课时达标检测(7) 空间中的点、直线与空间向量(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

课时达标检测(七)　空间中的点、直线与空间向量 基础达标 　 一、单项选择题 1.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于 (B) A.AC B.BD C.A1D D.A1A 解析　建立如图所示的空间直角坐标系。设正方体的棱长为1。则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),E, 所以=,-,1,=(-1,1,0),=(-1,-1,0),=(-1,0,-1),=(0,0,-1)。 因为·=(-1)×+(-1)×+0×1=0,所以CE⊥BD。 2.已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点且=,则点C的坐标为 (C) A. B. C. D. 解析　设C(x,y,z),因为C为线段AB上一点且=,所以=,即(x-4,y-1,z-3)=(-2,-6,-2),所以x=,y=-1,z=,即点C的坐标为,-1,。 3.若异面直线l1,l2的方向向量分别是a=(0,-2,-1),b=(2,0,4),则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于 (B) A.- B. C.- D. 解析　a·b=-4,|a|=,|b|=2,所以异面直线l1与l2的夹角的余弦值为|cos<a,b>|===。 4.已知直线l1的方向向量为a=(2,4,x),直线l2的方向向量为b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值是 (A) A.-3或1 B.3或-1 C.-3 D.1 解析　因为|a|==6,所以x=4或-4。因为a·b=2×2+4×y+2×x=0,所以x=4时,y=-3;x=-4时,y=1,所以x+y=1或x+y=-3。 5.在正四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 (D) A. B. C. D. 解析　设AB=AD=1,AA1=2,以D为原点建立空间直角坐标系,则=(0,1,-2),=(-1,0,2),所以cos<,>===-,故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为。 6.如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,PQ与直线A1D和AC都垂直,则直线PQ与BD1的关系是 (B) A.异面 B.平行 C.垂直不相交 D.垂直且相交 解析　设正方体的棱长为1。以D点为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则=(1,0,1),=(-1,1,0)。设=(a,b,c),则取=(1,1,-1)。因为=(0,0,1)-(1,1,0)=(-1,-1,1)=-,所以∥,所以PQ∥BD1。 二、多项选择题 7.若A(1,-2,3),B(2,5,6)在直线l上,则直线l的一个方向向量为 (CD) A.(1,-2,3) B.(2,5,6) C.(1,7,3) D.(-1,-7,-3) 解析　因为=(1,7,3),与平行的非零向量都可作为直线l的方向向量,所以(1,7,3)=,(-1,-7,-3)=-,均可作为l的方向向量。 8.如图,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则结论正确的是 (ACD) A.A1M∥D1P B.A1M∥B1Q C.A1M∥平面DCC1D1 D.A1M∥平面D1PQB1 解析　因为=-=-=,所以A1M∥D1P,A正确。因为D1P⊂平面D1PQB1,A1M⊄平面D1PQB1,所以A1M∥平面D1PQB1,D正确。又D1P⊂平面DCC1D1,A1M⊄平面DCC1D1,所以A1M∥平面DCC1D1,C正确。因为B1Q与D1P不平行,所以A1M与B1Q不平行,B错误。 三、填空题 9.点P(x,2,1)到点Q(1,1,2),R(2,1,1)的距离相等,则x的值为 1 。  解析　点P(x,2,1)到点Q(1,1,2),R(2,1,1)的距离相等,则||=||,即=,解得x=1。 10.已知两条异面直线a,b的夹角为60°,a,b分别为直线a,b的方向向量,则<a,b>= 60°或120° 。  解析　将异面直线a,b的方向向量a,b平移到同一起点时有两种情况,夹角分别为60°,120°。 11.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,B1D与BC1夹角的大小是 90° ,若E,F分别为AB,CC1的中点,则异面直线EF与A1C1夹角的大小是 30° 。  解析　以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则易得D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),C1(0,2,2),A1(2,0,2),E(2,1,0),F(0,2,1),所以=(-2,0,2),=(-2,-2,-2)。因为·=0,所以B1D与BC1夹角的大小是90°。又=(-2,2,0),=(-2,1,1),设异面直线EF与A1C1的夹角为θ,则cos θ==,所以θ=30°。 四、解答题 12.如图,在四棱锥S⁃ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E,F分别为AB,SC的中点。 证明:EF∥平面SAD。 证明　 如图所示,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz。设A(a,0,0),S(0,0,b),则B(a,a,0),C(0,a,0),Ea,,0,F0,,。所以=。取SD的中点G,连接AG,则=-a,0,。因为=,所以EF∥AG,又AG⊂平面SAD,EF⊄平面SAD,所以EF∥平面SAD。 13.如图所示,正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上,且=,N为B1B的中点,求: (1)MN的长度; (2)异面直线MN与B1C所成角的余弦值。 解　(1)以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),B1(a,a,a),C(0,a,0),Na,a,。设M(x,y,z),因为点M在AC1上,且=,所以(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z),所以x=,y=,z=,所以M,,,所以=,,,所以||==a。即MN的长为a。 (2)因为=,,,=(a,0,a),所以cos<,>==,即异面直线MN与B1C所成角的余弦值为。 拓广探索 14.一质点从(1,1,1)出发,做匀速直线运动,每秒钟的速度为v=(1,2,3),2秒钟后质点所处的位置为 (A) A.(3,5,7) B.(2,4,6) C.(3,5,8) D.(5,3,7) 解析　2秒钟后质点所处的位置为(1,1,1)+2v=(1,1,1)+2(1,2,3)=(3,5,7)。 15.如图所示,在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E为PD的中点。 (1)求异面直线AC与PB所成角的余弦值; (2)在侧面PAB内找一点N,使·=0且·=0,并求出N点到AB和AP的距离。 解　(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(,0,0),C(,1,0),P(0,0,2),E, 从而=(,1,0),=(,0,-2)。设与的夹角为θ,则cos θ===,所以异面直线AC与PB所成角的余弦值为。 (2)由于N点在侧面PAB内,故可设N点坐标为(x,0,z),则=。由可得化简得解得所以N点的坐标为,从而N点到AB,AP的距离分别为1,。 学科网（北京）股份有限公司 $$