1.1.1 第2课时 空间向量的数量积(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

第2课时　空间向量的数量积 情境导入 课程标准 　　在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算,由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量,因此,两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义。 1.理解空间向量夹角的概念及表示方法。 2.理解两个向量的数量积的概念。 3.会利用数量积的定义及运算律,计算两个向量的数量积、投影的数量及向量的模。 自主预习明新知 　 知识点一、空间向量的夹角 1.定义:给定两个非零向量a,b,任意在空间中选定一点O,作=a,=b,如图,则大小在[0,π]内的∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作<a,b>。 2.性质。 (1)<a,b>=<b,a>。 (2)如果<a,b>=,则称向量a与b互相垂直,记作a⊥b。 (3)约定零向量与任意向量都垂直。 知识点二、空间向量的数量积 1.定义:空间中,两个非零向量a与b的数量积(也称为内积)定义为a·b=|a||b|cos<a,b>。 2.几何意义:如图所示,过a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线,即可得到向量a在向量b上的投影a',a与b的数量积等于a在b上的投影a'的数量与b的长度的乘积。规定零向量与任意向量的数量积为0。 知识点三、空间向量数量积的性质 1.a⊥b⇔a·b=0; 2.a·a=|a|2=a2; 3.|a·b|≤|a||b|; 4.(λa)·b=λ(a·b); 5.a·b=b·a(交换律); 6.(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)。 微提醒 向量的数量积运算与实数的乘法运算有哪些不同 (1)对于三个非零向量a,b,c,由a·b=a·c不能得出b=c,即向量不能约分。 (2)若a·b=k(k≠0),不能得出a=或b=,即向量不能进行除法运算。 (3)向量的数量积不满足乘法结合律,即对于三个非零向量a,b,c,(a·b)·c≠a·(b·c)。 微思考 如何理解空间向量的夹角? 提示:(1)只有两个非零向量才可以定义夹角,求向量的夹角注意把向量平移到同一起点;(2)向量夹角的范围是[0,π],向量同向时夹角为0,向量反向时夹角为π;(3)注意零向量与任意向量平行,零向量与任意向量垂直。 合作探究攻重难 　 类型一　空间向量的夹角 　　【例1】　如图所示,在正方体ABCD⁃A'B'C'D'中,求向量分别与向量,,,,的夹角。 解　连接BD,则在正方体ABCD⁃A'B'C'D'中,AC⊥BD,∠BAC=45°,AC=AD'=CD'。所以<,>=<,>=45°,<,>=<,>=180°-<,>=135°,<,>=∠D'AC=60°,<,>=180°-<,>=180°-60°=120°,<,>=<,>=90°。 　　求几何体中两个向量的夹角可以平移其中一个向量使其与另一个向量的起点重合,从而将问题转化为求平面角的大小,通过解三角形得夹角的大小。 【变式训练】　在如图所示的正方体ABCD⁃A'B'C'D'中,下列各对向量的夹角为45°的是 (A) A.与 B.与 C.与 D.与 解析　A,B,C,D四个选项中各组向量的夹角依次是45°,135°,90°,180°。 类型二　空间向量数量积的运算 　　【例2】　已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等,E,F分别为AB,OC的中点,求·。 解　如图,设=a,=b,=c,且|a|=|b|=|c|=1,易知∠AOB=∠BOC=∠AOC=,则a·b=b·c=c·a=。因为=(+)=(a+b),=-=-=c-b,所以·=(a+b)·c-b=a·c+b·c-a·b-b2=-。 　　在几何体中进行向量的数量积运算,要充分利用几何性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算。 【变式训练】　在四面体OABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G为△ABC的重心,则·(++)=  。  解析　由已知有·=·=·=0,易得=,故·(++)=(++)2=(||2+||2+||2)=×(1+4+9)=。 类型三　空间向量数量积的应用 　　【例3】　如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B,D间的距离。 解　因为∠ACD=90°,所以·=0,同理·=0。因为AB与CD成60°角,所以<,>=60°或120°。又=++,所以|2=||2+||2+||2+2(·+·+·)=1+1+1+2×1×1×cos<,>,所以当<,>=60°时,||2=3+2cos 60°=4,当<,>=120°时,||2=3+2cos 120°=2。所以||=2或,即B,D间的距离为2或。 　　用数量积求两点间距离的步骤: ①用向量表示此距离;②用其他向量表示此向量;③用公式a·a=|a|2,求|a|;④|a|即为所求距离。 【变式训练】　已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为,则|a+b|=  。  解析　因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×1×2×cos+22=7,所以|a+b|=。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.正方体ABCD⁃A'B'C'D'中,<,>= (D) A.30° B.60° C.90° D.120° 解析　连接BD,A'D,因为B'D'∥BD,△A'BD为正三角形,所以∠A'BD=60°,由向量夹角的定义可知<,>=120°,即<,>=120°。 2.已知|a|=2,|b|=3,<a,b>=60°,则|2a-3b|= (C) A. B.97 C. D.61 解析　|2a-3b|====。 3.如图所示,正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为a,对角线AC1和BD1相交于点O,则有 (C) A.·=2a2 B.·=a2 C.·=a2 D.·=a2 解析　·=·=·(++)=(+·+·)==||2=a2。 4.已知空间向量a,b,|a|=3,|b|=5,m=a+b,n=a+λb,<a,b>=135°,若m⊥n,则λ的值为 - 。  解析　由m⊥n,得(a+b)·(a+λb)=0,所以a2+λb2+(1+λ)a·b=0,即18+25λ+(1+λ)×3×5×cos 135°=0,所以λ=-。 5.如图,正四棱锥P⁃ABCD的各棱长都为a。 (1)用向量法证明BD⊥PC; (2)求|+|的值。 解　(1)证明:因为=+,所以·=(+)·=·+·=||||·cos 60°+||||cos 120°=a2-a2=0。所以BD⊥PC。 (2)因为+=++,所以|+|2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=a2+a2+a2+0+2a2cos 60°+2a2cos 60°=5a2,所以|+|=a。 学科网（北京）股份有限公司 $$