，求BB′的长度． 【问题解决】（3）在演练中，墙边距地面24m的窗口有求数声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24m高的窗口去救援被因人员？ 【分析】（1）根据勾股定理列式计算即可； （2）先求出OA′，再根据勾股定理求出OB′，进一步即可求出BB′； （2）当云梯的顶端到达24m高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为7m，根据7m＞5m，即可得出结论． 【解答】解：（1）在Rt△OAB中，由勾股定理得：OA15（m）， 答：OA的长为15m； （2）∵OA＝15m，AA′＝8m， ∴OA′＝OA﹣AA′＝15﹣8＝7（m）， 在Rt△A′OB′中，由勾股定理得：OB'24（m）， ∴BB′＝OB′﹣OB＝24﹣20＝4（m）， 答：BB′的长度为4m； （3）当云梯的顶端到达24m高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为7（m）， ∵255（m），7m＞5m， ∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24m高的窗口去救援被困人员． 【变式3】如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的正东方向，A，C两岛的距离为km，A，B两岛的距离为68km． （1）求出B，C两岛的距离； （2）在岛屿B产生了台风，风力影响半径为25km（即以台风中心B为圆心，25km为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以20km/h的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长？ 【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求出AD，CD，再在Rt△BCD中，利用勾股定理即可求出BC，从而解决问题； （2）由25＞20，可知会受影响．以点C为圆心，25km长为半径画弧与AB交于点E，F，利用勾股定理求出DE，进而得到EF的长，再除以台风移动速度即可求出台风影响岛屿C持续时间． 【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D， 由题意知：∠ACD＝45°， ∴∠A＝∠ACD＝45°， ∴CD＝AD， 在Rt△ACD中， ACkm， 由勾股定理，得AD2+CD2＝AC2， ∴2AD2＝（）2， 解得AD＝20km（负值已舍）， ∴CD＝20km， 在Rt△BCD中， BD＝AB﹣AD＝68﹣20＝48（km）， 由勾股定理，得BC52（km）， 答：B，C两岛的距离为52km； （2）会受影响， 以点C为圆心，25km长为半径画弧与AB交于点E，F， 则EF＝2DE， 在Rt△CDE中， 由勾股定理，得DE15（km）， ∴EF＝30km， 30÷20＝1.5（h）， 答：台风影响岛屿C持续时间为1.5h． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 勾股定理全章题型总结【4个知识点14个题型】 【人教版】 【知识点1 勾股定理】 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.对任意的直角三角形，如果它的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么一定有a2+b2=c2，这种关系我们称为勾股定理. 2.数学语言：如右图所示，△ABC是直角三角形，其中较短的直角边a叫作勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦. 【题型1 勾股定理解三角形】 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD为AB边上的高，则CD的长为（　　） A．2 B．5 C． D． 【变式1】如图，在△ABC中、，则△ABC的面积为（　　） A．28cm2 B．14cm2 C． D． 【变式2】如图，在Rt△AOB和Rt△COD中，AB＝CD＝25，OB＝7，AC＝4． （1）求OC的长； （2）求BD的长． 【变式3】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，BC，求： （1）Rt△ABC的面积； （2）斜边AB的长； （3）求AB边上的高CD的长． 【知识点2 勾股定理的验证】 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想、图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.利用面积相等证明勾股定理是最常见的一种方法，常见的几种证明方法如下 （1）弦图证明 内弦图 外弦图 ∴ ∴ （2）“总统”法（半弦图） 如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形： ，∴ 【题型2 勾股定理的验证】 【例1】勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中能证明勾股定理的是（　　） A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【例2】如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③x+y＝9；④xy+4＝49；其中说法正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【变式2】我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明．如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（　　） A．a2+b2+4ab B． C． D． 【变式2】下面图形中可以用来验证勾股定理的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式3】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝22，大正方形的面积为17，则小正方形的边长为（　　） A． B．2 C． D． 【知识点3 勾股定理的逆定理】 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边长c所对的角为直角. 2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形 （1）先比较三角形三边长的大小，找到最长边： （2）计算两条较短边的平方和与最长边的平方； （3）比较二者是否相等； （4）若相等，则这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则这个三角形不是直角三角形. 【题型3 判断一个三角形是直角三角形的条件】 【例1】在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A﹣∠B＝90°；③AB：AC：BC＝1：3：；④（AC+BC）（AC﹣BC）＝AB2中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是直角三角形，则这样的格点C的个数是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式1】若a，b，c为△ABC的三边，下列条件中：①∠B＝∠A﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝1：，则能判定△ABC是直角三角形的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】下列由三条线段a、b、c构成的三角形：①a＝2mn，b＝m2﹣n2，C＝m2+n2（m＞n＞0），②a＝2n+1，b＝2n2+2n+1，c＝2n2+2n（n＞0），③a＝3k，b＝4k，c＝5k（k＞0），④1：：2，其中能构成直角三角形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】如图，在5×5的正方形网格中，已知线段a，b和点P，且线段的端点和点P都在格点上，在网格中找一格点Q，使线段a，b，PQ恰好能构成直角三角形，则满足条件的格点Q有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型4 勾股定理的逆定理的应用】 【例1】如图，∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m． （1）试判断以点A，B，C为顶点的三角形的形状，并说明理由； （2）求该图的面积． 