1.1.3 第2课时 空间直角坐标系(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

第2课时　空间直角坐标系 情境导入 课程标准 　　 一块巨石从山顶坠落,挡住了前面的路,抢修队员紧急赶到从三个方向拉巨石。这三个力分别为F1,F2,F3,它们两两垂直,且|F1|=3 000 N,|F2|=2 000 N,|F3|=2 000 N。若以F1,F2,F3的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则巨石所受合力F的坐标是什么? 1.掌握空间向量的坐标运算法则,会判断两个向量的平行或垂直。 2.理解空间向量坐标的概念,会确定一些简单几何体的顶点坐标。 3.掌握空间直角坐标系中两点之间的距离公式,并能运用这些知识解决一些相关问题。 自主预习明新知 　 知识点一、空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 (1)a∥b(a≠0)⇔b=λa⇔,当a的每一个坐标分量都不为零时,有a∥b⇔==。 (2)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0。 知识点二、空间直角坐标系 1.定义:在空间中任意选定一点O作为坐标原点,选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy,然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴。这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz。 2.坐标平面:在空间直角坐标系Oxyz中,x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的,它们都称为坐标轴;通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面,分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面。z轴的正方向一般按照如下方式确定:在z轴的正半轴看xOy平面,x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合。 3.空间中点的坐标:空间直角坐标系Oxyz中,设M为空间中的一个点,过M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面,设这些平面与x轴、y轴、z轴依次交于点P,Q,R,且P,Q,R在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x,y,z,那么点M就对应唯一确定的有序实数组(x,y,z),二者有了一一对应关系,空间一点M的位置完全由有序实数组(x,y,z)确定,因此将(x,y,z)称为点M的坐标,记作M(x,y,z)。此时,x,y,z都称为点M的坐标分量,且x称为点M的横坐标(或x坐标),y称为点M的纵坐标(或y坐标),z称为点M的竖坐标(或z坐标)。 4.卦限:空间中建立了空间直角坐标系之后,三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分,如图所示。习惯上,每一部分都称为一个卦限,按逆时针方向,在坐标平面xOy的上方,分别是第Ⅰ卦限、第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅳ卦限;在xOy的下方,分别是第Ⅴ卦限、第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限、第Ⅷ卦限。 知识点三、空间向量坐标的应用 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间直角坐标系中的两点,则 (1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1); (2)AB=||=; (3)设线段AB的中点为M(x,y,z),则M的坐标为。 微提醒 (1)若a∥b,则当b=(b1,b2,b3)的横、纵、竖坐标中有一个或两个是零时,由“a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3”,可得a=(a1,a2,a3)的相应坐标也为零。 (2)特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示 点的位置 x轴 y轴 z轴 xOy平面 yOz平面 xOz平面 坐标表示 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z) (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z) (3)①空间向量在空间直角坐标系中的坐标,等于表示这个空间向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标。②空间两点间距离公式是平面两点间距离公式的推广。动点P(x,y,z)到定点P0(x0,y0,z0)的距离等于定长r(r>0)的轨迹方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2,此方程表示以点P0为球心,以r为半径的球面。 合作探究攻重难 　 类型一　空间向量的平行与垂直问题 　　【例1】　设向量a=(1,x,1-x),b=(1-x2,-3x,x+1),求满足下列条件时,实数x的值。 (1)a∥b;(2)a⊥b。 