1.1.2 第2课时 空间向量基本定理(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

第2课时　空间向量基本定理 情境导入 课程标准 　　学生小李参加某大学自主招生考试,在一楼咨询处小李得知:面试地点由此向东100米,再向南150米,然后乘1号电梯到位于6楼的2号学术报告厅参加面试。设e1是向东的单位向量,e2是向南的单位向量,e3是向上的单位向量。假定每层楼高为3米,你能用e1,e2,e3表示出由咨询处到面试地点的向量p吗? 1.理解空间向量基本定理,会选择适当基底表示其他向量。 2.能够解决立体几何中的简单问题。 自主预习明新知 　 知识点、空间向量基本定理 1.如果空间中的三个向量a,b,c不共面,那么对空间中的任意一个向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc。 2.如果三个向量a,b,c不共面,则它们的线性组合xa+yb+zc能生成所有的空间向量。因此,空间中不共面的三个向量a,b,c组成的集合{a,b,c},常称为空间向量的一组基底。此时,a,b,c都称为基向量。 微思考 如何理解空间向量基本定理? 提示:(1)空间中任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基底;(2)零向量与任意向量共面,所以零向量不能作为基向量;(3)注意区分基底与基向量,一组基底{a,b,c}中的a,b,c都叫基向量;(4)当a,b,c不共面时,可知xa+yb+zc=0⇔x=y=z=0。 合作探究攻重难 　 类型一　用基底表示空间向量 　　【例1】　如图,在三棱柱ABC⁃A'B'C'中,已知=a,=b,=c,点M,N分别是BC',B'C'的中点,试用基底{a,b,c}表示向量,。 解　连接A'N(图略),=+=+(+)=++=+(-)+=++=(a+b+c)。=+=+(+)=+(+)=a+b+c。 　　【互动探究】　若把例1中“=a”改为“=a”,其他条件不变,则结果是什么? 解　因为M为BC'的中点,N为B'C'的中点,所以=(+)=a+b。=(+)=(++)=++=+(-)+=+-=b+a-c。 　　用基底表示向量的步骤 (1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一组基底。 (2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果。 (3)下结论:利用空间向量的一组基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量。表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量。 　　【变式训练】　如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,用,,作为基向量,则= (++) 。  解析　2=2+2+2=(+)+(+)+(+)=++,所以=(++)。 类型二　空间向量数量积的运算 　　【例2】　已知长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为AB1的中点,F为A1D1的中点。试计算: (1)·;(2)·;(3)·。 解　如图,设=a,=b,=c,则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0。 (1)·=·(-)=·[-(+)]=b·b-(-c+a)=|b|2=42=16; 　　(2)·=(+)·(+)=(-+)·(+)=·(a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0; (3)·=(+)·(+)=·(+)=(c-a)+b·b+a=(-a+b+c)·b+a=-|a|2+|b|2=2。 　　在几何体中求空间向量的数量积,首先要充分利用向量所在的图形,将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式;其次利用向量的数量积满足的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积;最后利用数量积的定义求解即可。注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角。 【变式训练】　如图所示,已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为2,则·= 4 。  解析　设=a,=b,=c,且|a|=|b|=|c|=2,因为=+=a-c,=+=b-c,所以·=(a-c)·(b-c)=c2=4。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.已知点O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=++,向量b=+-,则与a,b不能构成一组基底的向量是 (C) A. B. C. D.或 解析　因为=a-b,且a,b不共线,所以a,b,共面,所以与a,b不能构成一组空间基底。 2.如图所示,空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且=2,N为BC中点,则等于 (B) A.a-b+c B.-a+b+c C.a+b-c D.a+b-c 解析　=-=(+)-=(b+c)-a=-a+b+c。故选B。 3.在棱长为1的正四面体ABCD中,E,F分别是BC,AD的中点,则·等于 (D) A.0 B. C.- D.- 解析　·=(+)·=·+·-·-||2=cos 60°+cos 60°-cos 60°-=-。 4.已知A,B,P三点共线,O为空间任意一点,=α+β,则α+β= 1 。  解析　因为A,B,P三点共线,所以存在实数t,使=(1-t)+t,因为=α+β,所以α=1-t,β=t。即α+β=1-t+t=1。 5.已知正四面体OABC的棱长为1,如图。求: (1)·; (2)(+)·(+); (3)|++|。 解　在正四面体OABC中,||=||=||=1。<,>=<,>=<,>=60°。 (1)·=||||·cos∠AOB=1×1×cos 60°=。 (2)(+)·(+)=(+)·(-+-)=(+)·(+-2)=+2·-2·+-2·=12+2×1×1×cos 60°-2×1×1×cos 60°+12-2×1×1×cos 60°=1+1-1+1-1=1。 (3)|++|===。 学科网（北京）股份有限公司 $$