【变式1】如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝AD＝2，，CD＝4．求∠ADC的度数． 【变式2】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2﹣AE2＝AC2． （1）求证：∠A＝90°； （2）若AC＝3，BD＝2.5，求AE的长． 【变式3】如图，在△ABC中，AD、AE分别是高和角平分线． （1）若∠BAC＝86°，∠C＝32°，求∠DAE的度数； （2）若AB＝15，AC＝20，AD＝12，求证：∠BAC是直角． 【知识点4 勾股数】 1.定义：像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 2.满足条件：①三个数都是正整数；②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方. 3.勾股数的整数倍仍为勾股数，如3,4,5的2倍6,8,10仍为勾股数. 4.常见形式：①n2-1，2n，n2+1（n为大于1的整数）；②4n，4n2-1，4n2+1（n为正整数）等. 【题型5 勾股数】 【例1】下列各组数据是勾股数的有（　　） ①5，12，13； ②0.3，0.4，0.5； ③4，7，5； ④1，2，． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【例2】在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如表格中．则当a＝24时，b+c的值为（　　） a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … A．162 B．200 C．242 D．288 【变式1】有下列说法： ①∵0.6，0.8，1不是勾股数，∴三边长分别为0.6，0.8，1的三角形不是直角三角形； ②∵三边长分别为1，2，的三角形是直角三角形，∴1，2，是勾股数； ③若整数a，整数b，整数c分别是直角三角形的三边长，则0.1a，0.1b，0.1c必定不是勾股数． 其中错误的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式2】当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个正整数为勾股数． （1）若a，b为一个直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，a，b，c为勾股数，且a＝n+7，c＝n+8，n为正整数，求b的值（用含n的式子表示），并直接写出符合题意的最小的b值． （2）当n是大于1的整数时，判断2n，n2﹣1，n2+1是否是勾股数，并说明理由． 【变式3】以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等． （1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数； （2）用含n（n≥2且n为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明． 【题型6 勾股定理与方程思想】 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．在边BC上有一点P，连接AP，且PA＝PB，若AC＝2，CB＝5，求PA的长． 【变式1】如图，等腰三角形ABC中AB＝AC，CD⊥AB，且CD＝4cm，BD＝3cm． （1）求AD的长； （2）求△ABC的面积． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，求线段AD的长． 【变式3】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD为△ABC的中线，FE垂直平分AC交AD于点G，则AG＝ 　 　． 【题型7 勾股定理与分类讨论思想】 【例1】已知△ABC中，∠A＝45°，，BC＝5，则AC＝ 　 　． 【变式1】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为射线BC上一点，当△ABD是以BD为腰的等腰三角形时，CD的长为 　 　． 【变式2】在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为 　 　． 【变式3】在等边△ABC中，点D在BC的延长线上，BC＝6，CD＝2，点E在直线AC上，连接AD，BE．当BE＝AD时，AE的长为 　 　． 【题型8 勾股定理与全等】 【例1】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，BE⊥CD交AC于点E，若BE＝3，则CD的长为（　　） A． B．3 C． D． 【例2】在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点E，点D为BC中点，连接DE，∠BED＝45°，，则AE＝ 　 　． 【变式1】如图，四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接DE、BE，若∠BAD＝∠CED＝60°，AB＝BD，DE：EC＝2：3，AC＝6，，BE⊥AC，则△BEC的面积＝　 　． 【变式2】如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝120°，∠CBA＝60°，BC＝4，AB＝10，则对角线BD的长是 　 　． 【变式3】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CE⊥BC，交线段BD于点E，AF⊥BD于点F，若，CE＝DE，AB＝BE，，则线段DF的长为　 　． 【题型9 勾股树衍生图与规律问题】 【例1】如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第五代勾股树图形中正方形的个数为（　　） A．31 B．51 C．53 D．63 【变式1】有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形（如图1），且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了图2，如此继续“生长”下去，则“生长”第k次后所有正方形的面积和为（　　） A．k B．k+1 C．k2 D．（k+1）2 【变式2】如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2……依此法继续作下去，得OP2024＝（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图所示，是由北京国际数学家大会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次连接而成，其中∠MA1A2＝∠MA2A3＝⋯＝∠MAnAn+1＝90°，（n为正整数），若M点的坐标是（﹣1，2），A1的坐标是（0，2），则A8的坐标为（　　） A．（4，﹣6） B．（6，﹣8） C．（8，﹣8） D．（7，﹣6） 【题型10 勾股树衍生图与面积问题】 【例1】勾股定理是我国古代的伟大数学发明之一．如图，以Rt△ABC（∠ACB＝90°）的各边向外作正方形，得到三块正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，重叠部分的面积记作S1，左下不重叠部分的面积记作S2，若S1＝3，则S2的值是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【变式1】如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，S1，S2，S3，S4分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则S1﹣S2+S3﹣S4的值为 　 　． 【变式2】勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1＝2，S2＝4，S3＝6，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为 　 　． 【变式3】如图1，以直角三角形的各边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在大正方形内，已知四边形CDEG的面积为4，则图中阴影部分面积为 　 　． 