解　(1)①当x=0时,a=(1,0,1),b=(1,0,1),a=b,满足a∥b。②当x=1时,a=(1,1,0),b=(0,-3,2),不满足a∥b,所以x≠1。③当x≠0,x≠1时,由a∥b⇔==⇔⇔x=2。综上所述,当x=0或x=2时,a∥b。 (2)a⊥b⇔a·b=0,所以(1,x,1-x)·(1-x2,-3x,x+1)=0⇔1-x2-3x2+1-x2=0,解得x=±。所以当x=±时,a⊥b。 　　要熟练掌握向量平行和垂直的条件,借助此条件可将立体几何中的平行垂直问题转化为向量的坐标运算。在应用坐标形式下的平行条件时,一定注意结论成立的前提条件,在条件不明确时要分类讨论。 【变式训练】　对于空间向量a=(1,2,3),b=(λ,4,6),若a∥b,则实数λ= (D) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析　由已知,a∥b,则===,所以λ=2,故选D。 类型二　空间中点的坐标的确定 　　【例2】　在棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,G在棱CD上,且CG=CD,H为C1G的中点,试建立适当的坐标系,写出E,F,G,H的坐标。 解　建立如图所示的空间直角坐标系。点E在z轴上,它的x坐标、y坐标均为0,而E为DD1的中点,故其坐标为0,0,。由F作FM⊥AD,FN⊥DC,由平面几何知FM=,FN=,故F点坐标为,,0。 点G在y轴上,其x,z坐标均为0,又GD=,故G点坐标为0,,0。由H作HK⊥CG于K,由于H为C1G的中点,故HK=,CK=。所以DK=,故H点坐标为0,,。 　　(1)确定点的坐标时,最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度,即将坐标转化为与轴平行的线段长度,同时要注意坐标的符号,这是求空间点的坐标的关键。 　　(2)需建立空间直角坐标系时,要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算,一般是要使尽量多的点落在坐标轴上。 【变式训练】　在空间直角坐标系中,已知点P(1,,),过P作平面yOz的垂线PQ,则垂足Q的坐标为 (0,,) 。  解析　根据空间直角坐标系的概念知,yOz平面上点Q的x坐标为0,y坐标、z坐标与点P的y坐标、z坐标分别相等,所以Q(0,,)。 类型三　空间向量坐标的应用 　　【例3】　棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点。 (1)求证:EF⊥CF; (2)求与所成角的余弦值; (3)求CE的长。 解　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),E0,0,,C(0,1,0),F,G。所以=,,-,=,=,=。 (1)证明:因为·=×+×+×0=0,所以⊥,即EF⊥CF。 (2)因为·=×1+×0+×=,||==,||==,所以cos<,>===。 (3)|CE|=||==。 　　利用空间向量的坐标运算求夹角、距离的步骤 (1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系。 (2)利用题设条件写出相关点的坐标,进而获得相关的向量的坐标。 (3)利用空间向量的模与夹角的坐标表示求解。 【变式训练】　已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则在上的投影的数量为  。  解析　由已知得,=(0,3,3),=(-1,1,0),·=3,||==,所以在上的投影的数量为==。 混淆两向量平行与两向量同向致误 　　【典例】　已知向量a=(1,2,-1),b=(m,m2+3m-6,n),若向量a,b同向,求实数m,n的值。 【易错解法】　由题意可知a∥b, 所以==, 即解得或 故m=-3,n=3或m=2,n=-2。 【易错探因】　“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件。错解中忽略了“同向”这一限制条件,从而导致错误。 【正确解答】　由题意可知a∥b,所以==,即解得或当m=-3,n=3时,b=(-3,-6,3)=-3a,向量a,b反向,不符合题意,舍去;当m=2,n=-2时,b=(2,4,-2)=2a,向量a,b同向,符合题意。综上,m=2,n=-2。 当堂检测提素养 　 1.已知A(3,-2,4),B(0,5,-1),若=(O为坐标原点),则C的坐标是 (B) A. B. C. D. 解析　因为=(-3,7,-5),所以=(-3,7,-5)=。故选B。 2.已知点B是点A(3,7,-4)在xOz平面上的射影,则||2= (B) A.(9,0,16) B.25 C.5 D.13 解析　由题意,得B(3,0,-4),所以||2=32+02+(-4)2=25。 3.已知A(2,-5,1),B(2,-3,2),C(4,-4,1),则与的夹角的余弦值为  。  解析　由已知得=(0,2,1),=(2,1,0),·=2,||=,||=,所以cos<,>==。 4.与向量a=(2,-1,2)共线且满足a·z=-18的向量z= (-4,2,-4) 。  解析　因为z与a共线,设z=(2λ,-λ,2λ)。又a·z=4λ+λ+4λ=-18,所以λ=-2,所以z=(-4,2,-4)。 5.已知点A(2,0,-1),B(1,1,2),C(3,-2,-3),若向量λ+与向量互相垂直,求实数λ的值。 解　由已知得=(-1,1,3),=(1,-2,-2),=(2,-3,-5),所以λ+=(-λ+1,λ-2,3λ-2),因为(λ+)⊥,所以2×(-λ+1)-3(λ-2)-5(3λ-2)=0,解得λ=。 学科网（北京）股份有限公司 $$