课时达标检测(6) 空间直角坐标系(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

课时达标检测(六)　空间直角坐标系 基础达标 　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.已知正方体ABCD⁃A'B'C'D'的棱长为1,点P在对角线BD'上,且|BP|=|BD'|,建立如图所示的空间直角坐标系,则点P的坐标为 (D) A.B. C.D. 解析　如图所示,过点P分别作平面xOy和z轴的垂线,垂足分别为E,H,过E分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别为F,G,由于|BP|=|BD'|,所以|DH|=|DD'|=,|DF|=|DA|=,|DG|=|DC|=,所以点P的坐标为,故选D。 2.已知向量a=(2,-3,1),则下列向量中与a平行的是 (D) A.(1,1,1) B.(-2,-3,5) C.(2,-3,5) D.(-4,6,-2) 解析　若b=(-4,6,-2),则b=-2(2,-3,1)=-2a,所以a∥b。 3.如图,已知边长为6的正方形ABCD和正方形ADEF所在的平面互相垂直,O是BE的中点,=,则线段OM的长为 (B) A.3 B. C.2 D. 解析　由题意可建立以D为坐标原点,DA,DC,DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系(图略),则E(0,0,6),B(6,6,0),M(6,0,4),O(3,3,3),所以||==,即线段OM的长为,故选B。 4.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是 (D) A.1 B. C. D. 解析　ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),又因为ka+b与2a-b互相垂直,所以3(k-1)+2k-4=0,解得k=。 5.若A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则当||取最小值时,x的值为 (C) A.19 B.- C. D. 解析　因为=(1-x,2x-3,3-3x),所以||==。故当x=时,||有最小值,故选C。 6.已知向量a=(cos α,1,sin α),b=(sin α,1,cos α),则a+b与a-b的夹角是 (A) A.90° B.60° C.30° D.0° 解析　a+b=(cos α+sin α,2,sin α+cos α),a-b=(cos α-sin α,0,sin α-cos α),所以(a+b)·(a-b)=cos2α-sin2α+sin2α-cos2α=0,所以(a+b)⊥(a-b),故选A。 二、多项选择题 7.在空间直角坐标系中,所有点P(x,2 017,2 018)(x∈R)的集合表示 (AC) A.一条直线 B.平行于平面xOy的平面 C.平行于平面xOz的一条直线 D.两条直线 解析　点P的纵坐标与竖坐标不变,只有横坐标发生变化,在空间中表示一条直线且平行于平面xOz,故选AC。 8.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a与b夹角的余弦值为,则λ= (BC) A.2 B.-2 C. D.- 解析　由题意得,a·b=2-λ+4=6-λ,|a|=,|b|=3,所以cos<a,b>===,即55λ2+108λ-4=0,解得λ=-2或λ=。 三、填空题 9.已知向量a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2),若a∥b,则λ= 5 ,μ=  。  解析　因为a∥b,所以a=mb(m∈R),即所以 10.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,M,N分别为棱AA1和BB1的中点,则sin<,>的值为  。  解析　以A为坐标原点,AB,AD,AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz。设正方体棱长为2,则C(2,2,0),D1(0,2,2),M(0,0,1),N(2,0,1),所以=(-2,-2,1),=(2,-2,-1),·=-4+4-1=-1,||=3,||=3,所以cos<,>==-,所以sin<,>==。 11.已知P(3cos α,3sin α,1)和Q(2cos β,2sin β,1),则||的取值范围是 [1,5] 。  解析　因为P(3cos α,3sin α,1)和Q(2cos β,2sin β,1),所以||= = = 。因为cos(α-β)∈[-1,1],所以||的取值范围是[1,5]。 四、解答题 12.已知向量a=(1,5,-1),b=(-2,3,5)。 (1)若(ka+b)∥(a-3b),求k; (2)若(ka+b)⊥(a-3b),求k。 解　ka+b=(k-2,5k+3,-k+5),a-3b=(1+3×2,5-3×3,-1-3×5)=(7,-4,-16)。 (1)若(ka+b)∥(a-3b),则==,解得k=-。 (2)若(ka+b)⊥(a-3b),则(k-2)×7+(5k+3)×(-4)+(-k+5)×(-16)=0,解得k=。 13.如图所示,BC=2,原点O是BC的中点,点A的坐标为,点D在平面yOz上且∠BDC=90°,∠DCB=30°。 (1)求向量的坐标; (2)求向量与的夹角的余弦值。 解　由题意知,B(0,-1,0),C(0,1,0),=(0,-2,0)。 (1)解法一:作DH⊥BC于H,则BD=1,∠DBC=60°,所以BH=,DH=,所以D0,-,,又C(0,1,0),所以=0,-,。 解法二:由题意设D(0,m,n),则m<0,n>0,=(0,m+1,n),=(0,m-1,n)。因为∠BDC=90°,所以⊥, 则(m-1)(m+1)+n2=0　①。又cos∠DCB===　②,由①②得m=-,n=,则D0,-,。所以=。 (2)由(1)知,=,=(0,2,0),则||=,||=2,cos<,>==-,所以向量与的夹角的余弦值为-。 拓广探索 14.设向量u=(a,b,0),v=(c,d,1),其中a2+b2=c2+d2=1,则下列判断错误的是 ② 。  ①向量v与z轴正方向的夹角为定值(与c,d无关); ②u·v的最大值为; ③u与v的夹角的最大值为。 解析　由题意知u=(a,b,0),v=(c,d,1),a2+b2=c2+d2=1。对于①,设z轴正方向的方向向量为z=(0,0,t)(t>0),v与z轴正方向的夹角为α,则cos α===,所以α=45°,所以向量v与z轴正方向的夹角为定值45°(与c,d无关),故①正确;对于②,u·v=ac+bd≤+==1,当且仅当a=c,b=d时取等号,因此u·v的最大值为1,故②错误;对于③,由|u·v|≤1,得-1≤u·v≤1,所以cos<u,v>==≥-=-,所以u与v的夹角的最大值为,故③正确。 15.如图,四棱锥P⁃ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD=,F为PC的中点,AF⊥PB。求PA的长。 解　如图,连接BD交AC于点O,因为BC=CD,即△BCD为等腰三角形,又AC平分∠BCD,故AC⊥BD。以O为坐标原点,分别以,,为正交基底建立空间直角坐标系Oxyz。因为OC=CDcos=1,AC=4,所以AO=AC-OC=3,又OB=OD=CDsin=,故A(0,-3,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(-,0,0)。由PA⊥底面ABCD,可设P(0,-3,z),其中z>0。由F为PC的中点,得F0,-1,,所以=,=(,3,-z)。又因为AF⊥PB,所以·=0,即6-=0,解得z=2或z=-2(舍去)。所以PA的长是2。 学科网（北京）股份有限公司 $$