【题型11 勾股定理与新定义三角形】 【例1】如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”， （1）如图△ABC中，AB＝AC，BC＝2，求证：△ABC是“美丽三角形”； （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长． 【变式1】定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． （1）若△ABC是近直角三角形，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝　 　． （2）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，若CD是∠ACB的平分线． ①求证：△BDC为近直角三角形． ②求BD的长． 【变式2】定义：我们把三角形某边上的中点到这条边上的高的距离称为三角形某边的“中偏度值”． （1）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，求△ABC中AB边的“中偏度值”； （2）在△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上的高AD＝12，求△ABC中BC边的“中偏度值”． 【变式3】我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫黑神话悟空三角形． （1）①根据“黑神话悟空三角形”的定义，请判断：等边三角形一定 　 　（选填“是”或“不是”）黑神话悟空三角形； ②若三角形的三边长分别是4，，，则该三角形 　 　（选填“是”或“不是”）黑神话悟空三角形； （2）若Rt△ABC是黑神话悟空三角形，∠C＝90°，，求AB的长． 【题型12 勾股定理与立体图形最短路径问题】 【例1】如图，教室墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA米，AB＝2米，点P到AF的距离是4米，一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（　　）米． A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C为6cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（　　） A．5cm B．25cm C．2cm D．4cm 【变式1】如图，圆柱底面半径为，高为24cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（　　） A． B．26cm C．30cm D． 【变式2】如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm．A和B是台阶两个相对的端点，在B点有一只蚂蚁，想到A点去觅食，那么它爬行的最短路程是（　　） A．60cm B．80cm C．100cm D．140cm 【变式3】有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝50cm，水深AE＝40cm，在水面上紧贴内壁的G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且FG＝30cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为（　　）cm． A．100 B．110 C． D． 【题型13 勾股定理与几何最值问题】 【例1】如图，在△ABC中，AB＝3，∠BAC＝30°，AC＝2，点O是△ABC内一点，则点O到△ABC三个顶点的距离和的最小值是 　 　． 【例2】在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点D在线段BC上从点C向点B移动，同时，点E在线段AB上由点A向点B移动，当点D与点B重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接AD，CE，则AD+CE的最小值为 　 　． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝5，点D是AC边上的动点，点E是BC边上的动点，且保持CD＝BE，则（AE+BD）2的最小值为 　 　． 【变式2】在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值 　 　． 【变式3】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC，D，E分别为射线BC与射线AC上的两动点，且BD＝AE，连接AD，BE，则AD+BE最小值为 　 　． 【题型14 勾股定理的实际应用】 【例1】中国高铁已经进入飞速发展的阶段，草原明珠——美丽的赤峰坡也如愿开通高铁，如图，高铁线路MN和临潢大街PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，在A处有一所中学．AP＝120米．此时有一辆高速列车在MN上沿PN方向以每秒6米的速度行驶，假设高速列车行驶时周围70米以内有噪音影响．（参考数值：3.61，11.40） （1）学校是否会受到影响？请说明理由． （2）如果受到影响，则影响时间是多长？ 【例2】港珠澳大桥是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长55km，现有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为5m的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子BC的长为13m．（假设绳子是直的，结果保留根号） （1）若工作人员以1.5m/s的速度收绳．4s后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少m？ （2）若游轮熄灭发动机后保持0.8m/s的速度匀速靠岸，10s后船移动到E点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 【变式1】中国红色旅游博览会在于都举办，全国各地游客追随而来，纷纷走进长征源头、红色圣地于都，开展红色主题研学活动，开启红色文化之旅．在江西馆门口离地面一定高度的墙上D处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口2.4m及2.4m以内时，门铃就会自动发出“于都欢迎您”的语音．如图，一个身高1.6m的学生刚走到B处（学生头顶在A处），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃与地面的距离和到该生头顶的距离相等． （1）请你计算迎宾门铃距离地面多少米？ （2）若该生继续向前走1.4m，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？ 【变式2】【综合实践】 【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯AB长25m斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离OB＝20m，∠AOB＝90°． 【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面OA的长度． 【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到A′位置上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到B′位置上，若AA′＝8m，求BB′的长度． 【问题解决】（3）在演练中，墙边距地面24m的窗口有求数声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24m高的窗口去救援被因人员？ 【变式3】如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的正东方向，A，C两岛的距离为km，A，B两岛的距离为68km． （1）求出B，C两岛的距离； （2）在岛屿B产生了台风，风力影响半径为25km（即以台风中心B为圆心，25km为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以20km/h的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长？ 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$